s高等数学11.16-11.30向量代数学习计划
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《高等数学》11月16日-11月30日学习计划
【注】
1.11月16日—30日务必完成的学习任务。
（1）学习计划中的练习题（请学员自己打印出来认真完成）
（2）暑假发放的黄色封面《专升本精品习题》第八章 空间解析几何；这章中B类和C类题目全部完成（注：这本书中的A类题目相对较难，跟踪服务阶段第二轮复习的时候再有选择性的做）
（3）李承家教授主编的《高等数学》专用教材（绿色封面）中向量代数与空间解析几何的A类题目全部完成。
2.虽然这一阶段的学习任务比较繁重，但请同学们必须坚持下去，专升本是持久战，我们要有决心和耐心坚持到最后的胜利。数学的学习没有什么捷径，就是多做多练。请各位同学务必重视这一阶段的复习，此阶段没有跟上的话，后期很难跟上。
3.做习题时，就当作考试来对待，尽量不要一边看答案一边做，要自己独立思考，做完之后再对答案。每月的答疑时间，我们要对每个学员的复习情况和习题完成质量做检查。
不懂的问题，请做好记录，答疑时集中解决。
向量代数与空间解析几何
考纲要求
1. 要求
（一）向量代数
（1）理解向量的概念，掌握向量的表示，会求向量的模、非零向量的方向余弦和非零向量在轴上的投影。
（2）掌握向量的线性运算（加法运算与数量乘法运算）
（3）会求向量的数量积与向量积
（4）会求两个非零向量的夹角，掌握两个非零向量平行、垂直的充分必要条件
（二）平面与直线
（1）会求平面的点法式方程、一般方程，会判定两个平面的位置关系
（2）会求点到平面的距离
（3）会求直线的点向式方程、一般方程和参数式方程。会判定两条直线的位置关系
（4）会求点到直线的距离、两条异面直线之间的距离
（5）会判定直线与平面的位置关系
1. 向量及其线性运算
一、向量及其表示的主要内容
向
量
的
概
念
既有大小又有方向的量，称为向量．
（1）与起点位置无关而只与大小和方向有关的向量，称为自由向量．
（2）向量的大小（或长度），称为向量的模．
（3）模为1的向量，称为单位向量．
（4）模为0的向量，称为零向量，记作０．
（5）与大小相等方向相反的向量称为的负向量，记作．
（6）若两向量模相等方向相同, 则与相等．
（7）若与方向相同或相反，则称与平行，记作//．
向
量
的
线
性
运
算
（1）向量的加法：三角形法则，把向量的起点移到向量的终点，则以的起点为起点b的终点为终点的向量,称为与的和向量，记做.
（2）向量的减法：若把两向量与移到同一起点，则从的终点向的终点引向量，即是与的差．
（3）向量与数的乘法: 实数与向量的乘积是一个向量，记做, 它的模为：|=||||
方向为如下规定：
当时，与同向；
当时, 与反向；
当时, 为零向量．
运
算
性
质
设为实数
⑴ 加法交换律
⑵ 加法结合律
⑶ 数乘结合律()=()=()
⑷ 分配律()=, ()=+
⑸ 设b是非零向量，则∥b存在唯一实数,使．
向量的
坐标表示
（1）向量的坐标表示式：
（2）向量按基本向量的分解式：
，，分别称为在轴上的分向量.
向量
运算
的
坐标
表示
（***）
设，，则
（1）
（2）
（3）
（4）当时，；；
（其中为的方向角，方向角余弦的平方和为1）
（5）当时，与同向的单位向量为
=
（6）（其中为向量与轴的夹角）
空间中两点之间的距离
公式
设，为空间中的两点，则点与点之间的距离为
二、配套例题
1. 判断题
（1）与非零向量同向的单位向量只有1个.
（2）与非零向量共线的单位向量只有1个.
（3）是单位向量；
（4）是单位向量；
(5) 与三坐标轴的正向夹角相等的向量,其方向角为．
解:（1）对..
（2）错.与非零向量共线的单位向量有两个为.
