圆标准方程教学设计

圆的标准方程教学设计

教材分析

本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。

学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.学法分析

通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
教学目标

基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；

（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；
反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；

（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；

（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。

提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；
加深对待定系数法的理解；
促进学生自主的、创造性的学习。

体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程

教学过程

一、复习引入

1、课前复习填写学案（学案见附录）

教师设问：①求曲线方程的一般步骤

②圆的定义

③两点间的距离公式

学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。

2、创设情景引入新课

教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。

教师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？

学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：研究圆的方程

二、探究学习

（一）圆的标准方程

1、教师预设：让学生画圆

学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；

2、教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；
圆确定了，圆的方

程也就确定了。

学生推导该圆的方程

教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。

3、由特殊到一般，得出以（a, b）为圆心，半径为r的圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2

教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；

（2）含有a,b,r三个参数；

（3）已知方程可以找出圆心和半径。

4、随堂练习

教师预设：练习1 找出下列圆的圆心和半径

（1）x2+(y+1)2=16 （2）(2x-2)2+(2y+4)2=4 （3）(x+1)2+(y+2)2=m2 学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。

教师据学生情况点评。

教师预设：练习2 写出下列各圆的方程

（1）、圆心在原点，半径为r

（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）

学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。

（二）例题分析

教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程

例1 写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。

学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。

教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特殊到一般。

变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。

学生独立完成变式，师作简要点评。

教师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？

例2 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。

学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。

教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。

教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。

教师预设：一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。

变式1：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。

学生活动：作图直接写出切线的方程

教师预设：由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。

变式2 ：已知圆的方程是x2+y2= r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。

学生活动：写出切线方程。

教师归纳分类讨论的依据。

教师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？

变式3 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。

变式4 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。

学生活动：思考问题

师强调，待定系数时注意斜率存在。

课后思考题：解决本节引入提出的问题

三、小结：

1、掌握圆的标准方程

2、运用圆的标准方程解决一些简单问题

四、课堂练习

1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.

2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————

3、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————

4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是————————————————

《4.1.1圆的标准方程》教学设计

清镇市红枫中学

邵国荣

一、教学目标：
1.知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；

（2）会用待定系数法求圆的标准方程。

2.过程与方法

通过圆的标准方程解决实际问题的学习，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，注意培养学生观察问题、发现问题和解决数学问题的能力。

3.情感、态度与价值观

通过应用圆的知识解决实际问题的学习从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重难点：

重点：掌握圆的标准方程的推导及求法。

难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、教学方法：

启发式、讲练结合。

四、教学过程：

(一)创设情境，导入新课

在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么？什么叫圆？

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个一元二次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

（二）师生互动，探究新知

确定圆的基本要素为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r(其中a,b,r都是常数)，r>0.设M（x,y）为这个圆上一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）MMAr，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

xayb22r

①

化简可得：xayb22r

2②

2引导学生自己证明xayb22r22为圆的方程，得出结论：

方程②就是圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫圆的标准方程。

当圆心在原点时，圆的标准方程为x

yr2。

（三）概念辨析，巩固提高

例1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M是否在这个圆上。

分析探究：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(1)

15,7,M25,1x22,0y与圆xayb220r2的关系的判断方法: x0ay0br(2) xaybr00(3) xaybr0022

点在圆外

点在圆上

点在圆内

22222

例2.ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。

分析：从圆的标准方程

xayb22r2，可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数（学生自己运算解决）

例3.已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B（2，-2），且圆心在l: xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。

分析：确定一个圆只需要确定圆心位置与半径大小。圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，-2），由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

总结归纳：（教师归纳，学生自己比较、归纳），比较例

2、例3可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法: (1).根据题设条件，列出关于a,b,r的方程组，解方程组得到a,b,r的值，写出圆的标准方程; (2).根据确定圆的要求，以及题设条件，分别求出圆心坐标和圆的半径大小，然后写出圆的标准方程。

练习：课本P121第1，3，4题

(四)小结：1.圆的标准方程的结构特征。

2.点与圆的位置关系的判断方法。

3.求圆的标准方程的方法：（1）待定系数法；
（2）代入法。

（五）作业：P120,P121练习1,2,3,4

教学反思

——圆的标准方程

圆是我们在学习了曲线方程后初次运用所学知识讨论已知曲线的方程，在初中学生已经学习过圆的几何性质，并且前面讨论了直线与方程，因此该部分的重点是运用解析几何来体现圆的性质，在第一课时的教学中，我的教学设计分了以下几步：

