柯西不等式证明

最值

1.求函数yx24

x

,(xR)的最小值。

2.求函数yx4x

2,(xR

)的最小值。

xR且x2y

3.设2

1,求xy2的最大值

4.设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求4x19

yz

的最小值。

已知：x2

5.4

y21 求：xy；
2xy的取值范围。

6.已知：a2

b2

1，m2

n2

2,求ambn的取值范围

7.已知：2x3y1 求：x2

2y2

的最小值.

8.求函数yx12x的取值范围。

9.求函数yx12x的最大值。

证明不等式

1.求证:a2b2c2abbcac

2.已知a,b都是正数，求证：

（1）(1ab)(1a2b2)9ab;（2）(a2bab2)(ab2a2b)9a2b2.

3.设a,b,c,dR，求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)2。

4.已知a2b2c21,x2y2z21,求证：axbycz1.

5.已知a,b,c均为正数，且abc1，求证：111abc

9

6.若0

，则1sincos2.

高中数学新课标选修4-5课时计划东升高中高二备课组 授课时间: 2007年 月 日(星期)第节 总第 课时

第一课时3.1二维形式的柯西不等式

（一）

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：
二元均值不等式有哪几种形式？

答案：

ab

2

(a0,b0)及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(acbd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(acbd)2=….=(adbc)20

二、讲授新课：

1.教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.→ 即二维形式的柯西不等式→ 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d

222(acbd)(adb)c(

（要点：展开→配方） ac.)b d





证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|，|n|

∵ mnacbd，且mn|m||n|cosm,n，则|mn||m||n|.∴ …..证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(acbd)xc2d2，则

f(x)(axc)(bxd)≥0恒成立.22

2

∴ [2(acbd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…..③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

|acbd| 或

acbd.





|ac||bd|

④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）





→ 讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）

⑤ 练习：已知a、b、c、d

.证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式→ 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2.教学三角不等式：

① 出示定理3：设x1,y1,x2,y2

R

分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明

→ 变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；
三角不等式的两种形式（两点、三点）

三、巩固练习：

1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P37

4、5题.教学后记：板书设计：

第二课时3.1二维形式的柯西不等式

（二）

教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.

教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：(a2b2)(c2d2)(ac

bd)22.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？ 3.如何利用二维柯西不等式求函数y?

要点：利用变式|acbd|

二、讲授新课：

1.教学最大（小）值：

.① 出示例

1：求函数y

分析：如何变形？→ 构造柯西不等式的形式→ 板演

→

变式：y→

推广：yd(a,b,c,d,e,fR) ② 练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y2

11

3(xy)(32)

113

(3x2y)

113

.

讨论：其它方法 （数形结合法） 2.教学不等式的证明：

① 出示例2：若x,yR，xy2，求证：

1x1y2.

分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）

要点：

1x1y12(xy)(

1x1y)

1

22

2

]…

讨论：其它证法（利用基本不等式）

② 练习：已知a、bR，求证：(ab)()4.

a

b

13.练习：

① 已知x,y,a,bR，且要点：xy(

xa

by

axby

1，则xy的最小值.)(xy)….→ 其它证法

② 若x,y,zR，且xyz1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式） 变式：若x,y,zR，且xyz

1的最大值.

3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.

三、巩固练习：

1.练习：教材P37

8、9题2.作业：教材P37

1、

6、7题

第三课时3.2一般形式的柯西不等式

教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：

一、复习准备：
1.练习：

2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？

答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)2；
(a2b2c2)(d2e2f2)(adbecf)2

二、讲授新课：

1.教学一般形式的柯西不等式：



① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形

式？

② 猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bnR，则

22

2(a12a22a)(bbn12

)bnb)(1a1babnna22



anbn

讨论：什么时候取等号？（当且仅当

a1b

1

a2b2

时取等号，假设bi0）

222

联想：设Ba1b1a2b2anbn，Aa12a22an2，则有B2AC0，Cb1b2bn，可联想到一些什么？

③ 讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）

2222222

要点：令（fx）（a1a2an)x2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2bn) ，则

f(x)(a1xb1)(a2xb2)+（anxbn)0.222

又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，

2(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)≤0

即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：a12a22an2

1n

(a1a2an).（讨论如何证明）

2.教学柯西不等式的应用：

① 出示例1：已知3x2yz1，求x2y2z2的最小值.

