直线与方程教学设计

直线的回归方程教学设计

一、课题引入

引言：我们知道，通过散点图可以判断两个变量之间是否具有“正相关”或“负相关”，但这只是一个定性的判断，更多的时候，我们需要的是定量的刻画．

问题1：下列两个散点图中,两个变量之间是否具有线性相关关系？理由呢？是正相关还是负相关？

设计意图：回顾上节课所学内容，使学生的思想、知识和心理能较快地进入本节课课堂学习的状态．

师生活动：学生回答，图1没有线性相关关系，图2有线性相关关系，因为图1中的所有点都落在某一直线的附近．通过问题，使学生回忆前2节课核心概念：线性相关关系、正相关、负相关等，为后续学习打基础．

二、本节课的新知识

问题2：通过上一节课的学习，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？

设计意图：几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．

师生活动：先展示上一节课的讨论结果：学生提出的如下四种可能性：图3(1)表示每一点到直线的垂直距离之和最短，图3(2)表示每一点到直线的“偏差”之和最短，图3(3)表示经过点最多的直线，图3(4)表示上下点的个数“大概”一样多的直线．通过上一节课的分析，我们认为选择偏差之和最短比较恰当，即图3（2）．

设回归直线方程为为型：

，（xi，yi）表示第i个样本点，将样本数据记

，学生思考，教师启发学生比较下列几个用于评价的模

模型3：

．

师生一起分析后，得出用模型3来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线

222较为方便． Q=（y1－bx1－a）+（y2－bx2－a）+„+（yn－bxn－a）=

问题3：通过对问题2的分析，我们知道了用Q=最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标（xi，yi）确定时，a,b等于多少，Q能取到最小值呢？

设计意图：体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想

师生活动：偏差最小从本质上来说是

2最小，为了处理方便，我们采用n个偏差的平方和Q=（y1－bx1－a）2+（y2－bx2－a）+…+（yn－bxn－a）2表示n个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q=（向学生说明的意义）．通过化简，得到的其实是关于a、b的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a、b，使Q取到最小值． （1）在此基础上，视

为的二次函数时，可求出使Q为最小值时的的值的线性回归方程系数公式：

（2）教师指出，

称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点

上述方法求回归直线的方法， 的中心，所以可得是使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，由于平方又叫二乘方，所以这种使距离平方最小的方法，叫做最小二乘法．

问题4：这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,的值，你会按怎样的顺序求呢？

设计意图：公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．

师生活动：由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,时，必须要有条理，先求什么，再求什么，比如，我们可以按照

、n、

、

、顺序来求，再代入公式．我们一般可以列如下表格进行分布计算：

三、知识深化：

问题5：你能根据表一所提供的样本数据，求出线性回归方程吗？

表一：人体的脂肪百分比和年龄

设计意图：公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．

师生活动：步骤一，可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：n、、五个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．

由此可以得到回归直线方程为：

步骤二，教师分析求线性回归方程的基本步骤，然后带领学生用卡西欧FX-991 ES计算器求出线性回归方程并画出回归直线，教师可协同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成．

问题6：利用计算器，根据以下表中的数据，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程：

设计意图：让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握用计算器求回归直线的操作方法。回归直线为：=0.6541x-4.5659

回归直线为：=0.4767x+4.9476 回归直线为：= 0.5765x - 0.4478 问题7：同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？

设计意图：明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念． 案例：卖出热茶的杯数与当天气温的关系

下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表（用计算器直接求回归直线）：

（1）求回归方程；
（2）按照回归方程，计算温度为10度时销售杯数．为什么与表中不同？如果某天的气温是－5℃时，预测这天小卖部卖出热茶的杯数．

让学生完整经历求回归直线的过程．其中第2问，让学生体会到即使是相比下“最优”的所获得的回归直线，也存在着一定的误差，从中体会无论方法的优劣，统计学中随机性无法避免．而在预测值的计算中，体现了回归直线的应用价值．

通过对案例的分析，说明事件、样本数据、回归直线方程三者关系：
1．数据采样本身就具有随机性，同样23岁的人，脂肪含量可能9.5%，也有可能30%，这种误差我们称之为随机误差，随机误差是不可避免的．

2．回归分析是寻找相关关系中非确定关系中的某种确定性，虽然一个数据具有随机误差，但总体还是具有某种确定的关系．

3．在数据采样都符合统计要求的情况下，取三个回归直线方程中的任意一个都是合理的，不存在哪条最合适的问题，但一般情况下，选择数据多一些的比较合理．

四、小结：

问题8：请同学们回顾一下我们怎样求出回归直线方程？事件、样本数据与回归直线三者之间有怎样的关系？ 师生活动：

1.求样本数据的线性回归方程的方法 (1)直接运用公式

(2)借助计算器或计算机(使用方法见学案) 2.样本数据与回归直线的关系

《直线与方程》单元教学设计

摘 要：
单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例，从单元教学目标、要素分析、教学流程设计等方面进行了整体设计，旨在更好地实现教与学。