一、情景创设

通过多媒体展示“嫦娥二号”升空过程，指出其在宇宙中的飞行轨迹近似是一个圆，让同学类比直线与方程的思想，探究是否可以在平面直角坐标系中用方程表示圆。

该情境不仅引入本节新课的课题，还升华了学生的爱国主义情操，为我国的高科技迅速发展感到骄傲，同时也激励了学生努力学习，将来做一个对国家有用的人。

二、探究新知

提问：“如何确定一个圆？”“在给定圆心和半径的基础上，结合我们前面所学的曲线方程的求解，应该如何建立圆的方程？”

（学生推导）：建立平面直角坐标系，设M（x,y）是圆上任意一点，因为点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为

(xa)2(yb)2r ①

把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2 ② 根据曲线与方程思想，确定②为在平面直角坐标系中圆的标准方程。

此处通过学生分组合作探究，不仅是对数学知识技能的提高，还锻炼了学生自主思考、主动探索、积极合作的能力。并且我在教学中以比赛的性质鼓励学生，通过学习上的成功引发学生继续学习的兴趣，为后续知识的学习提供了良好的环境。

三、经典例题

1、已知圆的方程为(x+1)2＋(y＋3)2＝2；

⑴指出圆的圆心和半径（进一步分析圆标准方程的特征） ⑵点A(1,-2)在圆上吗？点B（4，1）呢？能给出确定点与圆的位置关系的一般方法吗？

2、求出满足下列条件的圆的方程 ⑴圆心在（1，-3）且与X轴相切 ⑵半径为2且与X轴Y轴都相切

⑶求以点C(1,3)为圆心，并和直线3x4y70相切的圆的方程。

该部分我着重以曲线与方程思想为主体，用解析几何诠释圆的几何性质。本意是想让学生把初中所熟知的知识用新的数学语言表达，但是这里情况并不让我满意。主要体现在两个方面：第

一、很多学生对之前讨论的圆的几何性质比较生疏，课前准备工作没做好，导致课堂反应速度较慢，影响课程进度。第

二、由于第一次正式研究曲线方程的应用，部分同学有无从下手的感觉，不能准确找到问题的切入点，反映了对基础知识的理解还不够透彻。如果当时我给出更多的提示，充分重视数形结合思想，效果可能会更好。

最后，我对本节课的教学进行了总结、反思：

在整体的设计上，我通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣。然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功。

在教学细节上,还有以下几点值得关注：

1、从教材位置上看，本节内容安排在曲线方程概念和求曲线方程之后，三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备。同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法。

2、在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法、数形结合等思想方法，还经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识等，教师在教学中要注意多复习、多运用，多总结，培养学生运算能力和简化运算过程的意识。

3、有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，建议适当选择一些内容供学生研究。例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题等等。

圆的标准方程教学目标

(一)知识目标

1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标

1．进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力；

2.通过教学，使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法，提高学生运算能力、逻辑思维能力；

3.通过运用圆的标准方程解决实际问题的学习，培养学生观察问题、发现问题及分析、解决问题的能力。

(三)情感目标

通过运用圆的知识解决实际问题的学习，理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。

教学重、难点 (一)教学重点

圆的标准方程的理解、掌握。

(二)教学难点

圆的标准方程的应用。

教学方法

选用引导―探究式的教学方法。

教学手段

借助多媒体进行辅助教学。

教学过程

Ⅰ.复习提问、引入课题

师：前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学们考虑：如何求适合某种条件的点的轨迹？

生：①建立适当的直角坐标系，设曲线上任一点M的坐标为(x，y)；
②写出适合某种条件p的点M的集合P＝｛M ︳p（M）｝；
③用坐标表示条件，列出方程f(x,y)=0；
④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点（一般省略）。［多媒体演示］

师：这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程，今天我们来看圆这种曲线的方程。［给出标题］ 师：前面我们曾证明过圆心在原点，半径为5的圆的方程：x2+y2=52 即x2+y2=25. 若半径发生变化，圆的方程又是怎样的？能否写出圆心在原点，半径为r的圆的方程？

生：x2+y2=r2.师：你是怎样得到的？（引导启发）圆上的点满足什么条件？

生：圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即 ，亦即 x2+y2=r2.师：x2+y2=r2 表示的圆的位置比较特殊：圆心在原点，半径为r.有时圆心不在原点，若此圆的圆心移至C（a,b）点（如图），方程又是怎样的？ 生：此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合， 由两点间的距离公式得

