s 一元函数积分学10.16--10.30号学习计划
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《高等数学》10月15日-10月30日学习计划
1.10月15日——30日务必完成的学习任务。
（1）学习计划中的练习题（请学员自己打印出来认真完成）
（2）暑假发放的黄色封面《专升本精品习题》第四章“不定积分”、第五章“定积分”、第六章“定积分的应用”这三章中B类和C类题目全部完成（注：这本书中的A类题目相对较难，跟踪服务阶段第二轮复习的时候再有选择性的做）
（3）李承家教授主编的《高等数学》专用教材（绿色封面）中的A类题目全部完成。
2.虽然这一阶段的学习任务比较繁重，但请同学们必须坚持下去，专升本是持久战，我们要有决心和耐心坚持到最后的胜利。数学的学习没有什么捷径，就是多做多练。请各位同学务必重视这一阶段的复习，此阶段没有跟上的话，后期很难跟上。
3.做习题时，就当作考试来对待，尽量不要一边看答案一边做，要自己独立思考，做完之后再对答案。每月的答疑时间，我们要对每个学员的复习情况和习题完成质量做检查。
不懂的问题，请做好记录，答疑时集中解决。
第三部分 一元函数积分学
考纲要求
（一）不定积分
1. 知识范围
（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质
（2）基本积分公式
（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法） 第二换元法
（4）分部积分法
（5）一些简单有理函数的积分
2. 要求
（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理。
（2）熟练掌握不定积分的基本公式。
（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。
（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。
（5）会求简单有理函数的不定积分。
（二）定积分
1. 知识范围
（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义
（2）定积分的性质
（3）定积分的计算
变上限的定积分 牛顿一莱布尼茨（Newton - Leibniz）公式
换元积分法 分部积分法
（4）无穷区间的广义积分
（5）定积分的应用：平面图形的面积 旋转体的体积
2. 要求
（1）理解定积分的概念与几何意义。
（2）掌握定积分的基本性质。
（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。
（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。
（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
（6）理解无穷区间上有界函数的广义积分与有限区间上无界函数的瑕积分的概念，掌握它们的计算方法。
（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积。
注：概念与理论：了解● 理解●● 方法与运算：会★ 掌握★★ 熟练掌握★★★
§3.1 不定积分
基本概念、性质
1.原函数与不定积分的概念（书P212）●●
设是在区间I上的一个原函数，即意味着，且
，其中为任意常数。
2.不定积分的性质(书P219) ★★
设,其中为的一个原函数，C为任意常数。
则(1) 或
(2) 或
(3)
(4)
3．原函数的存在性●
连续函数一定有原函数，初等函数在其定义区间内一定有原函数。但初等函数的原函数不一定是初等函数，例如， ，，， ，等被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
4. 不定积分的几何意义:
的原函数的图形———的积分曲线；
的图形———的所有积分曲线组成的平行曲线族。
二、不定积分基本公式（书P217 P234）★★★