关键词：
直线与方程 单元教学设计 教学要素

单元教学设计是指对某一单元的教学内容作出具体的教学活动设计，这里的单元可是一章，也可是以某个知识内容为主的知识模块。单元教学设计要有整体性、相关性、阶梯性和综合性。本文以人教A版高中数学必修2《直线与方程》一章为例进行了单元教学设计，设计内容包括单元教学目标、要素分析（其中包含数学分析、标准分析、学生分析、重点分析、教材比较分析、教学方式分析等）、教学流程设计、典型案例设计和反思与改进等。

一、单元教学目标

（1）理解并体会用代数方法研究直线问题的基本思路：先在平面直角坐标系中建立直线的代数方程，再通过方程，用代数方法解决几何问题。（2）初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。

二、要素分析

1.数学分析：直线与方程为人教A版教材必修2第三章内容，必修2包括立体几何初步、解析几何初步，其中立体几何初步分为空间几何体，点、直线、平面之间的位置关系。直线与方程是继立体几何的学习之后从代数的观点认识、描述、刻画直线，是在平面直角坐标系中建立直线的方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系。它在高中数学中的地位非常重要，可以说是高中数学体系中的“交通枢纽”。它与代数中的一次函数、二元一次方程、几何中的直线和不等式及线性规划等内容都有关联。

在本章教学中，学生应该经历如下的过程：首先将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；
处理代数问题；
分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。这种数形结合的思想贯穿教学的始终，并且在后续课程中不断体现。

2.标准分析：①坐标法的渗透与掌握：解析几何研究问题的主要方法是坐标法，它是解析几何中最基本的研究方法。②作为后续学习的基础，要灵活地根据条件确定或者待定直线的方程，如将直线方程预设成点斜式、斜截式或一般式，等等。③认识到直线方程中的系数唯一确定直线的几何特性，可类比学习后续课程椭圆方程中的系数a，b，c，双曲线标准方程的系数，抛物线的系数，也可以延伸至两条直线的位置关系取决于直线方程中的系数，即取决于两个重要的量――斜率和截距。④本单元内容属于解析几何的范畴，是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要思想。所以在本单元学习中，学生要初步形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想，其核心可以由以下知识结构图显现出来：

3.学习者特征分析：已有一次函数知识作为基础；
刚刚结束了立体几何初步的学习，现在学习直线与方程可以说是对点、直线的再认识、再深化；
该课程是高一课程，学生习惯于直觉思维，感性认识要多一点，或者说学生正在初步接触和进行逻辑思维，处在由直观到精确、由感性到理性的认知水平的转化和提高过程中。故从这种意义看来，本单元课程不失为一个思维提升训练非常恰当的载体。

4.重点难点分析：本单元目的是在解析几何视角下完成直线上的点与方程的解的联系，直线上所有点与方程的所有解之间的联系，从而建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；
处理代数问题；
分析代数结果得几何含义，最终解决几何问题。由此说本单元的重点是直线的倾斜角与斜率、直线的方程、直线的交点坐标与距离公式，重点方法和思想是形成用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合的思想。

5.教材对比分析：现行教材都突出解析几何中坐标法的应用，强调数形结合思想在本章中的渗透，授课内容也都基本相同，但是有各自的特点，下面就人教A版和苏教版进行比较，如下图：

不管顺序怎么不同，各种教材都是根据学生的认知水平、遵循学生的认识规律的，我们不必过于拘泥于某种教材，而是根据自己学生的特点、认知水平，选择合适的教学手段和方法。

6.教学方式分析：可以灵活采用各种教学方法，我们学校主要采用五环节教学法，即师生共同探究、学生独立思考、小组合作交流、学生精彩展示和老师精彩点评五个环节。

三、教学流程设计

四、典型案例设计（略）

五、反思与改进

1.重视解析几何在高中数学中的指导性地位，要不失时机地渗透、巩固，加深学生对其重要性的认识 。2.把握教学中的“度”，最好不要在细枝末叶处“折腾”。3.进行单元教学设计可大可小，要用整体把握的观点指导教学。

直线方程的教学设计

高俊玲

1． 教材分析

1． 1 教材的地位与作用

直线的方程是高二解析几何的基础知识，是培养学生几何学习能力的好的开端。本章内容开始从代数的角度去研究平面的点线关系，是一个新的领域。对直线的方程的理解，直接影响学生能否培养起解析几何的思想方法，影响着对后来学习圆锥曲线的理解。所以，直线部分的学习起到良好的过渡作用。

