2013暑期第六课 数列单元知识总结（8页）
时间：2020-11-18 07:33:48 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
2013暑期第六课 数列单元知识总结
【知识体系】
【方法总结】
1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．
2．等差、等比数列中，a、、n、d(q)、 “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．
3．求等比数列的前n项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．
【知识精要】
1、数列
[数列的通项公式] [数列的前n项和]
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
[等差数列的判定方法]
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。
2．等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。
[等差数列的通项公式]
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。
[说明]该公式整理后是关于n的一次函数。
[等差数列的前n项和] 1． 2.
[说明]对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。
[等差中项]
如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或
[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
[等差数列的性质]
1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有
对于等差数列，若，则。
也就是：，如图所示：
3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（）。
[等比中项]
如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么，即。
[等比数列的判定方法]
定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。
2．等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。
[等比数列的通项公式]
如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。
[等比数列的前n项和]
eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) eq \o\ac(○,3)当时，
[等比数列的性质]
1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有
对于等比数列，若，则
也就是：。如图所示：
4．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：
4、数列前n项和
（1）重要公式：
；
；
（2）等差数列中，
（3）等比数列中，
（4）裂项求和：；（）
【要点问题归纳】
一、数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式．围绕数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前”项和．
求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现将求数列的通项公式的几种常见类型及方法总结如下．
1．观察法
就是根据数列的前几项的变化规律，观察归纳出数列的通项公式．
【例1】根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式．
(1)1，1，，，，…；
(2)2，22，222，2222，…；
(3)3,0，－3,0,3,…．
2．代换法
就是将数列的递推公式运算变形后，运用整体代换的方法转化为等差(比)数列再求出数列的通项公式．
【例2】已知数列{}，a1＝2，＝(n≥2)，求.
3．迭代法
对于形如＝f()型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值a1(或a2)建立联系的方法就是迭代法．
【例3】已知数列{}，a1＝2，＝2－1(n≥2)，求．
二、数列的前n项和的求法
求数列的前n项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点．对于等差、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和．
1．公式法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前”项和可考虑拆项后利用公式求解．
2．倒序相加法
如果求和的结构中“每两项”的和为同一常数，可以用倒序相加法求解．
3．裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用”裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的拆项公式有：
①＝·(－)；
②若{}为等差数列，公差为d，则＝(－)；
③＝－等
【例4】求数列，，，…，的前n项的和Sn．
4．错位相减法
若数列{}为等差数列，数列{}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{}的各项乘以公比q，并项后错位一项与{}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
5．分段求和法
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和．
【例5】已知数列{}的前n项和为Sn，且＋Sn＝l (n∈N﹡)．
(1)求数列{}的通项公式；
(2)若数列{}满足＝3＋， 设Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋…＋｜bn｜，求Tn．
【例6】在等差数列中，
（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求
【例7】已知数列的前项和是，且 ．
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，求数列的前项和 ．
例8．求和：．
例9．已知数列的通项公式，求。
（3）已知数列的通项公式，求。
（4）求和：。
例10．（1）求和：
（2）求和：
例11．在等差数列中,首项，数列满足，且。
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：。
一、选择题
1．已知数列的前n项和，
则等于（ ）
A．13 B． C．46 D．76
2．数列， ，，…，，…则它的前项和（ ）
A． B．
C． D．
3．和式 ( )
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．和式（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．求和： 。
7．设，则______________。
8．已知，，则 。
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