即：（x-a）2+(y-b)2= r2 Ⅱ.讲授新课、尝试练习

师：方程（x-a）2+(y-b)2= r2 叫做圆的标准方程.? 特别：当圆心在原点，半径为r时，圆的标准方程为：x2+y2=r2.师：圆的标准方程由哪些量决定？

生：由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

师：很好！实际上圆心和半径分别决定圆的位置和大小。由此可见，要确定圆的方程，只需确定a、b、r这三个独立变量即可。

1、写出下列各圆的标准方程：［多媒体演示］

① 圆心在原点，半径是3 ：________________________ ② 圆心在点C（3，4），半径是 ：______________________ ③ 经过点P（5，1），圆心在点C（8，－3）：_______________________

2、? 变式题［多媒体演示］

① 求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。

答案：(x-1)2 + (y-3)2 = ② 已知圆的方程是 (x-a)2 +y2 = a2 ,写出圆心坐标和半径。

答案：
C（a,0）,? r=|a| Ⅲ.例题分析、巩固应用

师：下面我们通过例题来看看圆的标准方程的应用.［例1］ 已知圆的方程是 x2+y2=17，求经过圆上一点P（，）的切线的方程。

师：你打算怎样求过P点的切线方程？

生：要求经过一点的直线方程，可利用直线的点斜式来求。

师：
斜率怎样求？ 生：。。。。。。

师：已知条件有哪些？能利用吗？不妨结合图形来看看（如图） 生：切线与过切点的半径垂直，故斜率互为负倒数 ? 半径OP的斜率 K1＝， 所以切线的斜率 K＝－＝－ 所以所求切线方程：y-= －(x-) 即：x+y=17 (教师板书) 师：对照圆的方程x2+y2=17和经过点P（，）的切线方程x+y=17，你能作出怎样的猜想？

生：。。。。。。

? 师：由x2+y2=17怎样写出切线方程x+y=17,与已知点P（，）有何关系？ （若看不出来，再看一例）

［例1/］? 圆的方程是x2+y2=13，求过此圆上一点（2，3）的切线方程。

答案：2x+3y=13? 即：2x+3y－13＝0 师：发现规律了吗？（学生纷纷举手回答）

生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x和一个y，便得到了切线方程。

师：若将已知条件中圆半径改为r，点改为圆上任一点（xo,yo）,则结论将会发生怎样的变化？大胆地猜一猜！ 生：xox+yoy=r2.师：这个猜想对不对？若对，可否给出证明？ 生：。。。。。。

［例2］已知圆的方程是 x2+y2=r2，求经过圆上一点P（xo,yo）的切线的方程。

解：如图(上一页)，因为切线与过切点的半径垂直，故半径OP的斜率与切线的斜率互为负倒数

? ∵半径OP的斜率 K1＝，∴切线的斜率 K＝－＝－ ∴所求切线方程：y-yo= － (x-xo) 即：xox+yoy=xo2+yo2 亦即：xox+yoy=r2.(教师板书) ? 当点P在坐标轴上时，可以验证上面方程同样适用。

归纳总结：圆的方程可看成 x.x+y.y=r2,将其中一个x、y用切点的坐标xo、yo 替换，可得到切线方程

［例3］右图为某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB＝20M，拱高OP＝4M，在建造时每隔4M需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度。（精确到0.01M）

引导学生分析，共同完成解答。

师生分析：①建系；

②设圆的标准方程（待定系数）；
③求系数（求出圆的标准方程）；
④利用方程求A2P2的长度。

解：以AB所在直线为X轴，O为坐标原点，建立如图所示的坐标系。则圆心在Y轴上，设为

（0，b）,半径为r，那么圆的方程是? ?x2+(y-b)2=r2.∵P(0,4),B(10,0)都在圆上，于是得到方程组：
? 解得：b=-10.5 ,r2=14.52 ∴圆的方程为 x2+(y＋10.5)2=14.52.将P2的横坐标x=-2代入圆的标准方程 且取y>0 得：y= ≈14.36-10.5=3.86 (M) 答：支柱A2P2的长度约为3.86M。

Ⅳ.课堂练习、课时小结 课本Ｐ77练习2，3 师：通过本节学习，要求大家掌握圆的标准方程，理解并掌握切线方程的探求过程和方法，能运用圆的方程解决实际问题.Ⅴ.问题延伸、课后作业

