2020新亮剑高考物理总复习讲义：第四单元曲线运动万有引力与航天微专题4含解析x

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2020新亮剑高考物理总复习讲义：第四单元 曲线运动 万有引力与航天 微专题 4 含解析

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万有引力与航天

微专题 4 天体运动的热点问题

见《自学听讲》 P72

一 宇宙速度的理解与计算

宇宙速度 ( 地球 )

宇宙速度

数值

意义

推导

卫星在地面附近环

绕地球做匀速圆周

运动时具有的速度 ,

是绕地球做匀速圆

第一宇宙速度

7.9 km/s

周运动的最小发射

由mg=G =

, 得v1==

= 7.9 km/s

( 环绕速度 )

速度, 最大环绕速度

。若7.9

km/s≤v<11.2

km/s, 物体绕地球运

行

使物体挣脱地球引

力束缚的最小发射

第二宇宙速度

11.2 km/s

速度。若 11.2

-

( 脱离速度 )

km/s≤v<16.7

km/s, 物体绕太阳运

行

使物体挣脱太阳引

力束缚的最小发射

第三宇宙速度

16.7 km/s

速度。若 v>16.7

-

( 逃逸速度 )

km/s, 物体将脱离太

阳系在宇宙空间运

行

例 1

宇航员在某星球表面上固定了一个倾角 θ=37°的足够长的斜面 , 他将一个质量 m=2.0

kg的小物块弹射出去 , 使它从斜面底端以初速度 v0= 9

m/s沿斜面向上运动 , 并测量到当它运动了 1.5

0.25, 该星球半径 R=1.2×103 km, sin

s时速度恰好变为零。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为

37°= 0.6, cos 37 =°0.8, 求 :

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( 1) 该星球表面的重力加速度 g的大小。

( 2) 该星球的第一宇宙速度。

解析 ( 1) 小物块沿斜面向上运动过程 0=v0 -at

2

又 mgsin θ+μmgcos θ=ma

解得 g=7.5 m/s2。

( 2) 设星球的第一宇宙速度为

v, 根据万有引力提供向心力 , 万有引力近似等于重力 , 则有

mg=m

解得 v== 3×103

。

答案 ( 1) 7.5 m/s2

m/s

3

×

( 2) 3 10 m/s

特别警惕 “三个不同 ”概念 :( 1) 两种周期 —— 自转周期和公转周期的不同 ;( 2) 两种速度 —— 环绕速度与发射速度的不同 , 最大环绕速度等于最小发射速度 ;( 3) 两个半径 —— 天体半径 R 和卫星轨道半径 r 的不同。

二 人造卫星的运行规律

1.卫星的轨道特点 : 一切卫星轨道的圆心与地心重合。因为万有引力提供向心力

, 故地心和轨道的圆心重合。

2.卫星的动力学特点

: 卫星绕地球的运动近似看成圆周运动

, 万有引力提供向心力 , 类比行星绕太阳的运动

规律 , 同样可得 G =m

=mω 2r=m r=ma , 可推导出 :

= 越高越慢

3.解题思路

( 1) 一个模型

天体 ( 包括卫星 ) 的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。

( 2) 两组公式

卫星运动的向心力来源于万有引力

, 即 G =mω 2

r=m

r= =ma

在中心天体表面或附近运动时

, 万有引力近似等于重力

, 即 mg=G

( g为星体表面处的重力加速度 ) 。

例 2

如图所示 , 拉格朗日点 L1位于地球和月球连线上 , 处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下 , 可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此 , 科学家设想在拉格朗日点 L1建立空间站 , 使

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其与月球同周期绕地球运动。以 a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小 , a3表示地球

同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是 ( ) 。

A.a2>a 3>a 1

B.a2>a 1>a 3

C.a3>a 1>a 2

D.a3>a 2>a 1

21,同步

解析 根据向心加速度 an

=

r,

由于空间站的轨道半径小于月球轨道半径

,

所以

a >a

卫星周期小于月球周期 , 故同步卫星离地距离小于空间站的轨道半径

, 根据 a=

得 a3

2,D项正

>a

确。

答案 D

赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星的对比

比较内容 赤道表面的物体向心力来源 万有引力的分力向心力方向

重力与万有 重力略小于

引力的关系 万有引力



近地卫星



同步卫星

万有引力

指向地心

重力等于万有引力

角速度

线速度



ω1 =ω 地球

v1 =ω1R



ω2=

v2=

a2 = R=



ω3=ω地球 =

ω1=ω3<ω2

v3 =ω3( R+h) =

v1<v3<v2( v2 为第一宇宙速度 )

