数列常见题型总结计划经典x

时间：2020-11-24 07:33:07　来源：小苹果范文网本文已影响人

高中数学《数列》常见、常考题型总结

题型一数列通项公式的求法

1．前 n 项和法（知 Sn 求 an ） an

例 1、已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn 变式：已知数列 { an } 的前 n 项和 Sn

练习：

Sn 1 (n

12n

n 2 ，求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn

12n ，求数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn

1、若数列 { an } 的前 n 项和 Sn

2n ，求该数列的通项公式。答案： an

1 (n

2、若数列 { an } 的前 n 项和 Sn

3 an 3 ，求该数列的通项公式。答案：

n2 ，

3、设数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，数列 { Sn } 的前 n 项和为 Tn ，满足 Tn

2Sn

求数列 { an } 的通项公式。

Sn 为 { an } 的前 n 项和， Sn =3（ an － 1），求 an （ n∈ N+）

5、设数列 an 满足 a1 3a2 32 a3 ? +3n-1 an

n (n N * ) ，求数列 an 的通项公式（作差法）

2. 形如 an 1

an f (n) 型（累加法）

（1）若 f(n)

为常数 , 即： a n 1

d , 此时数列为等差数列，则

an =a1 ( n 1) d .

（2）若 f(n)

为 n 的函数时，用累加法 .

例 1. 已知数列｛ a ｝满足 a1 1,

n 1

an 1 ( n

例 2. 已知数列 an

的首项为 1，且 an 1 an 2n(n

例 3. 已知数列 { an

} 满足 a1 3 ， an

an 1

n(n 1)

3. 形如 a n 1

f (n) 型（累乘法）

（1）当 f(n)

为常数，即： an 1

q（其中 q 是不为

a n

（2）当 f(n)

为 n 的函数时 , 用累乘法 .

N ) 写出数列 an 的通项公式 .

0 的常数），此数列为等比且 an = a1 q n 1 .

例 1、在数列 {

} 中 a

1, a

(n 2)

，求数列的通项公式。答案：

n 1

练习：

1、在数列 { an } 中 a1

1, an

1 an 1 (n

2) ，求 an 与 Sn 。答案： an

n(n

2、求数列 a 1,a

3 a

(n 2) 的通项公式。

1 n 1

4. 形如 an

pan 1

型（取倒数法）

ra n 1

例 1. 已知数列 an

中， a1

2 ， an

(n 2) ，求通项公式 an

2an 1

练习： 1、若数列 { an } 中， a1

an 1

, 求通项公式 an . 答案： an

3an

2、若数列 { an } 中， a1

1 ， an

2anan

1 ，求通项公式 an . 答案： an

5．形如 an

, 其中 a1

a ) 型（构造新的等比数列）

can

d , (c

（1）若 c=1 时，数列 { an } 为等差数列 ; （2）若 d=0 时，数列 { a n } 为等比数列 ;

（3）若 c

1且d 0 时，数列 { an } 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求 .

方法如下：设 an 1

c(an

A) , 利用待定系数法求出 A

例 1．已知数列 {

}

中， a1

2, an 1

, 求通项 a n .

练习： 1、若数列 { an } 中， a1

2 , an 1

2an

1, 求通项公式 an 。答案： an

2、若数列 {

}

求通项公式

2 n

中， a1

。答案： an 3 2

(

6. 形如 a n 1

pan

f (n) 型（构造新的等比数列）

(1) 若 f (n)

kn b 一次函数 (k,b

是常数，且 k

0 ) ，则后面待定系数法也用一次函数。

例题 . 在数列 { an } 中，

3 ，

3, 求通项

an .

n 1

解：原递推式可化为 2(an

an 1

k(n

1) b

比较系数可得： k=-6,b=9,

上式即为

2bn

所以 bn

是一个等比数列，首项 b1

9,公比为 1.

9 ( 1) n 1即： an

9 9 ( 1 ) n ，故 a n

9 ( 1) n

6n 9 .

