行列式计算技巧与方法总结(修改版)（29页）

时间：2020-11-26 07:49:49　来源：小苹果范文网本文已影响人

行列式的若干计算技巧与方法

内容摘要

行列式的性质

行列式计算的几种常见技巧和方法

定义法

利用行列式的性质

降阶法

升阶法（加边法）

数学归纳法

递推法

行列式计算的几种特殊技巧和方法

拆行（列）法

构造法

特征值法

几类特殊行列式的计算技巧和方法

三角形行列式

“爪”字型行列式

4. 3 “么”字型行列式

“两线”型行列式

“三对角”型行列式

范德蒙德行列式

行列式的计算方法的综合运用

5.1 降阶法和递推法

逐行相加减和套用范德蒙德行列式

构造法和套用范德蒙德行列式

=0.

1.2行列式的性质

性质1

行列互换，行列式不变.

即

a11

a12

a1n

a11

a21 an1

a21

a22

a2n

a12

a22 an2

an1

an2

ann

a1n

a2n ann

性质2

一个数乘行列式的一行

（或列）

，等于用这个数乘此行列式?即

aii

a12

a1n

a11

a12

a1 n

kaM

kai2

ka^

ai2

a in

an1

an2

ann

an1

an2

ann

性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样?即

3]1 a12 K a1n

a11 a12 K a1n

M M M M

b| c1 b2 c2 K bn cn

b b2 K bn

G C2 K Cn

M M M M

an1 an2 K ann

性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零?即

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

ai1

3i2

Sin

ai1

3i2

Sin

kai1

kai2

kain

ai1

ai2

ain

a n1

an2

a nn

an1

an2

a nn

性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即

a11

a12

a1 n

a11

a12

a1 n

ai1 cak1

ai 2 ca k2

ain cakn

ai1

ai2

ain

ak1

ak2

akn

ak1

ak2

akn

a n1

an2

a nn

a n1

an2

a nn

性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号 ?即

a11

a12

a1n

a11

a12

a1n

ai1

ai2

ain

ak1

ak2

akn

ak1

ak2

akn

=—

ai1

ai2

ain

an1

an2

ann

an1

an2

a nn

性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零?即

an ai2 ai』-i ain

0 0 0 0 0.

an1 an2 an,n-1 ann

2、行列式的几种常见计算技巧和方法

但当阶数较多、数字较大时,计算量大，有一定的局限性.2.1定义法

但当阶数较多、数字较大时,

计算量大，有一定的局限性.

适用于任何类型行列式的计算,

例1计算行列式

解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有 4! 24项，但由于出现很多的零，所以不

等于零的项数就大大减少?具体的说，展开式中的项的一般形式是 a1jla2j2a3j3a4j4 ?显然，如

果ji 4，那么ani 0 ,从而这个项就等于零?因此只须考虑 ji 4的项，同理只须考虑j2 3, j3 2,

果ji 4，那么ani 0 ,从而这个项就等于零?因此只须考虑 ji 4的项，同理只须考虑

j2 3, j3 2, j4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有 ai4a23a32a4i，而

4321 6，所以此项取正号?故

0 0 0 i

0 0 2 0

0 3 0 0

4 0 0 0

432i

ai4a23a32 a4i

24.

2.2利用行列式的性质

即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形

.该方法适用于低阶行列式.

2.2.i 化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:

aii

ai2

ai3

ain

a22

a23

a2n

a33

a3n

aiia22 ann，

ann

i ai a2

aii

a2i

a22

a3i

a32

a33

aiia22 ann

ani

an2

an3

ann

例2计算行列式Dni

i ai bi a2

i ai a2

an bn

解析：观察行列式的特点,

主对角线下方的元素与第一行元素对应相同,

故用第一行的 i

倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零?即：化为上三角形.