向心加速度



a1= R



a3= ( R+h) =

a1<a 3<a 2

三 卫星变轨问题

当卫星由于某种原因而速度突然改变时 ( 开启、关闭发动机或空气阻力作用 ), 万有引力不再等于向心力 , 卫星

将做变轨运行。

1.变轨的两种情况

2.离心运动与近心运动

两类变轨 离心运动 近心运动

变轨起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小

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受力分析 G <m G >m

变为椭圆轨道运动或在较

变轨结果 变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动

大半径圆轨道上运动

例 3

我国首枚 “火星探测器 ”将在 2020年发射 , 在飞行一年后于 2021年登陆火星。已知地球公转周期为 T, 到太阳的距离为 R1, 运行速率为 v1 , 火星到太阳的距离为 R2, 运行速率为 v2, 太阳质量为 M, 引力常量为 G。一个质量为 m的探测器被发射到一围绕太阳的椭圆轨道上 , 以地球轨道上的 A点为近日点 , 以火星轨道上的 B点为远日点 , 如图所示。不计火星、地球对探测器的影响 , 则下列说法

正确的是 ( )。

A.探测器在 A点的加速度大于

B.探测器在 B点的加速度大小为

C.探测器在 B点的动能为 m

D.探测器沿椭圆轨道从 A到B的飞行时间为

解析 根据牛顿第二定律 , 加速度由合力和质量决定 , 故探测器在 A 点的加速度等于沿着图中小虚线圆轨道绕太阳公转的向心加速度 , a= ; A 项错误 ; 在 B 点的加速度等于沿着图中大虚线圆轨道绕太阳公转的向心加速度 , a= , B 项错误 ; 探测器在 B 点的速度小于 v2, 故动能小于

m , C 项错误 ; 根据开普勒第三定律 , 有 =

, 联立解得 T'=

T, 故探测器沿椭圆轨

道从 A 到 B 的飞行时间为

, D 项正确。

答案 D

分析人造卫星变轨问题的三点注意事项

( 1) 人造卫星变轨时半径的变化 , 根据万有引力和所需向心力的大小关系判断 ; 稳定在新的圆轨

道上的运行速度变化由 v=

判断。

( 2)

人造卫星在不同轨道上运行时机械能不同

, 轨道半径越大 , 机械能越大。

( 3)

人造卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等

, 外轨道的速度大于内轨道的速度。

( 4)

卫星变轨问题的判断 :

①卫星的速度变大时 , 做离心运动 , 重新稳定时 , 轨道半径变大。

②卫星的速度变小时 , 做近心运动 , 重新稳定时 , 轨道半径变小。

③圆轨道与椭圆轨道相切时 , 切点处外面的轨道上的速度大 , 向心加速度相同。

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变式 1

北京航天飞行控制中心对 “嫦娥二号 ”卫星实施多次变轨控制并获得成功。首次变轨是在卫星运行到远地点时实施的 , 紧随其

后进行的 3次变轨均在近地点实施。

　“嫦娥二号 ”卫星的首次变轨之所以选择在远地点实施 , 是为了抬高卫星近地点的轨道高度。同样的道理 , 要抬高远地点的高度就需要在近地点实施变轨。图示为 “嫦娥二号 ”某次在近地点 A由轨道 1变轨到轨道 2的示意图 , 下列说法中正确的是 (

