勾股定理知识点总结及练习（8页）
时间：2020-09-19 07:27:16 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
勾股定理知识总结
一.基础知识点：
1:勾股定理
直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方。（即：a22= c2） 要点诠释：
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：
（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90，贝U c ? ―疋，b ?.—孑，
a c b ）
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边
（3 ）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
2:勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a、b、c,则有关系a22= c2,那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过 数转化为形”来确定
三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1 ）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c;
（2）验证c2与a22是否具有相等关系，若 c2= a22，则△是以/ C为直角的直角三角形
（若c >^2，则△是以/ C为钝角的钝角三角形；若 c'va"，则△为锐角三角形）。
（定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c
满足a2 c2 b2，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是 b为斜边）
3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4:互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把 其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导
1 ?勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2?勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3?勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
22 2
勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a, b, c有下列关系：a = c , ?那么这个三角形是直角三角
形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.
?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算， 通过学习加深对
数形结合”的理解.
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
5:勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是
图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法—：4S S正方形efgh S正方形abcd, 4 — ab (b a) c，化简可证.2方法四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 1ab c
方法—：4S S正方形efgh S正方形abcd, 4 — ab (b a) c，化简可证.
2
方法
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
S 4 1ab c2 2ab c2
2
大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2
所以a2 b2 c2
1 1 1 2
方法三：S弟形 —(a b) (a b), S弟形2S ade S abe 2 -ab -c，化简得证
2 2 2
6:勾股数
能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a2 b2 c2中，
b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数
记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等
用含字母的代数式表示 n组勾股数：n2 1,2n,n2 1 ( n 2, n为正整数)；
a ,
B b C
2n 1,2n2 2n,2n2 2n 1 （ n为正整数）
2 2 2
m n ,2 mn, m
n2 （ m n, m , n 为
正整
数)
、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理
例 1 ?在 ABC 中， C 90 .
⑴已知AC 6 , BC 8 .求AB的长
⑵已知AB 17, AC 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理 a2 b2 c2
解：⑴ AB AC2 BC2 10
⑵ BC .AB2 AC2 8
题型二：利用勾股定理测量长度
例题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后， ?已知斜边长
和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！
根据勾股定理222,即2+92=152,所以2=144,所以12.
例题2如图（8）,水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分的长是 0.5米,
1FB -
1
FB - AB那么△是直角三角形吗?
4
2.由题意可知△中,/ 90° ,在△中，只
解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题会意可以发现规律，没有任何
1
条件，我们也可以开创条件，由 FB — AB可以设4a,那么2 3 a,那么在△ 、△和△中，分别
4
利用勾股定理求出和的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△是否是直
角三角形。
详细解题步骤如下:
解：设正方形的边长为 4a,则2 3a
222 2 2 2
在△中， =(4a) +(2 a) =20 a
同理 2=5a2, 2=25a2
在△中，2+ 2=5a2+ 20a2=25a22
△是直角三角形，且/ 90° .
注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。
题型四：利用勾股定理求线段长度
例题4如图4，已知长方形中810,在边上取一点E,将△折叠使点 解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
详细解题过程如下：
解：根据题意得
:丄 90° , 10,
设，
则一8 — x
在△中由勾股定理得：
222 口仃朋2 ,小2
，即 8 =10 ,
6
— 10— 6=4()
在△中由勾股定理可得：
222 口仃、22 “2
，即(8 — x) +4
2
64— 16 =2+16
3(),即 3
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
D恰好落在边上的点 F,
D恰好落在边上的点 F,求的长.
例题5如图5，王师傅想要检测桌子的表面边是否垂直与边和边，他测得 80, 60, 100,边与边垂直
吗？怎样去验证边与边是否垂直？
解析：由于实物一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来验证。如图 4,
矩形表示桌面形状，在上截取 12,在上截取9(想想为什么要设为这两个长度？ )，连结，测量的长度。
如果15,则222,所以边与边垂直；
如果工15,则92+122=81+144=225, a2工225,即92+122工a2,所以/ A不是直角。利用勾股定理解决实
际问题
例题6有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何
东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远 的地方灯刚好打开？
解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯 5米还是脚先距离灯 5米，可想而知应该是头先距离灯
5米。转化为数学模型，如图 6所示，A点表示控制灯，表示人的高度，//丄当头（ B点）距离A有5米
时，求的长度。已知4.5米，所以3米，由勾股定理，可计算4米.即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。
题型六：旋转问题:
例1、如图，△是直角三角形，是斜边，将△绕点 A逆时针旋转后，能与△'重合，若 3,求’的长。
变式1:如图，P是等边三角形内一点，2 2.3 4,求△的边长.
BE F CB恰好落在边上的点 G处，求分析：利用旋转变换，将△绕点 B
BE F C
B恰好落在边上的点 G处，求
变式2、如图，△为等腰直角三角形，/ 90°, E、F是上的点，且/ 45
试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.
题型七：关于翻折问题
例1、 如图，矩形纸片的边 10, 6, E为上一点，将矩形纸片沿折叠，点
的长.
I) G C
题型八：关于勾股定理在实际中的应用 ：
例1、如图，公路和公路在P点处交汇，点A处有一所中学，160米, 距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响， 公路上沿方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到 机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？
4,求'
点A到公路的 那么拖拉机在 影响，已知拖拉
处，它发现在 害虫的注意， 果，壁虎的偷取
处，它发现在 害虫的注意， 果，壁虎的偷
取3.14,结果
面都分为9个
行至右侧面的
题型九：关于最短性问题
例5、如右图1 — 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A 自己的正上方油罐上边缘的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起
它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击. 结 袭得到成功，获得了一顿美餐?请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫 ？（n
保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为 3的正方体，把所有
小正方形，其边长都是1，假设一只蚂蚁每秒爬行 2,则它从下地面 A点沿表面爬
B点，最少要花几秒钟?