练习： 1、已知数列 an

中， a1

， an

3an

4n 2 ，求通项公式 an

(2) 若 f (n)

q n ( 其中 q

是常数，且 n

0,1)

①若 p=1 时，即： an

qn ，累加即可

②若 p

1 时，即： a n

p an

qn ，后面的待定系数法也用指数形式。

两边同除以 q n 1 . 即： an 1

qn 1

令 bn

, 则可化为 bn 1

例 1. 在数列 { an } 中， a1

1 ,

q n

1 . 然后转化为类型 5 来解，

2 ，且 an 2an 1 3n 1

(n N ) ．求通项公式 an

1、已知数列 an 中， a1

1 ， 2an

( 1) n ，求通项公式 an 。答案： an

2、已知数列 an 中， a1

1 ， an 1

3an

3 2n ，求通项公式 an 。答案： an

7 3n 1

3 2n

题型二根据数列的性质求解（整体思想）

1、已知 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和， a6

100 ，则 S11 ；

2、设 Sn 、 Tn 分别是等差数列 an 、 an

的前 n 项和，

，则

3、设 Sn 是等差数列 a n 的前 n 项和，若 a5

,则 S9

（）

5、在正项等比数列 an 中， a1a5 2a3a5

a3 a7

25 ，则 a3

_______。

6、已知 Sn 为等比数列 an 前 n 项和， Sn

54 ， S2 n

60 ，则 S3n .

7、在等差数列 an 中，若 S4

1, S8

4 ，则 a17

a18

a19

a20 的值为（）

8、在等比数列中，已知 a9 a10

a(a

0) ， a19

a20

b ，则 a99

a100.

题型三：证明数列是等差或等比数列

A) 证明数列等差

例 1、已知数列 { an

的前

项和为

n，且满足

n· n－ 1 （ ≥ ）， 1

求证：

{

}

a +2S S

=0 n 2a =

是等差数列；

B）证明数列等比

例 1、已知数列 an

满足 a1 1,a2

3, an 2 3an 1

2an (n

N* ).

⑴证明：数列 an 1

an 是等比数列；⑵求数列

an 的通项公式；

题型四：求数列的前 n 项和

基本方法： A）公式法，

B）分求和法

1、求数列 {2 n

2n 3} 的前 n 项和 Sn .

2.S13

(

1)n ( 2n

3.若数列 { a } 的通公式是

a ＝ (－ 1) ·(3n－ 2)， a ＋ a ＋?＋ a ＝ (

)

A ． 15B． 12C．－ 12D．－ 15

4.求数列 1， 2+

1，3+1

， 4+ 1 ，?， n

2n 1

5.已知数列 { an} 是 3＋ 2－ 1,6＋22 －1,9＋ 23－ 1,12＋ 24－ 1，?，写出数列 { an} 的通公式并求其前

n 和

Sn.

C）裂项相消法，数列的常见拆项有：

1 ( 1

1 )；

n 1

n；

n(n k ) k n n k

n 1

例 1、求和： S=1+

例 2、求和：

2 1 3 2 4 3 n 1 n

D）倒序相加法，

例、设 f ( x)

2 ，求： f ( 20101 )

f ( 20091 )

f ( 31 )

f ( 21 ) f (2)

f ( 2009) f (2010).

E）错位相减法，

1、若数列 an 的通项 an (2n

3n ，求此数列的前 n 项和 Sn .