(3)错．因为，所以不是单位向量．
(4)对．由于，故是单位向量．
(5)错．因为任何一个向量的三个方向角应满足关系式，
而，事实上，均以作为方向角的向量是根本不存在的．
2. 选择题
（1）点到轴的距离为( )．
A. B.
C. D.
（2）点在第 卦限．
A． = 1 \* ROMAN I B. = 4 \* ROMAN IV C. = 5 \* ROMAN V D. = 8 \* ROMAN VIII
（3）设为非零向量，且, 则必有（ ）
A. B.
C. D.
（4）设向量相平行，但方向相反，则当时，必有（ ）
A. B.
C. D.
解:（1）选C．点在轴上的投影为,
故点到轴的距离为.
(2) 点在第四卦限,答案B正确.
(3) 选C. 当为非零向量，且，则以 为两邻边的平行四边形是矩形。而矩形的两条对角线长度相等，故必有．
(4) 选A. 以及为三条边的三角形的边长，必须满足关系式.但是，
当互相平行，方向相反，且时，必有．
3. 计算题
（1） 求关于点（轴,轴,轴,坐标面,坐标面,坐标面）的对称点．
解: 设对称点,由中点公式得 ．
解得 =-3, =7, =0，即所求点的坐标为．（其他留给同学自己求）
（2） 求点与原点及各坐标轴之间的距离．
解:
点在轴、轴、轴上的投影分别为、、，
故点到各坐标轴的距离分别为
．
（3）求点关于各坐标面、坐标轴、坐标原点的对称点的坐标．
分析：关于轴对称的，不变，其他变成相反数。关于坐标面对称的，，不变，变相反数，其他类似。
解: 点关于面的对称点是()；关于面的对称点是();关于面的对称点是()；
点关于轴的对称点是()； 关于轴的对称点是()；关
于轴的对称点是()；点关于坐标原点的对称点是()．
（4） 在平面上，求与三个点，和等距离的点．
解: 设所求点为，其坐标为 , 按题意有 ，
即
即
亦即 解得 ．故所求点的坐标为．
（5）设向量，
① 用的模及方向余弦表示；
② 求与向量反向平行,且长度为75的向量.
解: ①
② 按题意所求向量为，
且 ，解得 ，则有向量
2.数量积 向量积
一、主要内容
数
量
积
称为在上的投影，记作，即
（投影是一个数）
(2) 称为向量与的数量积
(3) 数量积的坐标表达式
(4) 两向量夹角余弦的坐标表达式
(5) 数量积的性质
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③,其中为实数
= 4 \* GB3 ④
向
量
积
向量积定义 ：若的模为，的方向垂直与所确定的平
面，且、、符合右手法则，则称为与的向量积，记作．
注：
(2)向量积坐标表示
（3）向量积性质
= 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②
= 3 \* GB3 ③
= 4 \* GB3 ④∥＝０ （）
二、配套例题
1. 判断题
(1)；
(2) ＝０或＝０；
(3) 若 则；
(4) 若且则；
(5)
分析： 这是一组关于向量的各种运算的等式.判定等式是否成立，先要看等式两边是否同时是数量，或同时是向量；其次，若同时是数量，则看数值是否相等，若同时是向量，则判断模是否相等，方向是否相同；若一边是数量，另一边是向量，则显然不相等.
解:(1)错．由于左端是向量，右端是数量，故等式不成立．
(2)错．因为 故结论不成立．
(3)错．两向量与的模相等，但方向不一定相同，故结论不一定成立，， 但.
(4)错．由可知，且，此等式成立，当且仅当∥, 而不一定有，如，但.实际上，将的起点移到同一点，只要的终点落在与平行的任一直线上，就有∥,从而，但.
(5)错.因为向量不能比较大小，该不等式没有意义.
2. 选择题
（1）向量与的数量积=（ ）.