1． 2 教学的重点与难点

本节教学重点是直线的五种方程的形式。

教学难点按环节的推导过程。

2．教学目标分析 2．1知识与技能

使学生会推导直线的方程。并掌握方程表示的基本量，以及各种表达形式的优势和局限性。

2．2过程与方法

体验方程的逐步推导过程，理解各形式之间的内在的实质的联系。体验数学研究与发展的规律。知其所以然。

2．3情感态度与价值观

鼓励学生大胆推导，引领学生体会发现的过程。增加对本知识的认识，以期达到提高浓厚学习兴趣，掌握知识的目的。

3

学情分析

3．1学生学习本课内容的基础

在学习了直线的倾斜角和斜率的基础上，来推导方程的基本形式。

3．2学生学习本课内容的能力

具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。

3．3学生学习本课内容的心理

直线的方程是高中几何学的开端，学生容易接受且充满好奇与兴趣。方程推导环环相扣，具有一定的整体性，极易使学生在学习的过程中，增加求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。

3．4学法分析

学生刚刚学习完直线的倾斜角与斜率的概念，对此知识的深刻理解和严谨性的把握上还可能考虑不周全。用代数思想去研究几何问题这一新的思想方法的体系还没有完整的形成。但知识内部联系性非常大，在学习过程中难点很容易突破，采用自学加点拨的方式，在合作中培养学生的探究意识和数学思维。

4． 教学过程设计

4．1提出问题串，创设学习情景

问题1

根据动画，如何可以把一条直线固定下来，需要几个量？

问题2

根据上节课的斜率公式，可否把直线上具有代表意义的点（x，y）与已知点（x0，y0）用斜率表示出来？

问题3 从严格方面说，这个式子有几点需要说明？

追问1 （x，y）与已知点（x0，y0）首先可以重合吗？

追问2 如果不能重合，我们所得到的式子，是否遗漏了这个定点？ 追问3 由上节课斜率的注意事项，你想到了什么？

追问4 用到的基本量是一点一斜率，通过预习，这个形式应该称之为直线方程的何种形式？

问题4 如果直线过的定点特殊为（0，b），会得到什么化简形式？

追问1 什么叫直线的纵截距？

追问2 直线的纵截距可以是负数和零吗？

问题5 由问题1的另一答案，两点也可以确定一条直线，那么如果已知一直线通过两个定点分别为（x1，y1）（x2，y2），可以写出直线方程吗？根据是什么？

追问1 对这两个点难道就没有要求吗？

追问2 这个写出的方程如何找到记忆的规律？

追问3 这个方程的局限在哪里？

问题6 由问题5大家得到的结论，如果直线过的定点特殊为（a，0），（0，b）

（a≠0，b≠0）直线方程可以化简为何形式？

追问1 这个叫直线方程的什么形式？

追问2 什么叫直线的横截距？

追问3 这个方程从推导过程上有何局限？即不能表示什么直线？ 4．2 引导思考，自主探究

在问题6中，由于情况很多，有教师给予适当的指导，引领学生进行思考，开展讨论与研究。可以具体设计如下：
S1：把两点代入直线方程的两点式：

yy1xx1 y2y1x2x1ybx baxy

S2：
可以化简为：1

ab

可得：

S3：这个形式叫直线方程的截距式。局限同两点式相同：

不可以表示与x轴垂直和与y轴垂直的直线。

T1：可以表示过原点的直线吗？

T2：过原点的直线是否有截距？是否有截距式方程？

展开讨论后，对此结论更为注意。并对练习册上相应的题目给予适当的补充练习以加强印象。

4．3 反思结论，归纳总结

直线方程的点斜式：yy0k(xx0)

局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的斜截式：y=kx+b 局限：不能表示与x轴垂直的直线 直线方程的两点式：

yy1xx1（x1≠x2， y1≠y2） y2y1x2x1局限：不能表示与坐标轴垂直的直线

xy直线方程的截距式：1

（a≠0，b≠0）

ab局限：不能表示与坐标轴垂直的直线，和过原点的直线 4．4题组练习 (略) 5．教学设计说明

高中数学新课程理念之一是倡导积极主动，勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生学习过程成为教师引导下的再创造过程。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。建构主义学习理论认为，数学知识应以各种有待探索的问题形式与学生的经验世界发生联系和作用。本课的设计的基本理念正是在教师的指导下，创设数学学习情境，让学生自主探究直线方程的不同形式及局限性，使他们能积极主动地参与到数学学习活动中来。

“直线方程的一般式”教学设计

无锡市堰桥中学 周志峰

一、教材分析

1、教材的地位和作用

直线的一般方程是苏教版必修2第二章2.1.2的内容，在这之前学生已经学习了直线方程的四种特殊形式，初步认识到这四种形式使用的限制性，这为直线的一般方程的提出提供了必要条件，同时也反映了直线一般方程在刻画直线时所起到的一般性意义。从另一个角度讲，本节课的学习是对初中二元一次方程知识的系统性的研究，通过构建平面上的直线与x,y的二元一次方程一一对应关系，意识到方程与图形的关系，这也为学习圆锥曲线方程等知识打基础.具有承上启下的作用.