2. Sn 1 2 x 3x2

L nxn 1 (x

（将分为 x

1和 x

1 两种情况考虑）

题型五：数列单调性最值问题

例 1、数列

，当数列

的前

取得最小值时，

中， a

项和 S

例 2、已知 Sn 为等差数列 an

的前 n 项和， a1

25, a4

16. 当 n 为何值时， Sn 取得最大值；

例 3、设数列 an 的前 n 项和为 Sn ．已知 a1

a ， an

3n ， n N * ．

（Ⅰ）设 bn

3n ，求数列 bn 的通项公式；（Ⅱ）若 an

1 ≥ an ， n N * ，求 a 的取值范

围．

题型六：总结规律题

1．已知数列 an

满足 an

5an 1

2 (n 2, n

N * ) ，且 an 前 2014 项的和为 403，则数列

an 1

an an 1 的前 2014 项的和为？

2．数列 {an} 满足 an+1 ＋(－1)nan＝ 2n－1，则 { an} 的前 60 项和为？

常见练习

1．方程 x2

6x 4

0的两根的等比中项是（）

A．3B． 2C．

6 D．2

2、已知等比数列

an 的前三项依次为 a

1， a

1 ， a 4 ，则 an

n 1

A ． 4

B． 4

D．

C． 4

3．一个有限项的等差数列，前 4 项之和为 40，最后 4 项之和是 80，所有项之和是

210，则

此数列的项数为（）

A．12B． 14C．16D．18

．

是等差数列， S10

0, S11

，则使 an

0 的最小的 n 值是（）

4 {a

}

A．5B． 6 C．7D．8

5.若数列 1,2cos , 22 cos2

, 23 cos3

L , 前 100 项之和为 0，则

的值为（）

Z ) 2k

2 ( k Z ) 以上的答案均不对

6.设 2a=3,2b=6,2c=12,则数列 a,b,c 成

A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比

7．如果等差数列

中， a3

a4 a5

12 ，那么 a1 a2 ... a7 ()

（A）14（B）21（C）28（D）35

8. 设数列 {

} 的前

项和 S

n3 ，则

的值为

()

A） 15(B)37(C)27 （ D） 64

9. 设等比数列 { an } 的公比 q 2，前 n 项和为 Sn ，则 S4

（）

A． 2

B． 4

C． 15

D． 17

10. 设 Sn 为等比数列 an

的前 n 项和，已知 3S3 a4

2，3S2

a3 2，则公比 q

（）

（A）3（B）4（C）5

（D）6

11．已知 { an } 是等比数列， a2

2 ， a5

1 ，则 a1a2

a2 a3 L

anan

1（）

A． 32 (1

2 n )

B． 16(1 4 n ) C．16(1 2 n ) D． 32 (1

4 n )

12. 若数列 an 的通项公式是 an

(

1)n (3n

2) ，则 a1

a20

()

（A）30

（B）29

（C）-30

（D）-29

13. 已知等比数列 { an } 满足 an

0, n

1,2,L

，且 a5

a2 n 5

22 n ( n

3) ，则当 n

1时，

log 2 a1

log2 a3

log2 a2n

（）

n(2 n

1) (n

1)2

1)2 巳知函数 f (x)

cos x, x

(0,2

) 有两个不同的零点 x1, x2 , 且方程

f ( x)

m 有两个不同的实根 x3 , x4 . 若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，

则实数 m 的

值为 ()

A．

B．

C．

D．

15．已知等比数列 { an} 的前 n 项和

n－ 2

的值为 (

)．

Sn＝ t·5

－，则实数 t

A ．4

B．5

16．已知等差数列 {a n} 的前 n 项和为 Sn，a4+a7+a10=9，S14﹣ S3=77，则使 Sn 取得最小值时

n 的值为（

）

A ． 4

B． 5

C． 6

D． 7

17．若 {a n} 是等差数列，首项

a1>0 ，公差

d<0，且

a2013(a2012＋ a2013)<0，则使数列

{a n} 的前

n 项和

Sn>0

成立的最大自然数

n 是 (

)

A ．4027B ． 4026C．4025D ． 4024

18．已知数列满足： a1＝ 1， an＋ 1＝， (n∈ N* )，若 bn＋ 1＝ (n－ λ)，b1＝－ λ，且数列 { bn} 是单调递增数

列，则实数 λ的取值范围为

(

)

A． λ>2B． λ>3C． λ<2D．λ<3

19、由正数构成的等比数列 {an} ，若 a1 a3

a2 a4

2a2 a3

49 ，则 a2

．

20．已知数列

的前 n 项和为 Sn

n2 , 某三角形三边之比为 a2

: a3 : a4 ，则该三角形最大角

为．

21、给定 an

log( n

1) (n2) （n∈N* ），定义乘积 a1

为整数的 k（ k∈ N* ）叫做 “理想

数”，则区间 [1， 2008]内的所有理想数的和为．

22．设 a1 , d 为实数，首项为 a1 ，公差为 d 的等差数列 a

的前项和为 Sn ，满足 S3 S4

15 0，

则 d 的取值范围为．

23．设正整数数列

a 满足： a2

4 ，且对于任何 n

N *

，有 2

1 ，则

an 1

a10

24. 已知 an 为等比数列 , a4

2 , a5a6

8 , 则 a1

a10

________.

25. 设等差数列 an 的公差 d 不为 0， a1

．若 ak 是 a1 与 a2 k 的等比中项，则 k

______.

26、已知函数 f (x) 是一次函数，且 f (8)