A. B. C. D.
（2）非零向量满足，则有（ ）．
A. ∥ B. (为实数) C. D. ．
（3）设与为非零向量，则是（ ）．
A. ∥的充要条件 B. ⊥的充要条件;
C. 的充要条件 D. ∥的必要但不充分的条件．
（4）设，则向量在轴上的分向量是（ ）．
A. 7 B. 7 C. –1 D. -9
解：（1）选C.因为
（2）选C.因为．
（3）选A.因为∥.
（4）选B.因为.
3. 计算题
1.设其中且⊥,试问：
（1）为何值时，⊥？
(2）为何值时，以，为邻边的平行四边形面积为6？
解：（1）由
可知当时，亦即⊥．
（2）据题意知
+
，解之得 ．
2.设，向取何值时，最小？并证明当最小时，．
解： 令，而，
所以
令得惟一驻点，而，
故是的极小值点，且是最小值点
因此当时，最小，此时也最小．
当时，
因为 ，故 ．
3．设，求
（1）及；
（2）夹角的余弦.
解：（1）
，
（2）．
4．设在下列条件下求的值（1），（2）∥
解: （1）要使 ，需 ， 解得 ．
（2）要使 ∥，需 ， 解得 ．
5．设向量的模为4，与轴的夹角分别为、、，求向量的坐标．
解: °
6．已知四点、、、，求
（1）；
（2）与、同时垂直的单位向量.
解: 由题意可知 ，
(1)°，
°=．
（2）取 ，则设为垂直于向量和，
从而与、同时垂直的单位向量为
7．已知向量和计算
（1）； （2）； （3）
解:（1）
=．
（2）．
（3）．
8．已知，，求的面积．
解: 利用向量积的几何意义知,而 ，
故= ．
9．求以与为两邻边的平行四边形的面积。
解: 由向量积的几何意义有
=，而，
故==．
10．已知,且,的夹角为,求.
解: 设，=.则
，
由题意可知 ，
= ，
即 ，所以 ．
3. 平面及其方程
一、主要内容
平
面
方
程
= 1 \* GB2 ⑴ 平面的点法式方程 ，其中
为平面上一点， 为平面的法向量.
= 2 \* GB2 ⑵ 平面的一般方程
平
面
与
平
面
的
位
置
关
系
设平面与平面的法向量分别为，，
⑴ ∥∥
⑵ ⊥⊥
⑶ ，其中为平面与的夹角
4.空间直线及其方程
一、主要内容
空
间
直
线
方
程
= 1 \* GB2 ⑴ 空间直线的一般方程
两平面交线，
L的方向向量为.
= 2 \* GB2 ⑵ 空间直线的对称式方程，
其中为上一点， 为L的方向向量.
= 3 \* GB2 ⑶ 空间直线的参数式方程，其中是参数.
空
间
两
直
线
间
关
系
两直线的方向向量的夹角（锐角）称为两直线的夹角.
设两直线与的方向向量分别为
= 1 \* GB2 ⑴∥；
= 2 \* GB2 ⑵；
= 3 \* GB2 ⑶（为与的夹角）.
⑷ 设，
若，则与异面。
空
间
直
线
与
平
面
间
的
关
系
直线与它在平面上的投影直线的夹角(),称为直线与平面的夹角.
设直线L的方向向量为，平面的法向量为则
= 1 \* GB2 ⑴；（为直线与平面的夹角）
= 2 \* GB2 ⑵ L∥；
= 3 \* GB2 ⑶.
二、配套例题
1.填空题
（1）已知两条直线的方程分别是，
则过且平行于的平面方程是 __________.
解：（1）取上的点，取.
则由点法式可得所求平面方程为．
（2）过点且与直线垂直的平面方程是 __________.
解：（2）化参数方程为对称方程：，则所求平面的法向量为
，依点法式得，即．
2. 选择题
（1）设空间直线的对称式方程为 ，则该直线必（ ）.
A．过原点且垂直于轴； B. 过原点且垂直于轴；
C. 过原点且垂直于轴； D. 过原点且平行于轴.
（2）设空间三直线的方程分别为,,
, 则必有（ ）
A． ∥ B. ∥ C. D.
解：（1）选A.由题设知给定直线的方向向量为 ，
轴的方向向量为 ，由，知，即直线垂直于轴.