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）．
三、不定积分的计算方法及其题型归类
1.直接积分法
利用恒等变形，积分性质及基本积分公式进行积分 常用恒等变形方法：展开，通分，拆项，有理化，加项，减项，利用三角公式 , 代数公式分解。
例
2.第一换元积分法（凑微分法）(书P222) ★★★
第一换元积分法解决的问题：
↑ ↑
难求 易求
利用第一换元积分法求不定积分的常见类型有如下七种：
①类型一：
例 求不定积分
解：令，则，
故
②类型二：，且
例 求
③类型三：
例
④类型四：
例
⑤类型五：，，
，，
例
-
⑥类型六：，
⑦类型七：
例
从上述例子可以看出，第一换元法实质上就是复合函数微分法的逆运算，解题的关键在于会灵活巧妙的“凑微分”。其中七种类型的凑微分法是最常见的。
常用凑微分技巧:
（1）分式拆项，利用积化和差，倍角公式等
（2）降低次幂:加一项减一项，再拆项凑微分
3.第二换元积分法(书P230) ★★
第二换元积分法解决的问题：
↑ ↑
易求 难求
(1)三角代换
当被积函数中含有，或时可分别使用三角代换，，将根号消去，求得不定积分。
例 求不定积分，
解：＝
＝＝－=-
(2)简单根式代换
当被积函数含有两种或两种以上的根式，…，时，可采用令，其中
为各根指数的最小公倍数，则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分。
例 求不定积分，
解： ＝ 6＝ 6
＝6＝2
=2-3
解：令，即，则，
于是
4.分部积分法 (书P236) ★★★
设，均有连续的导数，则＝－或
＝－
选取及（或）的原则：
1)把被积函数视为两个函数之积，其中v容易求得；
2）比容易计算
凡属于以下类型的不定积分，常可利用分部积分法求得：
，，，，，，，，，，，，其中，是正整数，，是常数，是多项式。
例 （1）
（2）
故
例（2）的解题方法称为循环积分法，它是通过一次或二次分部积分后又出现了自身的积分，通过移项合并后求出不定积分，这是一种重要的题型。
（3）证明，（）
证明：
说明：
分部积分题目的类型：1) 直接分部化简积分；
2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式；
3) 对含自然数n 的积分, 通过分部积分建立递推公式 。
5. 简单有理函数的不定积分
有理函数是真分式或假分式，（具体见课本242页）
（1）利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
（2）在实数范围内真分式总可以分解成若干个最简分式（也称部分分式）之和
确定部分分式中的各待定常数的方法称为待定系数法。
①用待定系数法求出待定系数
例1 求不定积分
解：
将通分，比较系数得到，
故
②用拼凑法求出待定系数 ★★
例2 求不定积分
解：
③将含有如， 等简单根式的不定积分，通过适当的变量代换，消去根式化为有理函数的不定积分。
解决方法：作代换，去掉根号，其中n为n1,n2的最小公倍数
例1 求不定积分
解：令，则，
故
例2 求不定积分
解：令，则，
四、典型例题
例 1求不定积分
解法1：先换元，后分部积分
故
解法2：分部积分法
故
例2 求不定积分
解法1：先分部积分，后换元
（）
解法2：先换元，再分部积分
例3 求
解法1：由分部积分法知
＝—=x—2
=+2
= +2
= +2
= +2－+C
解法2：第二换元法，令，则 ，
＝
＝＝
＝＋－
=+
积分法具有很大的灵活性，且同一积分往往有多种方法可求得结果，而运算的难易又常与方法的选择有关。因此应多做练习，在熟悉各种积分的前提下，分析比较，以期用最简单的方法求得积分。
例4、设的一个原函数F（x）＝，求I＝
解：I＝＝－＝x
= － ＋C
例5、设，当x时 f(x)F(x)＝ ，又F(0)＝1，F(x)>0，
求（）
解：2＝2＝
而＝＝
=+－＝＋
＝＋C ，，C=0，又，
因此
则 ＝＝
例6、设＝，求I＝
解法1：令，则， ，
则 I＝＝－＝－2
＝－2＋2
＝ －2＋＋C
解法2：令，则，，
则I＝