(一)若P（xo,yo）在圆（x-a）2+(y-b)2= r2上时，試求过P点的圆的切线方程。

课本Ｐ81习题7.7 : 1，2，3，4 (二)预习课本Ｐ77～Ｐ79 ? 教学设计说明

在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

设计理念：

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，共同提高。

设计思路：

本节课的设计与教材的呈现方式有所不同，教材只是教学的蓝本，教师在理解教材编写意图的基础上，应发挥主观能动作用，对教材资源进行再加工、再创造，这样教学有利于认知结构与知识结构的有机结合，也有利于学生从深层次理解和掌握圆的标准方程。鉴于此，本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。第

一、二个例题，从特殊到一般给出切线方程，培养学生探究问题的兴趣，不断完善自己的认知结构。第三个例题，充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；
同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。

修改后：

圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：

1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r ①

化简可得：(xa)2(yb)2r

2 ②

64A2M-55-2-4 引导学生自己证明(xa)(yb)r为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

2、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。

（1）(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外 （2）(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上

22222（3）(x0a)2(y0b)2

2ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

例(3):已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程.

4l2A-5m5-2CB-4-6

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本p127第

1、

3、4题

提炼小结：

1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。 作业：课本p130习题4.1第

2、

3、4题

修改后：

圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：

1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件(xa)2(yb)2r ①

化简可得：(xa)2(yb)2r

2 ②

64A2M-55-2-4 引导学生自己证明(xa)(yb)r为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的关系的判断方法：
（1）(x0a)2(y0b)2>r，点在圆外 （2）(x0a)2(y0b)2=r，点在圆上

22222222（3）(x0a)2(y0b)2

2ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r

2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程.师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

（教师板书解题过程。）

4l2A-5m5-2CB-4-6

总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

②、根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本p127第

1、

3、4题

提炼小结：

4、圆的标准方程。

5、点与圆的位置关系的判断方法。

6、根据已知条件求圆的标准方程的方法。 作业 ：课本p130习题4.1第

2、

3、4题

圆的标准方程教案

.教学目标

知识目标:1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程;

2.会由圆的方程写出圆的半径和圆心,能根据条件写出圆的方程.

能力目标:1.进一步培养学生用解析法研究几何问题的能力;

2.使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解;

3.增强学生用数学的意识.

情感目标:培养学生主动探究知识、合作交流的意识,在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.

2.教学重点.难点

教学重点:圆的标准方程的求法及其应用.

教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程以及选择恰

当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

3.教学过程

创设情境

问题一:已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7m,高为3m的货车能不能驶入这个隧道?

[引导]画图建系

[学生活动]:尝试写出曲线的方程

解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在直线为x轴,建立直角坐标系,则半圆的方程为x2y2=16

将x=2.7代入,得.

即在离隧道中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度,因此货车不能驶入这个隧道。

深入探究

问题二:1.根据问题一的探究能不能得到圆心在原点,半径为的圆的方程?

答:x2y2=r2

2.如果圆心在,半径为时又如何呢?

[学生活动]探究圆的方程。

[教师预设]方法一:坐标法

如图,设m是圆上任意一点,根据定义点m到圆心c的距离等于r,所以圆c就是集合P={m||mc|=r}

由两点间的距离公式,点m适合的条件可表示为①

把①式两边平方,得22=r2

方法二:图形变换法

方法三:向量平移法

应用举例

I.直接应用

问题三:1.写出下列各圆的方程

圆心在原点,半径为3;

圆心在,半径为;

经过点,圆心在点.

2.根据圆的方程写出圆心和半径

;.

II.灵活应用

问题四:1.求以为圆心,并且和直线相切的圆的方程.

[教师引导]由问题三知:圆心与半径可以确定圆.

2.已知圆的方程为,求过圆上一点的切线方程.

[学生活动]探究方法

[教师预设]

方法一:待定系数法

方法二:待定系数法

方法三:轨迹法[多媒体演示]

方法四:轨迹法

3.你能归纳出具有一般性的结论吗?

已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:.

III.实际应用

问题五:如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20m,拱高oP=4m,在建造时每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱的长度.

[多媒体演示创设实际问题情境]

反馈训练

问题六:1.求以c为圆心,并且和y轴相切的圆的方程.

2.已知点A,B,求以AB为直径的圆的方程.

3.求圆x2y2=13过点的切线方程.

4.已知圆的方程为,求过点的切线方程.

小结反思

.课堂小结:

圆心为c,半径为r的圆的标准方程为:

当圆心在原点时,圆的标准方程为:

求圆的方程的方法:①找出圆心和半径;②待定系数法

已知圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程是:

求解应用问题的一般方法

2.分层作业:巩固型作业:课本P81-82:1.2.4

思维拓展型作业:

试推导过圆上一点的切线方程.