分析：如何变形后构造柯西不等式？→ 板演→ 变式：
② 练习：若x,y,zR，且

1x1y1z

1，求x

y2z

3的最小值..

1bc

)(11)

4③ 出示例2：若a>b>c，求证：要点：(ac)(

1ab



1bc

1ab



1bc



4ac

1ab



)[(ab)(bc)](

3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；
等号成立的条件；
根据结构特点构造证明.

三、巩固练习：

1.练习：教材P414题2.作业：教材P

415、6题

第四课时3.3 排序不等式

教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：

一、复习准备：

1.提问：
前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）

2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.

二、讲授新课：

1.教学排序不等式：
① 看书：P42~P44.② 提出排序不等式（即排序原理）：
设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有

a1b1a2b···+anbn (同序和)

2··+ancn (乱序和) a1c1a2c2+·

··+anb1 (反序和) a1bna2bn1+·

当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式） 2.教学排序不等式的应用：

① 出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：

1

1213

1na1

a22



a3

3

ann

.

分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？证明过程：

设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bnn.又1a1

12

22



13

22



1n

22

，由排序不等式，得

b22

a22



a33



ann

b1



b33



bnn

…

小结：分析目标，构造有序排列.② 练习：

已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(bc)b2(ac)c2(ab).解答要点：由对称性，假设abc，则a2b2c2，

于是 a2ab2bc2ca2cb2ac2b，a2ab2bc2ca2bb2cc2a，两式相加即得.

3.小结：排序不等式的基本形式.

三、巩固练习：

1.练习：教材P451题 2.作业：教材P4

53、4题

自选专题

均值不等式与柯西不等式

【均值不等式】

例题1：已知x,y均为正数，且xy，求证：2x

例题2：已知x,y,z均为正数．求证：

变式：设x,y,z为正数，证明：2x3y3z3x2yzy2xzz

【柯西不等式】

例题1：若正数a,b,c满足abc1，求

变式：若x



21,

32



12a

1

12b1



12c1

21x2xyy

2

2

2y3．

xyz



yzx



zxy



1x



1y



1z

．

xy．

的最小值．

例题2：已知x,y,z是正数．

1若x2若

x

y1，求

x

2

2x



y

2

2y

的最小值；

2x



y2y



z2z

1，求证：

x

2

2x



y

2

2y



z

2

2z

1．

自选专题 变式1：设a,b,c0，abc1，求证：

a2ab2bc2c35．

变式2：已知正数x,y满足xyzxyz，求

【能力提升】

1、设a,b,c均为正实数，求证：

1xy1yz2zx的最大值． 12a12b12c1bc1ac1ab．

2、设正数a,b,c满足abc3，求证：a

3、已知a,b,c0,，且abc1，求 1a3bcabbcca bc1b3ca1c3ab的最小值．

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

试题内容：柯西不等式与排序不等式 试卷总分：120分考试时间：60分钟

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1、a,b,c,dR，不等式ab



2

2

c2d2acbd取等号的条件是（）



2A．abdc0B．adbc0C．adbc0D．acbd0

2、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）

A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b3a3b

23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为 （）

A．1B

C．2D

4、a,b是非零实数，ab1，x1,x2R,Max1bx2bx1ax2,Nx1x2，则M与N的大小关



222

系为 （）

A．MNB．MNC．MND．MN

5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则xy的最小值是（）

A．2B．1C

D

6、x,y,zR，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．47

7、已知a,b,c,dR，且满足abcd

625 （ ）

A．25B．50C．

22222

2222



2

5D．625

42

2

8、已知0a,b,c1，且abc2，则abc的取值范围是（）

A．,B．,2C．,2D．,2

333

3二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）

9、x,y

0,1

4444

的最大值是

10、设x,y,R，那么xy

11、设

14

的最小值是xy

2

2，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1taxaxn1122

a3x32anxn2的最小值是

12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则

三、解答题（共5小题，每题60分）

239

的最小值是，此时xyz.xyz

b4c4c4a4a4b

413、（本小题10分）设a,b,cR，利用排序不等式证明：abc 

2a2b2c



33

314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s

15、（本小题10分）设nN,n

2，利用柯西不等式证明：

16、（本小题10分）求函数y

x1x2x

3的最小值。

149

41111。



7n1n22n12nsinx3cosx

的值域

sinx2cosx

117、（本小题20分）（2012浙江考试院样卷）题号：03“数学史与不等式选讲”模块

（1） 设a，b，c为实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；
（2） 若正实数a，b，c满足abc＝1，求

a4b(ac)



b4c(ab)



c4a(bc)

的最小值．

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

┄┄┄⊙

中学班级姓名 学号考号答 题 卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

16.（本小题共12分）

17.（本小题20分）

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）

参 考 答 案

1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.110.911.11

112.,2,2,3.