) 。

A. “嫦娥二号 ”在轨道 1的A点处应点火加速

B. “嫦娥二号 ”在轨道 1的A点处的速度比在轨道 2的A点处的速度大

C. “嫦娥二号 ”在轨道 1的A点处的加速度比在轨道 2的A点处的加速度大

D. “嫦娥二号 ”在轨道 1的B点处的机械能比在轨道 2的C点处的机械能大

解析 卫星要由轨道 1 变轨到轨道 2 需在 A 处做离心运动 , 应加速 , 使其做圆周运动所需向心力 m 大于地球所能提供的万有引力 G , 故 A 项正确 , B 项错误 ; 由 G =ma 可知 , 卫星在不同轨道同一点处的加速度大小相等 , C 项错误 ; 卫星由轨道 1 变轨到轨道 2, 反冲发动机的推力对卫星做正功 , 卫星的机械能增加 , 所以卫星在轨道 1 的 B 点处的机械能比在轨道 2 的 C 点处的机械能小 , D 项错误。

答案 A

双星与多星模型

1.双星模型

可视天体绕黑洞 黑洞与可视天体构成

模型 两颗可视天体构成的双星模型

做圆周运动 的双星模型

图示

向心力

黑洞对可视天体

彼此给对方的万有引

的来源

的万有引力

彼此给对方的万有引力

力

2.多星模型

三星模型 ( 正三角 三星模型 ( 直线等

模型 四星模型

形排列 ) 间距排列 )

图示

向心力 另外两星球对其万 另外两星球对其万

另外三星球对其万有引力的合力

的来源 有引力的合力 有引力的合力

3.解题模板

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例 4

如图所示 , 质量分别为两者中心之间的距离为

为 G。



m和M的两个星球 A和 B在引力作用下都绕 O点做匀速圆周运动 , 星球 A和B L。已知 A、B的中心和 O点始终共线 , A和 B分别在 O点的两侧 , 引力常量

( 1) 求两星球做圆周运动的周期。

( 2) 在地月系统中 , 若忽略其他星球的影响 , 可以将月球和地球看成上述星球 A和 B, 月球绕其轨道中心运行的周期记为 T1。但在近似处理问题时 , 常常认为月球是绕地心做圆周运动的 , 这样算得的运行周期为 T2。已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024 kg和 7.35×1022

kg。求 T2与 T1两者的平方之比。

　( 结果保留 3位小数 )

解析 ( 1) A 和 B 绕 O 点做匀速圆周运动 , 它们之间的万有引力提供向心力 , 则 A 和 B 所受的向心力相等 , 且 A、 B 的中心和 O 点始终共线 , 说明 A 和 B 组成双星系统且有相同的角速度和周期。设 A、B 做圆周运动的半径分别为 r、 R, 则有

mω2r=Mω 2R, r+R=L

联立解得 R= L, r= L

对 A, 根据牛顿第二定律和万有引力定律得

=m· L

解得 T=2π 。

( 2) 由题意 , 可以将地月系统看成双星系统 , 由 ( 1) 得

T1= 2π

若认为月球绕地心做圆周运动 , 则根据牛顿第二定律和万有引力定律得

=m' L'

