中值定理总结
时间：2020-09-17 11:34:57 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
1、 所证式仅与ξ相关 ①观察法与凑方法
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( ) [0,1] (0) (1) (0) 02 ( )
( , ) ( )1
( ) ( ) 2 ( ) 0 (1)
( ) ( )
[ ( )] ( )f x f f ffa b fx f x xf x f xf x xf xxf x xf x 例 设 在 上二阶可导，试证至少存在一点 使得分析：把要证的式子中的 换成 ，整理得由这个式可知要构造的函数中必含有 ，从 找突破口因为 ( ) (1)
( ) ( ) [ ( ) ( )] 0 ( ) ( ) [ ( )] 0
( ) (1 ) ( ) ( )f xf x f x xf x f x f x f x xf xF x x f x f x ，那么把 式变一下：这时要构造的函数就看出来了 ②原函数法
dx x gdx x gdx x ge x f x FC C e x fCe x f C dx x g x f x gx fx fx g ff g f b ab a x g b f a f b a b a x f) () () () ( ) (
) (
) ( ln ) ( ) ( ln
) () () (
) ( ) ( ) ( ) , (
] , [ ) ( ) ( ) (
) , ( ] , [ ) (
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很明显了 ，于是要构造的函数就 现在设换成 把 有关的放另一边，同样 有关的放一边，与 现在把与方法 造的函数，于是换一种 是凑都不容易找出要构 分析：这时不论观察还使得 求证：上连续 在 ，又 内可导， 上连续，在 在 设 例两边积分00 ③一阶线性齐次方 程解法的变形法 0
( ) ( )( ) [ , ] ( , ) ( ) 0( ) ( )
( , ) ( )( ) ( )( ) 0
[ ( ) ( )]pdx pdxf pf p xu x e F x f ef x a b c a b f cf f aa b fb af f afb af f a 对于所证式为 型，（其中 为常数或 的函数）可引进函数 ，则可构造新函数例：设 在 有连续的导数，又存在 ，使得求证：存在 ，使得分析：把所证式整理一下可得：11[ ( ) ( )] 0 0
( )
C=0 ( ) [ ( ) ( )]( ) ( )
( ) 0 ( ) ( ) x xdxb a b a b af f a f pfb au x e e F x e f x f af b f af c f b f ab a － －，这样就变成了 型引进函数 ＝ （令 ），于是就可以设注：此题在证明时会用到 这个结论 2、所证式中出现两端点 ①凑拉格朗日
a ba af b bff f Fx xf x Ff fa ba af b bfb ab a b a x f ) ( ) () ( ) ( ) (
), ( ) (
) ( ) () ( ) () , (
) , ( ] , [ ) (
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下 用拉格朗日定理验证一可以试一下，不妨设 证的式子的特点，那么 分析：很容易就找到要使得 证明至少存在一点内可导 上连续，在 在 设 例 ② 柯西定理
数就很容易证明了 用柯西定理设好两个函没有悬念了 于是这个式子一下变得分子分母同除一下 是交叉的，变换一下， 发现容易看出来了 这题就没上面那道那么的式子 分析：先整理一下要证，使得 至少存在一点 可导，证明在 在 ， 设 例
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) () ( ) () ( ) () ( ) (
) , ( ] , [ ) (
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1 21 22 1 2 12 12 12 12 11 1101 21 21 22 12 1 2 1 2 1x xx xx x x xx xx xx xx xe eex fex fe x f e x f ec f c fe ex f e x f ec f c fx f x fe ee ec x x x x x f x x ③k k 值法
。
，用罗尔定理证明即可 记得回带，验证可知 那么进入第二步，设还是一样的 称式，也是说互换 很容易看出这是一个对整理得 设量的这个式子 的形式了，现在就看常 以此题为例已经是规范两边 常量的式子分写在等号 第一步是要把含变量与值法 方法叫做 在老陈的书里讲了一个呢？ 很好上面那题该怎么办 对柯西定理掌握的不是 分析：对于数四，如果仍是上题kx F x F k x f e x Fx xk x f e k x f e ke ex f e x f ekxx xx xx x
) ( ) ( ] ) ( [ ) (
] ) ( [ ] ) ( [
) ( ) (
2 12 12 11 22 12 12 1 ④泰勒公式法
老陈常说的一句话，管它是什么，先泰勒展开再说。当定理感觉都起不上作用时，泰勒法往往是可行的，而且对于有些题目，泰勒法反而会更简单。
3、所证试同时出现ξ和η ①两次中值定理
)] ( ) ( [ ) (
) (
)] ( ) ( [
) ( ) () (
) ( ) ( ] ) ( [ )] ( ) ( [
)] ( ) ( [)] ( ) ( [ ) , (
) ( ) (
) , ( ] , [ ) (
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f f ea be ee Ge x Gea be ea be ef f ea ba f e b f eFx f e x F f e f f ee f f ef f eb f a f b a b a x fa bxa b a ba bx得到 则再用拉格朗日定理就 令 这个更容易看出来了，的关系就行了 与 只要找到再整理一下 利用拉格朗日定理可得，设 很容易看出子下手试一下 那么可以先从左边的式 一下子看不出来什么，分开，那么就有 与 分析：首先把使得 ， 试证存在内可导， 上连续，在 在 例1 1 01 ②柯西定理 （与之前所举例类似）
有时遇到ξ和η同时出现的时候还需要多方考虑，可能会用到柯西定理与拉氏定理的结合使用，在老陈书的习题里就出现过类似的题。