解：将该行列式第一行的i倍分别加到第2,3 （ n i）行上去，可得

解：将该行列式第一行的

EdK bn

2.2.2 连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素

均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算?这类计算行列式的方法称为连加法.

x2 m

i 1

Xn m

i 1

m .

解:x1 mX2Xn计算行列式DnXiDnXiX

解:

x1 m

计算行列式Dn

x2 m

2.2.3滚动消去法

2.2.3

可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,当行列式每两行的值比较接近时, 这种方法叫滚动消去法.

可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍,

例4计算行列式Dn

n 1

解：从最后一行开始每行减去上一行,

有

行列式的方法叫做升阶法或加边法. 升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子

行列式的方法叫做升阶法或加边法. 升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升

1 n 1 2n 2

2.2.4逐行相加减

对于有些行列式,

虽然前

尝试用逐行相加减的方法.

n行的和全相同,

但却为零.

用连加法明显不行，这是我们可以

例5计算行列式D

解:

将第一列加到第二列,

2.3

新的第二列加到第三列，

n 1 a1a2

以此类推，得:

1 a& an.

降阶法

将高阶行列式化为低阶行列式再求解.

2.3.1按某一行（或列）

展开

例6 解行列式D n

解：按最后一行展开，得

n 1

Dn a1x

an 2

n 2

a2x

232按拉普拉斯公式展开

D M ia i M 2A 2

MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.

Ann

Cnn

Bnn

Ann ? Bnn，

Ann

Cnn

Bnn

Ann ? Bnn *

拉普拉斯定理如下：

设在行列式D中任意选定了 k 1 k n -1个行.由这k行兀素所组成

的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D.即

例7解行列式D n

解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得

a a a

0 0

0 0 0 0

n 1 a a a

b n 2

0 0 0

n 1 abn 1 a

n 1 ab

n 2

2.4升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成

n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算

阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为其中，添加行与列的方式一般有五种：般行列的位置.0，首行首列，首行末列,这样就达到简化计算的效果.末行首列，末行末列以及一例8解行列式D=解：使行列式D变成

阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为其中，添加行与列的方式一般有五种：般行列的位置.

0，

首行首列，首行末列,

这样就达到简化计算的效果.

末行首列，末行末列以及一

例8解行列式D=

解：使行列式

D变成

1阶行列式，即

再将第一行的

倍加到其他各行，得:

从第二列开始，每列乘以

加到第一列,

得:

(n 1)

1n1

2.5数学归纳法

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法

去证明?对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.

COS

2 cos

例9计算行列式Dn

2 cos

解：用数学归纳法证明?

1时,

D1 cos

2时,

cos

猜想,

cosn

由上可知，当

2cos

2cos2 1

cos2

2时,

结论成立.

假设当n k时，

结论成立?即:

cosk .现证当

1时,

结论也成立.

cos

2 cos

k 1时,

2 cos

2cos

2 cos

将Dk

1按最后一行展开，得

cos

k 1 k 1

1 ?2cos

cos

2cos

2cos Dk Dk 1.

因为

Dk cosk , Dk 1 cos k 1 cos k cosk cos sink sin ,

所以

D k i 2 cos D k D k i

2cos cosk cosk cos sink sin

cosk cos sin k sin

cos k 1 .

这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立.

即：Dn cosn .

2.6递推法

技巧分析：若n阶行列式D满足关系式

aDn bDn 1 cDn 2 0.

则作特征方程

ax2 bx c 0.

①若

0,则特征方程有两个不等根，则

Ax； 1 Bx； 1

②若

0,则特征方程有重根

，则D

n A

nB x； 1

在①②中，

A， B均为待定系数，

可令

1,n

2求出

0 0

例10计算行列式Dn

0 0

9 5

4 9

解：按第

「列展开，得

9Dn 1

20D

n 2?

即

Dn 9Dn 1 20Dn 2 0

作特征方程

2 x

9x 20 0.

解得

则

Dn A?4n 1

B?5n 1

当n

1时，

9 A B ;

当n

2时,

61 4A 5B.