解得 T2= 2π

所以 T2 与 T1 的平方之比为

= 1.012。

答案 ( 1) 2π

( 2) 1.012

( 1) 双星系统 : 各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供

, 即

=m

1ω2 12ω2 2。两颗星到

R =m

R

圆心的距离 R1、 R2 之比等于与其对应星体质量的反比 , 即

=

。双星运行周期

T= 2π

,

双星总质量 m1+m2= 。

( 2) 对于多星问题要弄清楚两个要点 : ①任意星做匀速圆周运动的向心力 , 由其他各星的万有引力的合力来提供 ; ②根据数学关系找到做圆周运动的半径。

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式 2

( 多 ) 宇宙中存在一些 量相等且离其他恒星 的由四 星 成的四星系 , 通常可忽略其

他星体 它 的引力作用。

　四星系 中每个星体的 量均 m, 半径均 R, 四 星 定分布在

L的正方形的四个 点上 , 其中 L 大于 R。已知引力常量 G, 忽略星体的自 , 关于四

星系 , 下列 法正确的是 ( ) 。

A.四 星做 周运 的 道半径

B.四 星做 周运 的 速度均

C.四 星做 周运 的周期均 2π

D.四 星表面的重力加速度均 G

解析

如 所示 , 四 星均 正方形 角 的交点做匀速 周运

, 道半径 r=

L, 取任

一 点上的星体 研究 象 , 它受到其他三个星体的万有引力的合力 F

合

=

G +G

, 由 F

合

=F 向 =m

=m , 解得 v=

, T=2π

, 故 A、B 两 , C 正确 ; 于在星体

表面 量 m0 的物体 , 受到的重力等于万有引力 , 有 m0g=G , 故 g=G

, D 正确。

答案

CD

天体的追及相遇问题

1.相距最近

两 星的运 方向相同 , 且位于和中心 的半径上同 , 两 星相距最近 , 从运 关系

上 , 两 星运 关系 足 ( ωA-ωB) t= 2nπ(n=1, 2, 3, ? ) 。

2.相距最

当两 星位于和中心 的半径上两 , 两 星相距最 , 从运 关系上 , 两 星运 关系 足 ( ωA-ωB) t'= ( 2n-1) π( n=1, 2, 3? ) 。

例 5

( 多 ) 如 , 三个 点 a、 b、 c的 量分 m1 、m2、 M( M 大于 m1及m2), 在万有引力作用下 , a

b在同一平面内 c沿逆 方向做匀速 周运 , 已知 道半径之比 ra∶ rb= 1∶ 4, 下列

法中正确的有 () 。

A.a、b运 的周期之比 Ta∶Tb=1∶8

B.a、b运 的周期之比 Ta∶Tb=1∶4

C.从 示位置开始 , 在b 一周的 程中 , a、b、c共 12次D.从 示位置开始 , 在b 一周的 程中 , a、b、c共 14次

解析 根据开普勒第三定律 , 周期的平方与半径的三次方成正比 , a、b 运 的周期之比 1∶8, A 正确 ; 示位置 ac、bc 角 θ<, b 一周的 t=T b, a、b 相距最 ,

有 Tb- Tb= ( π-θ)+n ·2π(n= 0, 1, 2, 3, ?), 可知 n< 6.75, n 可取 7 个 ; a、b 相距最近 , 有 Tb-

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Tb= ( 2π-θ)+m·2π(m=0, 1, 2, 3, ? ), 可知 m<6.25, m 可取 7 个 , 故在 b 一周的 程中 , a、

b、c 共 14 次, D 正确。

答案 AD

《高效 》 P43

1.( 20xx 海南卷 , 2) 土星与太阳的距离是火星与太阳距离的 6倍多。由此信息可知 ( ) 。

土星的 量比火星的小

B.土星运行的速率比火星的小

C.土星运行的周期比火星的小

D.土星运行的角速度大小比火星的大

解析

根据 G

=m =m

ω2

r,

可知

B

正确。

r=m

答案

B

2.( 20xx 江 南京 10 月

考 ) 20xx年7月22日美国在卡 拉 角空 基地成功 射了地球同步 道 星 Telstar 19 Vantage, 定点在西 63度赤道上空。

　20xx年7月25日欧洲航天局在圭 那太空中心成功 射了 4 伽利略 航 星 ( FOC FM-

19、20、 21、22), 4 伽利略 航 星 量大小不等 , 运行在离地面高度 23616

km的中地球 道 , 所有 星 地球做匀速 周运 , 下列 法正确的是 ( ) 。

4 伽利略 航 星运行 所需的向心力大小相等

B.FOC FM-19运行 周期小于 Telstar 19 Vantage的运行周期

C.Telstar 19 Vantage运行 速度可能大于地球第一宇宙速度

D.FOC FM-19运行 的向心加速度小于 Telstar 19 Vantage的向心加速度

解析 4 伽利略 航 星的 道半径相等 , 但 量大小不等 , 受万有引力大小不等 , 故 4

伽利略 航 星的向心力大小不相等 , A ; 根据万有引力提供向心力得 G =mr , 因

FOC FM-19 的运行 道半径小于地球同步 道 星 Telstar 19 Vantage的 道半径 , 故 FOC FM-19 运行周期小于 Telstar 19 Vantage的运行周期 , B 正确 ; 根据第一宇宙速度的定 知 Telstar 19 Vantage运行 速度一定小于地球第一宇宙速度 , C ; 根据 G =ma, 知 FOC FM-19 的

