基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)x
时间：2020-10-16 07:28:43 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
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基本不等式
.基本不等式
①公式：
-_b ab (a 0,b 0)，常用 a b 2. ab
2
2 ■ 2
2
②升级版:
a b
a b
ab
a,b R
2
2
选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版
二?考试题型
【题型1】 基本不等式求最值
求最值使用原则：一正 二定三相等
一正： 指的是注意a,b范围为正数。
二定： 指的是ab是定值为常数
三相等：指的是取到最值时 a b
典型例题：
1
例1?求y x ￡；（x 0）的值域
分析：
x范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）
1
解：y (x ) Q x 0
2x
2x
1
x
2x
得到y ( , &]
例2 ?求y
2x (x 3)的值域
解：y
2x
(“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值 )
2(x
3)
22
即 y 2.2 6,
例3?求
y sin x
2
sin x
(0 x )的值域
分析：sinx的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当 y取到最小值时，sinx的值是.2，但「2不
在范围内
解：令 t sinx, t (0,1)
是对钩函数，禾U用图像可知:
2
在(0,1)上是单减函数，所以t 3,(注：3是将t 1代入得到)
y (3,)
注意：使用基本不等式时，注意 y取到最值，x有没有在范围内，
如果不在，就不能用基本不等式 ，要借助对钩函数图像来求 值域。
x2 2x 1例 4.求 y (x2）的值域分析：先换元，令t x 2 ,t
x2 2x 1
例 4.求 y (x
2）的值域
分析：先换元，令t x 2 ,t
0,其中x
解：y
(t 2)2 2(t 2) 1
t2 6t 1
t
Qt 0
[8,
总之：形如y
2
CX
ax b
dx f
(a
0,c
0）的函数，一般可通过换元法等价变形化为
y t f （p为常数）型函数，要注意t的取值范围;
【失误与防范】
1.使用基本不等式求最值，其失误的真正原因 是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视. 要利 用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.
等技巧，使其满足重要不等式中2 ?在运用重要不等式时， 要特别注意“拆” “拼” “凑”
等技巧，使其满足重要不等式中
“正” “定” “等”的条件.
3.连续使用公式时取 等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.
【题型2】条件是a b或ab为定值，求最值（值域）（简）
例5.0, y 0且x y 18
例5.
0, y 0且x y 18，则xy的最大值是
解析:
由于
x 0,y 0,则x y 2 xy，所以2 xy 18，则xy的最大值为81
例6.
已知
x,y为正实数，且满足 4x 3y 12，则xy的最大值为
解析:Q 4x 3y 2 4x 3y 4、跖 12，
解析:
Q 4x 3y 2 4x 3y 4、跖 12， xy 3 当且仅当 4x 3y 即
4x 3y 12
3
2 时，xy
2
取得最大值3.
例7.已知m 0,n 0，且mn 81,则m n的最小值为
解析：Q m 0,n 0， m n 2、. mn 18，当且仅当m n 9时，等号成立.
总结：此种题型：和定积最大，积定和最小1 1【题型3】 条件是a b或--为定值，求最值（范围）（难）a b方法：将1整体代入例8.已知x 0,y-的最小值是
总结：此种题型：和定积最大，积定和最小
1 1
【题型3】 条件是a b或--为定值，求最值（范围）（难）
a b
方法：将1整体代入
例8.已知x 0,y
-的最小值是
y
解析：Q x y 1
1
1
1
1
—
—
(x
y)(-
-)
x
y
x
y
所以最小值是4
例9.
已知
a
0,b
0, a
b
2，则y
1
4
的最小
值是
a
b
解析:
Q a
b
2
a b
1
2
则丄
4
(1
4)(
a b)
1
b 2a
2
5
b
2a
5
2 b
2a
9
a
b
a
b
2 )
2
2a b
2
2a
b
2
■ 2a
b
2
9
所以最小值是9
2
例10.已知x 0,y
0,且1 - 1,求x 2y的最小值是
x y
解析：Q 1 - 1,
x y
则x 2y (丄
x
-)(x 2y) 1
y
2y 2x
x y
5 2
9
从而最小值为9
【题型4】 已知a b与ab关系式，求取值范围
例11.若正数a,b满足ab a b 3，求ab及a b的取值范围.
解析：把ab与a b看成两个未知数，先要用基本不等式消元
解：⑴求ab的范围 （需要消去a b :①孤立条件的a b②a b 2 ab③将a b替换）
Q ab a b 3 a b ab 3,
a b 2 ab
ab 3 厶 Ob
ab 3 厶 Ob （消 a
b结束，下面把ab看成整体，换元，求
ab范围）
令 t
令 t 、、ab （t
0），则 ab 3 2 ab 变成 t2 3 2t
解得t 3
解得t 3或t
1 （舍去），从而ab 9
⑵求a b的范围a
⑵求a b的范围
a b
（需要消去ab:①孤立条件的ab②ab （〒）2
③将ab替换）
Q ab a b 3 ,ab
（消 ab结束,
（消 ab结束,
F面把a b看成整体，换元，求
a b范围）
令 t a b （t 0）
2
则有 t 3 - , 4t 12 t2, t2 4t 12 0,得到 t 6 或 t 2 （舍去）
2
得到a b 6