＝－2tcost＋2＝－2tcost＋2sint＋C
＝－2＋2＋C
§3.2 定积分和广义积分的概念与计算方法
内容要点
定积分的概念与性质 (书P253)
定积分的定义及其几何意义（略）(可查阅书P256) ●●
定积分的性质(书P262) ★★
积分中值定理，设在上连续，则存在使得
定义：我们称为在上的积分平均值。
基本定理
变上限积分的函数(书P269) ●●★★
定理：设f（x）在上连续，则在上可导，且
推广形式，设＝，可导，f(x)连续，
则＝
牛顿－莱布尼兹公式(书P271) ★★
设 在上可积，为在上任意一个原函数，则有＝＝
三、定积分的换元积分法和分部积分法(书P276) ★★
1、＝（在上有连续导数，单调，）
2、
四、广义积分(书P308) ●●★★
定积分的积分区间是有限区间，如果在上是有界的，积分区间推广到无穷区间就是无穷区间上有界函数的广义积分；如果在某一点的附近是无界的，则积分就是瑕积分。
无穷区间上有界函数的广义积分：
若极限存在，则称广义积分是收敛的，它的值就是极限值；若极限不存在，则称反常积分是发散的。而发散的广义积分没有值的概念。
＝
同样有收敛和发散的概念，收敛的广义积分有值的概念。
＝＋＝＋
瑕积分：若是瑕点，；若是瑕点，
；若是瑕点，，
＝＋＝＋
典型例题
一、一般方法
例1、计算下列定积分
（1）＝＋＝＋＝2
（2）＝＋＋＝
（3）＝＋＋＝
（4）＝＝
＝2＝2＝
二、用特殊方法计算定积分
例1、计算下列定积分
I＝（为连续函数，）
I＝
I＝（为常数）（）
I＝
解：（1）令，则
I＝， 2I＝＝， I＝
（2）令，则
I＝＝
＝－I ， 2I＝， I＝
（3）令，则
I＝－＝，
2I＝＝＝，I＝
（4）令，则 ，于是
I＝＝
因此，2I＝ ，则I＝1
例2 设连续函数满足，求
解：令，则，
两边从1到e进行积分，得－-
于是
，，，则
例3、设连续，且，，求
解：变上限积分的被积函数中出现上限变量必须先处理，令u＝2x－t，则
－＝－（）
代入条件方程后，两边对求导，得
三、反常积分
例1、计算I＝
解：I＝＝＝－
＝－＋＝＋
＝＝0
＝
＝＝ln＝ln1－ln＝ln2
（这里＝ln1＝0） 于是I＝＋＝ln2
例2 计算
解：令 ，I＝＝
由于＝
I＝==
例3 计算瑕积分
解：是瑕点，
所以
例4 计算瑕积分
解：是瑕点，
§3.3 有关变上（下）限积分和积分证明题（专题研究）
有关变上（下）限积分
例1 设 (常数)，求
解：
＝＝－
＝－＝
例2 设在内可导，，对所有x，t，均有，求
解：把所给方程两边求x求导，＋du
把代入，得 ＝
再两边对求导，得＋＝
于是，则=+ C ,令代入得 ，即
例3 设为连续函数，且满足＋＝，求在[0,2]上的最大值与最小值。
解：先从方程中求出，为此方程两边对求导
＝
=
而=
因此
两边再对求导，得
，令，得驻点
又在[0,2]上没有不可导点，比较，，可知在[0,2]上最大值为，最小值为
例4 设在上连续，且,证明内单调增加。
证：当时，因为
在内单调增加
二、积分证明题
例1 设在[0,]上连续，，，
求证存在，使得
证：令， 则，
又
如果在（0,）内恒为正或恒为负， 则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而sin，所以，
于是在区间上分别用罗尔定理，则存在使
，存在＝0，其中
例2 设在[0,1]上有连续的一阶导数，且，试证：，
其中M＝
证：用拉格朗日中值定理
，其中
,其中
由题设可知; 又
因此
＝＝
例3 设，在上连续，证明
证：（引入变上限积分）
令
于是
（）
则 在上单调不增 故
即
例4 设在上连续，证明
证：在例3中，令，则
于是＝
§3.4 定积分的应用
内容要点
直角坐标系下平面图形的面积计算(书P287) ★★
在区间上，求由曲线与
以及直线，所围成的图形的面积。
模型I
在区间上，，求由曲线与
以及直线，所围成的图形的面积。
模型II
注：复杂图形分割为若干个小图形，使其中每一个符合模型I或模型Ⅱ加以计算，然后再相加。
二、平面图形绕坐标轴旋转的旋转体的体积(书P293) ★★
（1）平面图形由曲线与直线，和轴围成绕x轴旋转一周的体积