2、教学目标

（1） 掌握直线方程一般式AxByC0(A,B不同时为0)的特征，特别表示斜率不存在与斜率为0时与A、B间的对应关系

（2） 理解直线方程五种形式之间的内在联系及所能代表直线的区别，从整体上把握直线方程

（3） 会从方程的角度研究直线，探究直线和二元一次方程关系，形成代数与几何相结合的数学思想方法

3、教学重点、难点

（1） 教学重点：掌握直线的一般式方程，能从一般式中得到直线的相关性质；
充分理解直线一般式方程的优越性。

（2） 教学难点：直线一般式方程的引入

二、学情分析

学生已经学习了直线方程的四种形式，对各种形式有了一个初步的认识，但在解题能力特别是抽象思维能力方面比较欠缺，本节课的学习需要学生有较强的探究能力与分类讨论的思想意识，学生学起来有一点困难，需要教师的有力引导。

三、教法与学法

（一）教法：

本节课以问题链为思考索引，对提出的问题进行分析、讨论、归纳，在整个活动中体现以教师为主导，以学生为主体的教学理念，培养学生观察、分析、归纳、应用的能力

（二）学法：

通过本节课的学习，让学生感受到自主探究学习的学习方式对于掌握知识点，形成系统知识的重要性，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

四、教学过程

（一）创设问题情境

问题1：已知直线l上的两点Aa1,3,B(2a,4)（a为常数，求直线l的方程） 学生回答：

1、两点式：y3x(a1) 432a(a1)1(xa1) a1问题2：以上两种形式形式上能统一吗？有没有限制范围？

2、点斜式：y3学生回答：xa1y2a40，限制范围为a1，即直线x2不包括在内

问题3：直线x2是否符合方程xa1y2a40，说明什么问题？ 学生回答：符合，说明方程xa1y2a40包含了斜率不存在的直线，更具普遍性，弥补了其它形式的缺陷。

问题4：直线的四种形式是否都可以化成类似于xa1y2a40的形式，能突破所有的限制范围吗？

学生回答：可以化为AxByC0的形式，能突破斜率不存在，截距不存在的限制

【问题链设置意图：问题较细是为了让学生接受新知识较为顺畅，同时让学生对新知识产生的必要性有一个全面的了解】

（二）新知归纳

知识点1：平面内的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程来表示? 知识点2：每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗? 教师给出二元一次方程的一个例子，如2x3y10，将其转化成直线方程的其它四种形式，利用适当的形式得到相关性质，并从二元一次方程中得到直线相关性质的一些结论和公式，再拓展到AxByC0(A,B不同时为0)的更加一般化的情形，求斜率、截距等相关性质，从而产生对相关系数的讨论，得到知识点：

AxByC0(A,B不同时为0)

当B0时，表示斜率为—AC，在y轴上的截距为的直线；
特别地，当BBA0时，表示垂直于y轴的直线

当B0且A0时，表示垂直于x轴的直线x

（三）新知应用

C A例

1、求直线l:3x5y150的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图

例

2、设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别确定m的值 （1） 直线l在x轴上的截距为3；

（2） 直线l的斜率为1 【设计意图：掌握一般方程与其它形式之间的关系，熟知一般方程中的系数与斜率、截距之间的公式化关系】

练习：苏教版必修2课本p.87.的练习1—5

（四）课堂小结

（1）直线方程的五种形式及其特点． （2）直线的一般式方程的形式特征。

（3）本节课学习了哪些数学思想方法 【设计意图：使学生对本节课有一个系统的认识，同时养成良好的学习习惯】

（五）作业：苏教版必修2课本p.87—88.的感受理解

2、

3、

4、

5、

10、11 【设计意图：通过作业，反馈教学效果，提高有效教学】

《直线的参数方程》教学设计

教学目标：

1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研 的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标 之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论. 教学手段：多媒体课件． 教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫 教师提出问题：

1.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？ 2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

1．问题：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？ 教师提问后，让学生思考并回答问题． 【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3.问题（1）：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？ 【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线L的单位方向向量 ？ 教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4.问题：如何建立直线的参数方程? （得出直线的参数方程 ）

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、例题讲解 例1.（题略）

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解。

在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．

【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．

探究：先由学生思考，讨论，最后师生共同得到：

【设计意图】通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．

四、布置作业，巩固提高 1.教材P41—1；

直线点斜式方程教学设计

直线与圆位置关系教学设计

直线与平面平行判定教学设计

《线段直线和射线》教学设计（共3篇）

垂直与平行教学设计