又因给定直线 就是平面与的交线，该直线显然通过原点.
综上所述知,所给直线过原点且垂直于轴．
（2）选.设直线的方向向量分别为，则有
,,
因为,所以 .
3. 计算题
（1）经过点且垂直于平面的直线方程;
（2）经过点且平行于轴的直线方程;
（3）经过点且平行于直线的直线方程;
（4）求直线 与平面的夹角;
（5）直线 在平面上，试求的值.
解：（1）因为所求直线垂直于平面 ，所以直线平行于所给平面法向量 ，故可取直线的方向向量为，于是所求直线方程为
.
（2）因为直线平行于轴，所以直线的方向向量平行于单位向量，故可取，于是所求直线方程为.
（3）因为已知直线的方向向量, 故所求直线的方向向量可以取为，于是所求直线方程为.
（4）直线的方向向量，平面的法向量由直线与平面所成角的公式得 ．
（5）分析: 要使直线在平面上，只要平行于，且有一个点在上即可.直线的方向
向量为,平面的法向量，,因为直线平行于平面,所以
，即.又因为在平面上，把此点的坐标代入的方程得, 解得 .
(6) 求点到直线的距离．
解：直线的方向向量为，
在已知直线上取点，于是已知直线的方程为，
其参数方程为 （1）
过点作已知直线的垂直平面 ，其方程为 ，
即 （2）
将（1）式代入（2）式，得，
即得 ，从而得点P向已知直线所作垂线的垂足坐标为，
因此点P到已知直线的距离为 ．
(7) 求过点且与直线垂直的平面方程.
解：据题意所求的平面法向量为
所以由点法式知，平面方程为，
即 。
（8）指出方程组在空间解析几何中表示怎样的曲线
解: 表示平行于坐标面的平面，表示平行于坐标面的平面，方程组表示过点平行于轴的一条直线.
本章习题
一、填空题
1. 已知，则向量在轴方向上的分向量为
___ ．
2. 过点和的直线方程为_________．
3. 设，且，则．
4. 设空间两直线与相交于一点，则．
5. 已知向量与平行且方向相反，若，则．
6. 平面与平面的夹角为__________．
7. 已知向量，试用方向与一致的单位向量来表示=
8. 平行于向量的单位向量 .
9．某向量与轴和的夹角分别为和，则它与轴的夹角为
10. 同时垂直于和轴的单位向量
二、 选择题
1. 设为三个任意向量，则( )．
A. B.
C. D.
2. 设向量与平行且方向相反，又，则有( )．
A.； B.；
C.； D. ．
3. 直线 与平面的关系为 ( )．
A.平行但直线不在平面上； B.直线在平面上；
C.垂直相交； D.相交但不垂直．
4. 已知且，则 = ( )．
A. 1 B. C. 2 D.
5. 下列等式中正确的是( )．
A.； B.； C.； D. ．
三、 计算题
1. 已知，问为何值时，向量与互相垂直．
2. 求过点且垂直于平面的平面法向量．
3. 求两平行面与之间的距离．
4. 求过点且与两平面和的交线平行的直线方程．
5. 某平面过点且平行向量和，试求这平面方程。
6. 设已知两点和，计算向量的模，方向余弦和方向角．
7. 已知三个非零向量中任意两个向量都不平行，但与平行，与平行，试证：．
8．求过点且平行于直线的直线方程．
9．用对称式方程及参数方程表示直线．
10．求过点且与直线垂直的平面的方程．
11．求直线与直线的夹角的余弦．
12．求直线与平面间的夹角．
13．求过点且与两平面和平行的直线方程．
14. 求过点且通过直线的平面方程．
15．试确定下列各组中的直线和平面间的位置关系：
(1) 和；
(2) 和；
（3）和．
16．求直线与平面的交点．
17. 求过点且与两直线和平行的平面方程．
18．求点在平面上的投影点的坐标．
19．求点到平面的距离．
20．设一个平面垂直于平面，并通过从点到直线的垂线，求平面的方程．