解得

16, B

25 ,

所以

5n1

4n1.

3、行列式的几种特殊计算技巧和方法

3.1拆行（列）法

3.1.1概念及计算方法

拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和,

然后再求行列式的值?拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.

3.1.2例题解析

1 a1

1 a2

例11计算行列式Dn

1 a3

1 an 1

1 a

解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得

i 1 j 1

1 an

an 1

上面第一个行列式的值为

所以

Dn 1 a1

1 a2

1 a1 D n 1.

这个式子在对于任何 n n

2都成立，因此有

D n 1 a1D n 1

1 &11 a?Dn 2

1 a1

a〔a2

n 1

a〔a2

i i

1 aj .

3.2构造法

3.2.1概念及计算方法

有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.

322例题解析

例12 求行列式Dn

n 2

解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出 Dn的

值.

构造n 1阶的范德蒙德行列式，得

2 X

f X

n 2

n 1

n 1 X

将f X

按第n

1列展开,

得

f X

A,n

1 A2,

n 1X

A n 1 a

An,n 1 X An 1,n 1 X

n 1

其中，X 的系数为

An,n 1

n 1

Dn Dn .

又根据范德蒙德行列式的结果知

X N

X Xn Xi Xj .

1 j i n

由上式可求得xn 1的系数为

故有X2 XnX Xj

故有

X2 Xn

X Xj

Dn Xi X2

3.3.1概念及计算方法

设1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式

1 2 n-

故只要能求出矩阵

A的全部特征值，那么就可以计算出

A的行列式.

3.3.2例题解析

例13若1, 2,

n是n级矩阵A的全部特征值，证明：

A可逆当且仅当它的特征值全不为

零.

证明：因为A 1 2

n，则

A可逆 A 0

1 2 n 0 i 0 i 1,2 n

即

A可逆当且仅当它的特征值全不为零.

4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 4.1三角形行列式

故称为4.1.2计算方法4.1.1 概念

故称为

4.1.2

计算方法

a11 a12

a13

a1 n

a11

a22

a23

a2n

a21

a22

a33

a3n

a31

a32

a33

ann

an1

an2

an3

ann

形如

这样的行列式，形状像个三角形,

行列式.

“三角形”

由行列式的定义可知,

4.24.2.1anbna11a12a13a1na110000a22a23a2na21a220000a 33

4.2

4.2.1

a11

a12

a13

a1n

a11

a22

a23

a2n

a21

a22

a 33

a3n

&11&22 ann ,

a31

a32

a33

ann

an1

an2

an3

ann

字型行列式

“爪”

an a22 a

nn?

4.2.2

a。

C[ a〔

a° b1

概念

形如

这样的行列式,

形状像个

"爪”字，故称它们为

“爪”

字型行列式.

a。

计算方法

利用对角线消去行列式中的“横线”

或“竖线”

，均可把行列式化成“三角形”行列式?此

方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.

4.2.3例题解析

例14计算行列式

，其中 ai 0,i 1,2, n.

i(i 2,3, n.)

i(i 2,3, n.)列元素乘以

分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第

—后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式. ai

n 1

a1 —

i 2 ai

解:

a2a3ana

a2a3

i 2 ai

4.3

4.3.1

“么”字型行列式

概念

称它们为4.3.2

称它们为

4.3.2计算方法

利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式?此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.

an消去Cn，然后再用an i消

an cn

形如

bi a1

ao C1

这样的行列式

形状像个

“么

字型行列式.

“么”

”字，因此常

注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，禾u用去Cn 1，依次类推.

433例题解析

1 b1

例15计算n 1阶行列式Dn 1

解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得

1 b

i 1

1 bi

i 1

n n 1

1 2 ?

i 1

bn 1 bn

4.4

“两线”型行列式

4.4.1

概念

形如

n n 3 n

1 1 b

i 1

442计算方法

这样的行列式叫做“两线型”行列式.