向心加速度大于 Telstar 19 Vantage的向心加速度 , D 。

答案 B

3.( 20xx 四川德阳 11 月 ) 我国 射的一 地球同步 星能 察到地球赤道 θ0 -

θ到 θ0+θ之 的区域。已知地球表面 的重力加速度大小 g, 地球自 周期 T。

　地球半

径 ( )。

A. B.

C. D.

解析

在赤道平面内 星作地球的两条切 , 由 意知 , 两切点 的 心角 2θ。

地球 量 M, 半径 R0, 星 量 m, 星到地心的距离 r, 有

G =m

r , G =mg, cos

θ=, 解得 R0

, D 正确。

=

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答案 D

4.( 20xx 广东湛江 10 月月

考 ) 20xx年中国首个原初引力波探测站将投入使用 , 前不久 , 美国激光干涉引力波天文台等机构

联合宣布首次发现双中子星合并引力波事件。假设该事件中甲、乙两中子星的质量分别为m1、

m2 , 若 m1>m2, 它们绕其连线上的某点做圆周运动 , 且它们的间距在缓慢减小 , 不考虑其他星系的

影响, 则(

) 。

A. 甲中子星的角速度小于乙中子星的角速度

B.甲、乙两中子星的运行周期在减小

C.甲中子星的线速度大于乙中子星的线速度

D.两中子星的向心加速度大小始终相等

ω、周期 T 相等 , A 项错误 ; 设它们圆周

解析

两中子星组成双星系统中两星运动的角速度

运动的半径分别为 r 1、r 2, 有 G=m1r1, G

=m2r 2, 解得 T= 2π

, 可知当

两星间距缓慢减小时 , 它们做圆周运动的周期减小 , B 项正确 ; 由 F=mω 2

ωv得

v1

∶v

2

r=m ,

=m2∶m1

, 甲中子星的线速度小于乙中子星的线速度

, C 项错误 ; 两星间的万有引力

F 提供向心

力 , 则它们的向心加速度与其质量成反比 , D 项错误。答案 B

5.( 20xx 江西南昌 12 月月

考 ) 美国发射的帕克太阳探测器 20xx年11月接近太阳。已知地球距太阳约 1亿 5000万千米 , 帕克太阳探测器距太阳约 4343万千米。若地球与帕克太阳探测器围绕太阳的运动均视为匀速圆周运

动 , 则下列判断中正确的是 ( ) 。

　A. 地球的运行速度大

B.在相同时间内 , 地球转过的弧长一定比帕克太阳探测器的长C.地球运行时的向心加速度一定比帕克太阳探测器的小

D.地球的角速度大于帕克太阳探测器的角速度

解析 由 G =m 得 v= , 因地球绕太阳运行的轨道半径大于探测器绕太阳运行的轨道

半径 , 故地球运行速度比探测器小 , 在相同时间内 , 地球转过的弧长一定比探测器的短 , A 、B 两项错误 ; 根据 G =ma 可得 a= ∝ , 因为地球的轨道半径大 , 所以其向心加速度较小 , C 项正确 ;

根据公式 G =mω 2r 可得 ω= , 所以地球的角速度小于探测器的角速度 , D 项错误。

答案 C

6.( 20xx 安徽阜阳 10 月模

拟 )( 多选 ) 我国控制 “天舟一号 ”飞船离轨 , 使它进入大气层烧毁 , 残骸坠入南太平洋一处号称 “航天器坟场 ”的远离大陆的深海区。在受控坠落前 , “天舟一号 ”在距离地面 380

km的圆轨道上飞行 , 则下列说法中正确的是 ( ) 。

A. 在轨运行时 , “天舟一号 ”的线速度小于第一宇宙速度

B.在轨运行时 , “天舟一号 ”的角速度小于同步卫星的角速度

C.受控坠落时 , 应通过 “反推 ”实现制动离轨

D. “天舟一号 ”离轨后 , 在进入大气层前 , 运行速度不断减小

解析 第一宇宙速度是环绕地球运动的卫星的最大速度 , A 项正确 ; 根据 ω= 可知 , 在轨

运行时 , “天舟一号 ”的运转半径小于同步卫星的运转半径 , 则其角速度大于同步卫星的角速度 , B 项错误 ; 受控坠落时要通过反推实现制动 , 使“天舟一号 ”做近心运动靠近地球 , 故 C 项正确 ; “天舟一号 ”离轨后 , 在进入大气层前 , 运行半径逐渐减小 , 地球的引力做正功 , 则速度不断增大 , D 项错误。