11112a1a2a3an

13证明：不妨设0abc,则abc,

111

， cba

a4b4c4a4b4c

4abc（逆序和）

abccaba4b4c4a4b4c4

abc（逆序和）

abcbca

b4c4c4a4a4b4

abc

2a2b2c

14解：不妨设1x12x23，由排序不等式，s15.证明：由柯西不等式得

x1x2x312311

。

1491496

1111

2n1n2nnnn1n22n12n

11112n4n1n22n12n3n17

1111

n1n22n12n111

又：



22

22



1111

2222

2n1

2nn1n2

12

111

nn1n1n22n12n

1

6、原式可化为

ysinx2cosx1sinx3cosx 即y(y1)sinx(2x3)cosx

利用柯西不等式及sin2xcos21可得

y2(y1)sinx(2x3)cosxsin2xcos2xy12y3



2

2

即y2y12y3 化简得

2y27y50

5

所以函数值域为（-，1），

2

22

17、“数学史与不等式选讲”模块

(1) 证明1：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

(1) 证明2：因为a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，

222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

(2) 解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(ac)



b4c(a



b)

≥

a(b)c2(abbcca)

c4(a2b2c2)2

≥

12

(a2＋b2＋c2)

a4b(ac)

32

，

当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以



b4c(ab)



c4a(bc)

的最小值为

32

…………10分

Mathwang

几个经典不等式的关系

一 几个经典不等式

（1）均值不等式

设a1,a2,an0是实数

aaa12n 

111n+a1a2an

其中ai0,i1,2,n.当且仅当a1a2an时，等号成立.

n

（2）柯西不等式

设a1,a2,an,b1,b2,bn是实数，则

a

21

22a2anb12b22bn2a1b1a2b2anbn

2

当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在实数k，使得aikbi(i1,2,,n)时，等号成立.

（3）排序不等式

设a1a2an，b1b2bn为两个数组，c1，c2，，cn是b1，b2,，bn的任一排列，则

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1 当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立.

（4）切比晓夫不等式

对于两个数组：a1a2an，b1b2bn，有

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bna1bna2bn1anb1



nnnn

当且仅当a1a2an或b1b2bn时，等号成立.

二 相关证明

（1）用排序不等式证明切比晓夫不等式 证明：由

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn



nnn

na1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

而

a1a2anb1b2bna1b1a2b2anbna1b2a2b3anb1a1b3a2b4anb2a1b4a2b5anb3

a1bn1a2bnanbn2

a1bna2b1anbn1

根据“顺序和乱序和”（在n1个部分同时使用），可得

na1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

即得

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn



nnn

同理，根据“乱序和反序和”，可得

a1a2anb1b2bna1bna2bn1anb1



nnn

综合即证

（2）用排序不等式证明“几何—算数平均不等式”

证明：构造两个数列：

a1a2an

n

aaaa1aa

,x2122,xn12nn1 ccc

1c1c21cn

y1,y2,yn1

x1a1x2a1a2xna1a2an

x1

其中c

.因为两个数列中相应项互为倒数，故无论大小如何，乘积的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x1y1x2y2xnyn

总是两数组的反序和.于是由“乱序和反序和”，总有 ．．．．．．．．．

x1ynx2y1xnyn1x1y1x2y2xnyn

于是

aa1a2

n111 ccc

即

a1a2an

n

c

即证

a1a2an

cn

a1a2an（3）用切比晓夫不等式证明“算数—开方平均不等式”

：

n证明：不妨设a1a2an，

222

a1a2ana1a2ana1a2ana1a2an

.

nnnn

由切比晓夫不等式，右边不等式显然成立.即证.（4）用切比晓夫不等式证明“调和—算数平均不等式”

n+a1a2an



a1a2an

n

证明：

n111+a1a2an



a1a2an

n

111

+a1a2ana1a2an

nn



111

aaa12na1a2an

1.

n



不妨设a1a2an，则

111，由切比晓夫不等式，上式成立.即证.anan1a1

（5）用均值不等式和切比晓夫不等式证明柯西不等式

证明：不妨设a1a2an，b1b2bn 由切比晓夫不等式，有

a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn

.

nnn

由均值不等式，有

a1a2an

nb1b2bn

n所以

a1b1a2b2anbn



n

两边平方，即得a1b1a2b2anbna1a2an

b

22b2bn.即证.