对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.

4.4.3

例题解析

例16

求行列式Dn

bn 1

解：按第一列展开，得

Dn aD n i b D n 1 aDn 2

D n 1

bn 1

. A n 1

bn 1

a〔 a?

1b1b2

bn.

4.5

“三对角”

型行列式

4.5.1

概念

a b

形如

b ab

列式.

4.5.2

计算方法

b 0

a2 b2

0 0

bn 1

这样的行列式，叫做“三对角型”行

a b

对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学

a b

例17 求行列式Dn

a b

解：按第一列展开，得

b ab

Dn a b Dn1

a b

ab a b

归纳法证明.

4.5.3例题解析

变形，得

a b

b Dn 1

a b

abDn 2

由于 Di a b,D2 a2 ab b2,

从而利用上述递推公式得

aD n

b Dn 1 aDn 2

b Dn 2 aDn 3

bn 2 D2 aD1 bn.

aDn

bn a aDn

an 1D1

an 2b2

abn 1 bn

abn

bn.

4.6 Van derm onde

行列式

4.6.1

概念

形如

2 a3

这样的行列式,

成为

n级的范德蒙德行列式.

4.6.2

n 1

计算方法

通过数学归纳法证明,

可得

务

ai aj

1 j i 1

4.6.3例题解析

例18求行列式Dn

n 1

n 2

解：虽然Dn不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造

1阶的范德蒙德行列式来间接求出 Dn的

值.

构造n 1阶的范德蒙德行列式，得

f X

n 2

n 1

将f X按第n 1列展开，得

f X

f X A,n 1 A2,n 1X

An,n 1X

1,n 1 X

其中，Xn 1的系数为

n n 1

An,n 1 1 Dn Dn .

又根据范德蒙德行列式的结果知

f X

X X-1 X X2

X Xn Xi

1 j i n

由上式可求得Xn 1的系数为

X1 X2 Xn X Xj

1 j i n

故有

Dn X

Dn X1 X2

X Xj

5、行列式的计算方法的综合运用

有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行?下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.

210

例19计算行列式Dn

5.1降阶法和递推法

0 0

2 1

1 2

分析：乍一看该行列式，并没有什么规律?但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到

阶的形式.

解：将行列式按第一行展开,

D n 2D n 1

Dn 2 .

Dn 1

?- Dn

Dn 1

5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式

例20计算行列式

sin

sin 1

1 sin

sin

sin 2

2 sin

sin

.2 sin

sin 3

3 sin

一行开始,

1倍加到下一行，进行逐行相加,

sin

.2 sin

sin 4

4 sin

4 sin 4

解：从第

sin 1

sin 2

sin 3

sin

sin 1

sin 2

sin 3

sin

sin 1

sin 2

sin 3

sin

依次用上一行的

再由范德蒙德行列式,

得

sin 1

sin 2

sin 3

sin

sin 1

sin 2

sin 3

sin

sin 1

sin 2

sin 3

sin

5.3构造法和套用范德蒙德行列式

sin i sin

1 j i 4

1 j i n

解：虽然Dn不是范德蒙德行列式,

但可以考虑构造

n 1阶的范德蒙德行列式来间接求出

Dn的

例21 求行列式Dn

n 2

值.

构造n 1阶的范德蒙德行列式，得

X12X1X22X2Xn2Xnn 2

n 2

xn2

n 1

xn1

按第

1列展开,

fx A1,n 1 A2,n 1x An,n1Xn1 代 “ 1^ ,

其中，xn 1的系数为

n n 1 、

An,n 1 1 Dn

Dn.

又根据范德蒙德行列式的结果知

f X

X X-1 X X2 X xn

1 j i n

由上式可求得

xn 1的系数为

X1 X2 Xn x

Xj .

1 j i n

故有：Dn

X1 X2 Xn

X Xj .

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