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答案 AC

7.( 20xx 浙江台州 11 月月

考 )( 多选 ) 20xx年10月 24日发生天王星冲日现象 , 天王星冲日是指天王星、地球和太阳几乎排列

成一线 , 地球位于太阳与天王星之间。此时天王星被太阳照亮的一面完全朝向地球 , 所以明亮而易于观察。地球和天王星绕太阳公转的方向相同 , 轨迹都可近似为绕太阳做匀速圆周运动。如

图所示为发生天王星冲日现象的示意图 , 则下列说法正确的是 () 。

地球线速度小于天王星的线速度

B.天王星向心加速度小于地球的向心加速度

C.从图示时刻开始计时到天王星再次冲日的时间间隔一定小于地球的周期

D.从图示时刻开始计时到天王星、地球和太阳再次共线的时间间隔一定大于地球的周期的一半

解析 设行星的质量为 m、轨道半径为 r、太阳的质量为 M, 根据万有引力提供向心力 , 得

G =ma=m , 可得 a=

, v=, 因天王星轨道半径大于地球轨道半径

, 故天王星线速度小于地

球的线速度 , 天王星向心加速度小于地球的向心加速度 , 故 A 项错误 , B 项正确 ; 设地球和天王星

绕太阳公转的周期分别为

TA、 TB, 由几何关系可知 , 从图示时刻开始计时到天王星再次冲日的时

间内 , 地球比天王星至少多转一圈 , 由( ω -ω ) ·t= 2π, 相距最近 , 则 t>T

地

,故 C项错误;从图中位

地天

置开始到天王星、地球和太阳再次共线 , 地球比天王星最少多转半圈 , 有( ω地-ω天 ) ·t= π,则 t> T 地,总之再次共线的时间间隔 t 一定大于地球的周期的一半 , D 项正确。

答案 BD

8.( 20xx 四川成都 11 月月

考 )( 多选 ) 20xx年10月 11日, 西藏江 ××县与四川 ××县交界处发生的山体滑坡 , 高分卫星遥感监测金沙江滑坡形成堰塞湖。如图所示 , 设高分卫星在半径为 R的圆周轨道上运行 , 经过时间 t, 通过

的弧长为 s, 已知引力常量为 G。下列说法正确的是 ( ) 。

高分卫星内的物体处于平衡状态

B.高分卫星的运行速度大于 7.9 km/s

C.高分卫星的发射速度大于 7.9 km/s

D.可算出地球质量为

解析 高分卫星绕地球运行 , 做匀速圆周运动 , 万有引力提供向心力 , 处于失重状态 , A 项错误 ; 7.9 km/s 为第一宇宙速度 , 是最大的运行速度 , 是最小的地面发射速度 , B 项错误 , C 项正确 ;

高分卫星的线速度 v= , 根据万有引力提供向心力 =m , 解得地球质量 M= = , D 项正确。

答案 CD

9.( 20xx 浙江宁波四校联

考 )( 多选 ) “天舟一号 ”与“天宫二号 ”成功对接成新的组合体 , 组合体开始进行推进剂补加试验 , 试验持续 5天时间 , 组合体仍在原 “天宫二号 ”的轨道上做圆周运动 , 目前组合体状态良好。关于组

合体与原 “天宫二号 ”的说法正确的是 ( ) 。

A. 组合体的运动速度比原 “天宫二号 ”的运动速度大

B.组合体的机械能比原 “天宫二号 ”的机械能大

C.组合体的加速度比原 “天宫二号 ”的加速度大

D.组合体的向心力比原 “天宫二号 ”的向心力大

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解析 组合体仍在原 “天宫二号 ”的轨道上做圆周运动 , 根据 G =m , 得 v= , 组合体的

运动速度等于原 “天宫二号 ”的运动速度 , A 项错误 ; 组合体的运动速度等于原 “天宫二号 ”的运动速度 , 组合体质量变大 , 组合体的机械能比原 “天宫二号 ”的机械能大 , B 项正确 ; 组合体仍在原 “天