（6）补充“调和—几何平均不等式”的证明

111



aa2ananaa21

证明

1中的ai换成.

1

na

inn

两边取倒数，即得

+a1a2an

2010年南师附中数学研究性学习撰稿人 高一九班 陈点

柯西不等式和排序不等式的多种证明方法（课本延伸课题18）——2010.4 数学研究性学习 撰写人 陈点

柯西不等式的一般式：

适用范围：证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题。

接下来我将以几种较为主流的证明方法来证明：
求证：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai〃bi)^2证法一（代数证明，运用二次函数，最主流证法）：

当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，一般形式显然成立 令A=∑ai^2 B=∑ai〃bi C=∑bi^2

当a1，a2，…，an中至少有一个不是零时，可知A＞0 构造二次函数f(x)=Ax^2＋2Bx＋C，

f(x)＝∑(ai^2〃x^2＋2ai〃bi〃x＋bi^2)＝∑ (ai〃x＋bi)^2≥0f(x)的判别式△＝4B^2－4AC≤0，移项得AC≥B^2，证毕。

证法二（其中几个特殊情况，为2与3时即向量公式）

n=1时，a1^2〃b1^2≥(a1b1)^2（这个…不解释）a1=a2=a3=…=an,b1=b2=b3=…=bn时同此证

n=2时，即为(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)≥(a1b1+a2b2)^2

即(a1b1)^2+(a1b2)^2+(a2b1)^2+(a2b2)^2≥(a1b1)^2+(a2b2)^2+2a1b1a2b2 即(a1b2)^2+(a2b1)^2≥2a1b1a2b2

因为a2≥a1，b2≥b1，乱序和≥倒序和

故一定成立（呵呵，还一不小心把排序不等式引出来了）

证法三（这个是网上找的很权威的数学归纳法，因为我想出来的证法二是其铺垫，故引用说明。数学归纳法也是一种非常常见且正规的证明方法。） （1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

2当 n2时， 右式 a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

2

2

⑴

⑵

22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

222

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

bk2 ak设a12a2b12b2

Ca1b1a2b2akbk

22

则ak21bk21bk21ak1bk1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222222

akaka12a21b1b2bkbk1

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立

综合（1）（2）可知不等式成立

其实还有很多证明的方法，证明柯西不等式还可以利用比值法，归纳法，归纳法与综合法，归纳法与平均值不等式，排序不等式，参数平均值不等式，行列式，内积（向量）法，构造单调数列，凹凸函数法（来自奥数老师）……再者，拉格朗日恒等式也相当简单，在此不一一说明，可见证明此式方法之多。

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题：
1） 证明相关命题 2） 证明不等式 3） 解三角形的相关问题 4） 求最值