15, f (2),

f (5),

f (14) 成等比数列，设 an

f (n) ，

2n ，求数列 { anbn} 的前 n 项和 Sn 。

( n N )（1）求

ai；（ 2）设 bn

i 1

27、已知数列 an

中， a1

2 ， a2

3 ，其前 n 项和 Sn 满足 Sn 1

Sn 1

2Sn

1（ n

2 ，

n N * ）．（ 1）求数列 an

的通项公式；（2）设 bn

(

1)n 1

2an (

为非零整数， n

N* ），

试确定的值，使得对任意 n

N * ，都有 bn 1

bn 成立．

28．已知数列 { an

} 中 a

1,a

4, 满足 a

5 a

2 a

n 1

3 n

（ I）设 bn an 1 an ，求证数列 { bn } 是等比数列；（Ⅱ）求数列 { an } 的通项公式．

29．已知等差数列 an 满足： a5 9, a2

14 .

（Ⅰ）求 an 的通项公式；（Ⅱ）若 bn

qan ( q 0 )，求数列 bn 的前 n 项和 Sn .

30．已知数列 an

的前 n 项和为 Sn ，且

, an 1 Sn

( n N , t为常数 )

( ) 若数列 a

为等比数列，求

的值； (

) 若 t

4,bn lg an

1 ，数列 { b

} 前 n 项和为 T

，

当且仅当 n=6 时 Tn 取最小值，求实数 t 的取值范围．

31．

是一个公差大于

0 的等差数列 , a1 , a2 , a5 成等比数列 ,

14 .(

Ⅰ) 求数列

的

通项公式 ;( Ⅱ) 若数列

和数列

满足等式 :

, 求数列

的前 n 项和

32．已知数列 an

满足 a1

1, an 1

, 其中 n

Ⅰ) 设 bn

, 求证 : 数列 bn 是等

N .(

2an

4an

差数列 , 并求出 an 的通项公式 an ;(

Ⅱ ) 设cn

4an , 数列 cncn 2

的前 n 项和为 Tn , 是否

存在正整数 m , 使得 Tn

对于 n

cmcm 1

N 恒成立 , 若存在 , 求出 m 的最小值 , 若不存在 , 请

说明理由 .

33．已知各项均为正数的数列

前 n 项和为 Sn ，首项为 a1

，且 1 , an , Sn 成等差数列 .（1）

求数列

的通项公式；（

）若 a

2 ( 1 )b n ，设 c n

b n

，求数列 c

的前

n 项和 Tn .

a n

34．一个等比数列

an 中， a1 a4

28， a2

12 ，求这个数列的通项公式 .

35．有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为 16，中间两数和为

求这四个数 .

36. 已知等差数列

an 满足： a2

5 ， a5

26 ，数列 an

的前 n 项和为 Sn ．

（Ⅰ）求 an 及 Sn

；（Ⅱ）设 b a

是首项为 1，公比为 3 的等比数列，求数列 b

的前 n 项

和 Tn .

37. 设 { an } 是公比为正数的等比数列， a1

2 ， a3 a2

4 . （Ⅰ）求 { an } 的通项公式；（Ⅱ）

求数列 {(2 n

1)an } 的前 n 项和 Sn .

38．已知数列

an 的前 n 项和为 Sn ，点 n, Sn

在直线 y

11 上.

（Ⅰ）求数列 an 的通项公式；（Ⅱ）设 bn

，求数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，

11)(2an 1 11)

(2 an

并求使不等式 Tn

k 对一切 n

N* 都成立的最大正整数 k 的值．

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