（2）平面图形由曲线与直线， 和轴围成绕轴旋转一周的体积
三、综合题
例1 求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积。
解：先求出点和处的切线
，，
抛物线在点处的切线方程为即
抛物线在点处的切线方程为即
抛物线与切线和所围成的平面图形如下图阴影部分所示
阴影部分面积
例2 设在上连续，在内，证明，且唯一，使得，，，所围面积是，， 所围面积的三倍。
证：令
，
由连续函数介值定理的推论可知使F＝0
再由，可知f（x）的单调增加性，则唯一
例3 设在上为任一非负连续函数。
（1）试证：，使上以为高的矩形面积等于上以为曲边的曲边梯形面积。
（2）又设在内可导，且，证明（1）中唯一。
（1）证：设，则，且，对F(x)在上用罗尔定理
，使，即证毕
（2）证:令＝－2－<0(由（2）的已知条件)
因此在（0，1）内， 单调减少，是唯一的
例4 求曲线在上的一条切线，使该曲线与切线、直线，所围成的图形面积最小。
解：设切点横坐标为，，则
切线方程为 ，即
所求面积为
即可将所求面积看为的函数，，
，令，得驻点
，
又因
故当时，函数取得极小值，同时也是最小值
所求切线方程为 ，即
例5 求由曲线y＝和直线y＝0，x＝1，x＝3 所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。
解法1：平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积
＝
平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积
＝27
所求体积=+=9
解法2：
=
=
例6 设是由抛物线和直线, 及所围成的平面区域; 是由抛物线和直线, 所围成的平面区域, 其中.
(1) 试求绕轴旋转而成的旋转体体积;绕y轴而成的旋转体体积
(2)问当为何值时, +取得最大值? 试求此最大值
解 (1)
=
或 =
(2) V=+=
由=0得区间内的唯一驻点 .
又因此是极大值点, 也是最大值点. 此时+的最大值为
练习题
1. 下列命题不正确的是( )
A. 若在区间的某个原函数是常数，则在区间恒为零；
B. 若在区间的某个原函数为零，则所有原函数是常数；
C. 若在区间不是连续函数，则在区间必无原函数；
D. 若是的任意一个原函数，则必定为连续函数
2. 设是在区间I上的原函数，则（ ）
A. 必为初等函数且有界 B. 必为初等函数但未必有界
C. 在I上必连续且有界 D. 在I上必连续但未必有界
3. 设，在区间连续，则在上（ ）
A. 的全体原函数为奇函数 B. 的全体原函数为偶函数
C. 有唯一原函数为奇函数 D. 的任意原函数既不是奇函数也不是偶函数
4. 设是在区间的一个原函数，则在上（ ）
A. 可导 B. 连续
C. 存在原函数 D. 是初等函数
5. ，则：（ ）
A. 为的一个原函数 B. 在上可微，但不是的原函数
C. 在上不连续 D. 在上连续，但不是的原函数
6. 求下列不定积分
（1) (2) (3)
(4) (5) (6)
（7） （8） （9）
（10） （11） （12） （）
（13）
7. 若是的原函数，求
8.若，，求
9.求，其中
10.计算下列反常积分
（1） （2）
（3） （4）
11. 求下列函数的导数
（1） （2）
（3）若是具有连续导数的函数，且，设，求
12. 已知，求递推公式
13. 已知的一个原函数是，求
14. 设连续，且，求
15. 设，求
16. 设连续，且，，求
17. 连续， （1）求证：
（2）求
18. 曲线与它两条互相垂直的切线所围成平面图形的面积为，其中一条切线与曲线相切于点，，求为多少时，面积最小。
19. 设抛物线通过点，且当时，。试确定，，的值，使得抛物线与直线，所围成图形的面积为，且使该图形绕轴旋转而成的旋转体的体积最小。
20. 设曲线过原点及点，且为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与轴和曲线围成的面积是另一条平行线与轴和曲线所围成的面积的两倍，求曲线方程。