5）利用柯西不等式解方程

6）用柯西不等式解释样本线性相关系数（这个完全不理解，不过有这么一说）

排序不等式（又称）

简单来说，就是：反序和≤乱序和≤同序和

即a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

⑶

其中，Cn为乱序数列。

证明：1.证乱序和小于正序和， 以下证明中原式为乱序和

从第一个起，将a1b?与a?b1转变为a1b1与a?b?，设其为x，y，则有

a1b1+axby-a1bx+ayb1≧0 （因为x，y≧1，根据等式的性质可得），然后

再往下，第二个a2bw与azb2…… 以此类推，到最后得出的式子为正序和，因为每步的过程均使原式减小或不变，故终式不小于原式2.证乱序和大于倒序和

从第一个起，将a1b?与a?bn转变为a1bn与a?b?, 设其为x，y，则有a1b1+axby-a1bx+ayb1≦0(因为x≧1,y≦n)故成立，基本上同理

排序不等式证明的关键在于有顺序的变化，每次变化使式子朝一个方向发展，这样就可轻易推出最终的结论。

应用：

1.排序不等式的基本应用。排序不等式在解决一些常见不等式时，具有简单直观的特点

2.证明不等式时两次或多次运用排序不等式，将结果相加，也是常见方法。 3．经过适当变形后再运用排序不等式的问题，常见于一些比较难的习题或竞赛题

拓展：

排序不等式的另一种表述形式 设

a1a2an,b1b2bn

c,c,,cnb1,b2bn

为两组实数，12是的任一排

列，则三个矩阵

a1a2ana1a2ana1a2anbbbbbbccc

12n12nnn11A：B：C：

我们称A为顺序矩阵，B为乱序矩阵，C为反序矩阵 它们的列积和（同列相乘再相加）：

a1b1a2b2anbna1c1a2c2ancna1bna2bn1anb1

即：顺序和乱序和反序和

在此，我们没必要知道矩阵的更多知识，而只是利用它这种形式。因为它更直观，便于在解题中寻找数列

b1,b2,bn

的一个我们需要的乱序，更易掌握和应用。

⑴柯西不等式的向量说法：|α||β|≥|α〃β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）

等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。

⑵数学归纳法（这里说的是第一数学归纳法）：

即一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤：1）证明当n取第一个值时命题成立；

2）假设当n=k（k≥n的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

⑶拉格朗日恒等式：

柯西不等式的证明

数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；
例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn,都有

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2 假设n时命题成立,则n+1时

(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1) ≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2

又由条件假设

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

所以

((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2

≥(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2

很明显有

(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn+an+1bn+1)2

因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.

证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,an都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,an不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0

构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+anbn)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(anx+bn)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是

Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0

从而不等式得证. 证明三:(恒等变形)注意到恒等式

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2 =∑1≤i

所以不等式成立.

证明四:(均值不等式)不妨设ai,bi不全为0,理由同证明二

a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T

那么由均值不等我们有

a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√

对i从1到n求和,可以得到

∑i=1na2iS+∑i=1nb2iT≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√

于是

2≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1naibiST−−−√∣∣∣

得到

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得 aix+bi=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯an≠0时,可以将它写成

b1a1=b2a2=⋯=bnan.变形式(A) 设ai∈R,bi>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1na2ibi≥(∑ai)2∑bi.变形式(B) 设ai,bi同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1naibi≥(∑ai)2∑aibi.

一、柯西不等式：

(a)(b)(akbk)2等号成立的条件是akbk(k1,2,3n)

2k

2k

k

1k1

k1

nnn

二维柯西不等式：(x1x2y1y2)2(x12y12)(x22y22)

证明：（用作差法）

(x1y1)(x2y2)(x1x2y1y2)2x1y2x2y12x1x2y1y2(x1y2x2y1)20

2222222

2三维柯西不等式：(x1x2y1y2z1z2)2(x12y12z12)(x22y22z22)

证明：（构造空间向量法） 设m

(x1,y1,z1),n(x2,y2,z2)

，

所以：x1x2y1y2z1z2

x1y1z1x2y2z2，两边平方即可！

222222

n维柯西不等式：(a)(b)(akbk)2

2k

2k

k1

k1

k1

n

n

n

等号成立的条件是

akbk(k1,2,3n)

证明：（用构造函数法）（1）.当b1b2bn0时，不等式显然成立；
（2）当b1,b2,bn不全为0时，构造f(x)(

n

n

n

n

b

k1

n

2

k

2

)x2(akbk)x(ak),所以有2

k1

k1

nn

f(x)(b)x2(akbk)x(a)(bkxak)20对任意xR恒成立，因此

2

k

2

2k

k1

k1

k1

k1

4(akbk)4(a)(bk2)0

2

2k

k1

k1

k1

nnn

故：(

a

k1

n

2k

)(b)(akbk)2

2kk1

k1

nn

柯西不等式的变式：(ak)(bk)(akbk)2

k1k1k1nnn

(a)(b)akbk 2

k2k

k1k1k1nnn

nak(akbk)()(ak)2等号成立的条件是当且仅当b1b2bn

k1k1bkk1

2naka()(k)2（在柯西不等式中令bk=1，两边同时除以n2即得）

k1nk1nnnn

2ak()

k1bkn(ak)2k1nnb

k1 (等号成立的条件是akbk(k1,2,3n) k

二、练习：

x2y2z

21.已知x,y,z>0，且xyz1，求的最小值；

y(1y)z(1z)x(1x)

2.已知a,b>0,求证：3111

3.已知xyz2且x,y,z>0，求证：1119≥ xyyzzx

44.设a,b,c为正数且互不相等.求证:2229> abbccaabc

3111≥ a3(bc)b3(ac)c3(ab)25.设正实数a,b,c 满足abc1, 求证:

12100 3c

222abc17.设实数a,b,c 满足a2b3c6，求证：3927≥；

36.设a,b,c为正数, 且abc1,求证:(a)(b)(c)≥221a1b

8.已知x2y3z12, 求证:x2y3z≥24；

9.已知abc1, 求证:a1b23c333；

10.若a>b>c，求证：

2 222114 abbcac

答案：

y(1y)y(xz)xyxz

1.证明：由xyz1得：z(1z)z(xy)zxyz

x(1x)x(yz)xyzx，所以有

x2y2z2x2y2z2

＝，由柯西不等式得：y(1y)z(1z)x(1x)xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

[(xyyz)(zxyz)(xyzx)]()(xyz)2 xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

所以有：[(xyyz)(zxyz)(xyzx)] xyyzzxyzxyzx

x2y2z2

即：2(xyyzzx)， xyyzzxyzxyzx

又2(xyyzzx)(xyz)2(x2y2z2)

xyzxyyzzx222xyz1 31x2y2z2

所有：，当且仅当xyz时取等号 xyyzzxyzxyzx2

32.证明：由柯西不等式可得：

(11121112)(111)a2ba4ba6ba2ba4ba6b

111]

（放缩）(121212)[3[111](ab)(a3b)(a3b)(a5b)(a5b)(a7b)



3111111()2baba3ba3ba5ba5ba7b（裂项相消）36b9311 ()2b(ab)(a7b)(ab)(a7b)2baba7b

3111

3.证明：由柯西不等式得：

[(xy)(yz)(zx)](

111)(111)29，又xyz2xyyzzx3

所以有：11199≥.xyyzzx2(xyz)4

4.证明：与第3题的证法相同，最后说明a,b,c为正数且互不相等,所以不取等号；

5.证明：由abc1得：abc1，所以：2221122221bc,ac,2a2b2 22abc

111a3(bc)b3(ac)c3(ab)

b2c2a2c2a2b2b2c2a2c2a2b2

a(bc)b(ac)c(ab)abacabbcacbc

b2c2a2c2a2b2

[(abac)(abbc)(acbc)]()(bcacab)2 abacabbcacbc

b2c2a2c2a2b2(bcacab)2bcacab3a2b2c2

即：
abacabbcacbc2(abbcac)22

又abc1，所以：3111≥ 333a(bc)b(ac)c(ab)2

6.证明：由柯西不等式

111111[1(a)1(b)1(c)]2(121212)[(a)2(b)2(c)2] abcabc

结合abc1 1212121111211112所以：(a)(b)(c)[(abc)()][1()]abc3abc3abc

1111112又(abc)()(111)9 abcabc

1111211002所以：[1()](19) 3abc33

121212100故：(a)(b)(c)≥ 3abc

7.证明：

3a9b27c＝3a32b33c33a32b33c33(a2b3c)

又由柯西不等式：

(1a22b3c)2[12(2)2(3)2][a2(2b)2(3c)2]

即：(a2b3c)6(a2bc)，结合a2b3c6

所以有：a2b3c6 2222222

即：33

所以：3(a2b3c)3361 3a19b27c≥ 3

8.证明：由

(1x22yz)2[12(2)2()2][x2(2y)2(z)2]

结合题目条件即可证出，与第7题一样；

9.证明：

(1a11b21c3)2(121212)[(a1)2(b2)2(c3)2]3[3(abc)6]

结合题目条件就可以证出了！

10.证明：由条件a>b>c得：ab>0,bc>0,所以

11)(11)2＝4 abbc

114所以：
abbcac[(ab)(bc)](

点评：
1.(

22ak1n2k)(b)(akbk)2中的求和展开式为：
2kk12nnk1(a1a2an)(b1b2bn)(a1b1a2b2anbn)2；

2.二维、三维、n维柯西不等式的证明分别用了作差法、向量法、构造函数法证明，其实这三种方法也可以相互迁移，尤其是向量法简洁明了，值得借鉴；

3.带条件的三元不等式很常见, 用柯西不等式来证的较多, 要适当选择ak 和bk, 便于运用柯西不等式(222a

k1n2k)(b)(akbk)2；

2kk1k1nn

4.结合柯西不等式及变式中的等号成立的条件，请读者自行研究以上不等式的取等号条件。

以上如有错误之处敬请原谅并给予批评指正

邮箱zgh9723008@sina.com或qq联系：934355819(验证信息填：柯西不等式)

谢谢！

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