3.激发新疑:

问题七:1.把圆的标准方程展开后是什么形式?

2.方程:的曲线是什么图形?

教学设计说明

圆是学生比较熟悉的曲线,初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究,因此这节课的重点确定为用解析法研究圆的标准方程及其简单应用。.首先,在已有圆的定义和求曲线方程的一般步骤的基础上,用实际问题引导学生探究获得圆的标准方程,然后,利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生用数学的意识。另外,为了培养学生的理性思维,我分别在引例和问题四中,设计了两次由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力。在问题的设计中,我用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,并且使学生的有效思维量加大,随时对所学知识和方法产生有意注意,能力与知识的形成相伴而行,这样的设计不但突出了重点,更使难点的突破水到渠成.

本节课的设计了五个环节,以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想。应用启发式的教学方法把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,在解决问题的同时锻炼了思维.提高了能力、培养了 自3edu教育网兴趣、增强了信心

依兰职业中学：于海霞学科：数学

《圆的标准方程》教学反思

前几天上了一节《圆的标准方程》课，课程上好后,我进行了反思,课前我认为同学们在初中的时候学习了圆,而且应该对圆的定义应该有比较深入的了解,但是实际情况比我想像的要糟糕.我觉得同学们的基础没有达到我的预期.本节课的设计通过适当的创设情境，调动学生的学习兴趣。然后以问题做链，环环相扣，运用前段时间学习的求曲线的方法引导学生探索方程,使学生的探究活动贯穿始终.从圆的标准方程的推导到标准方程的求解都是在问题的指引下，通过我的适度引导、侧面帮助、不断肯定，由学生探究完成并走向成功.在内容上,有如下感悟:

（1）圆是最简单的曲线．这节教材安排在学习了曲线方程概念和求曲线方程之后，学习三大圆锥曲线之前，旨在熟悉曲线和方程的理论，为后继学习做好准备．同时，有关圆的问题，特别是直线与圆的位置关系问题，也是解析几何中的基本问题，这些问题的解决为圆锥曲线问题的解决提供了基本的思想方法．因此教学中应加强练习，使学生确实掌握这一单元的知识和方法．

（2）在解决有关圆的问题的过程中多次用到配方法、待定系数法等思想方法，教学中应多总结．

（3）解决有关圆的问题，要经常用到一元二次方程的理论、平面几何知识和前边学过的解析几何的基本知识，教师在教学中要注意多复习、多运用，培养学生运算能力和简化运算过程的意识．

（4）有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题．建议适当选择一些内容供学生研究．例如由过圆上一点的切线方程引申到切点弦方程就是一个很有价值的问题．类似的还有圆系方程等问题．

(5)应该重视激发学生求知欲。教学圆的认识时，注重给学生创设思维的空间，注意引导学生积极体验，自己产生问题意识，自己去探究、尝试，总结，从而主动获取知识。

(6)应该适当运用计算机机多媒体引导展示,能够节省时间.整个教学设计，我的希望是以学生自主学习为主，所以很多问题都由学生独立思考或讨论完成，教师仅仅是一个引路人，让学生的主体地位得到充分体现，注重学生思维的形成过程,并将数学思想方法渗透到教学中。

总的来说，这节课几乎是按自己的教学设计在进行，而且顺利地完成了。应该说在学生动手，双基落实方面还不错，学生的活动也比较充分，教师仅是及时的引导和点评，让学生的主体性得到了较为充分的体现。另外，在教学中不断的渗透数学思想和方法，让学生思维得到提升。教学目的明确，可操作性强，符合课程标准的理念；
重点确定恰当，难点估计准确，突破方法得当。

课堂教学结构完整，各活动联系密切，能围绕目标组织教学；
教材的加工与处理方法得当，例题练习题取舍合理，符合精讲精练教学理念；
提问问题恰当，有启发性；
课堂教学气氛活跃，学生参与程度高，体现探究性学习的要求；
课后习题有层次性，拓展适当，体现了发展性原则。课后作业层次鲜明，思考题有一定的挑战性。

当然，这节课还有很多不足的地方。比如：在变式练习时，缺乏解题和板书的完整性；
另外，后面的课堂练习也没有得到及时的反馈，这是较遗憾的。应适当加大练习量，多给学生发言机会。

从这堂课的教学设计和教学的过程中，我得到了锻炼和提高，这对我在今后的教学有很大的帮助。

圆一般方程教学设计

圆方程教学设计（共7篇）

标准教学设计

椭圆定义及标准方程教案模板（共18篇）

抛物线及其标准方程教学设计（共7篇）