宫二号 ”的轨道上做圆周运动 , 根据 G =ma, 得 a=G , 组合体的加速度等于原 “天宫二号 ”的加

速度 , C 项错误 ; 组合体仍在原 “天宫二号 ”的轨道上做圆周运动 , 根据 Fn=G , 组合体的向心力比

原 “天宫二号 ”的向心力大 , 故 D 项正确。

答案 BD

10.( 20xx 云南昆明 10 月模

拟 )( 多选 ) 20xx年春 , 印度造价高昂的通信卫星和地面控制中心失去联系 , 卫星变轨后丢失。卫星变轨原理图如图所示 , 卫星从椭圆轨道 Ⅰ 远地点 Q改变速度进入地球同步轨道 Ⅱ, P点为椭圆轨

道近地点。下列说法正确的是 ( ) 。

A. 卫星在椭圆轨道 Ⅰ运行时周期小于在同步轨道 Ⅱ运行时的周期

B.卫星在椭圆轨道 Ⅰ的P点的速度小于在同步轨道 Ⅱ的Q点的速度

C.卫星在椭圆轨道 Ⅰ的机械能等于在同步轨道 Ⅱ 的机械能

D.卫星耗尽燃料后 , 在微小阻力的作用下 , 机械能减小 , 轨道半径变小 , 动能变大

解析 由图可知 , 椭圆轨道 Ⅰ的半长轴小于同步轨道 Ⅱ的半径 , 根据开普勒第三定律可知 , 卫星在椭圆轨道 Ⅰ运行时的周期小于在同步轨道 Ⅱ运行时的周期 , A 项正确。卫星从近地圆轨道上的 P 点需加速 , 进入椭圆转移轨道 , 所以卫星在近地圆轨道上经过 P 点时的速度小于在椭圆

转移轨道上经过 P 点的速度 , 根据 G =m , 得 v= , 知同步轨道的半径大于近地轨道的半径 ,

则同步轨道的线速度小于近地轨道的线速度 , 综上可知卫星在椭圆轨道 Ⅰ 的 P 点的速度大于在

同步轨道 Ⅱ的 Q 点的速度 , B 项错误。卫星发射越高 , 需要克服地球引力做功越大 , 所以卫星在

轨道 Ⅰ的机械能小于在轨道 Ⅱ 的机械能 , C 项错误 ; 卫星耗尽燃料后 , 在微小阻力的作用下 , 机

械能减小后做近心运动 , 轨道半径变小 , 由 G =m , 可知轨道半径减小后动能变大 , D 项正确。

答案 AD

11.( 20xx 四川绵阳 12 月考

试 ) 石墨烯是近些年发现的一种新材料 , 其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使 21世纪的世界发生革命性的变化 , 其发现者由此获得 20xx年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳 , 人类搭建 “太空电梯 ”的梦想有望在 21世纪实现。科学家们设想 , 通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站 , 电梯仓沿着这条缆绳运行 , 实现外太空和地球之间便捷的物资交换。

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( 1) 若 “太空电梯 ”将货物从赤道基站运到距地面高度为

h1的同步轨道站 , 求轨道站内质量为 m1的

货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为

ω, 地球半径为 R。

( 2) 当电梯仓停在距地面高度 h2

的站点时

,

求仓内质量 2

= 4R

m = 50

kg的人对水平地板的压力大小。取地面附近重力加速度

g=10 m/s2, 地球自转角速度 ω=7.3×10-5

rad/s, 地球半径 R=6.4×103 km。

解析

( 1) 设货物相对地心的距离为

r1, 线速度为 v1, 则

1

=R+h

1, v1 1ω

r

=r

货物相对地心的动能 Ek

1

= m

联立上式得 Ek= m1ω2( R+h1) 2。

( 2) 设地球质量为 M, 人相对地心的距离为 r2, 向心加速度为 an, 受地球的万有引力为 F, 则

r2=R+h 2, an=ω2r2, F=G

, g=

设水平地板对人的支持力大小为

FN , 人对水平地板的压力大小为

FN

',

则

N

2 n, FN

'=F

N

联立上式并代入数据得

F-F

=m a

FN'≈11.5 N。

答案

( 1) 1ω2( R+h1) 2

( 2) 11.5 N

m

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