圆一般方程教学设计

一、学习目标

知识与技能：在熟练记忆圆的标准方程的基础上，能通过配方法将方程

配方，从而得出此方程表示圆的条件，记住此条件，并会求圆心和半径；
熟练进行标准方程和一般方程之间的互化；
通过比较得出求圆方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

过程与方法：通过对方程

表示圆的条件的探究，培

圆的一般方程教学设计

养学生探索发现和解决问题的能力，通过比较例题，感悟归纳和总结的学习方法。

情感态度与价值观：通过对数学思想和方法的渗透，让学生感受解决问题的不同思考角度和过程，激励学生积极思考，勇于探索的精神。

二、重点难点：探究方程的两种方法（待定系数法和几何性质法）。

三、学法提示：探究式；
比较归纳式

四、学习过程：包括相关预习、学习探究、反馈和展示、启发点拨、归纳小结、释疑答难、训练巩固、点拨校正、作业等。

1、自主预习（用10分钟时间阅读教材内容，勾勒自己的疑惑，查阅相关的资料辅助解决疑惑，记录自己一些独特的见解，完成学业质量模块测评的环节1，包括基础知识的记忆、思维提升的判断及A、B、C不同层级的练习）

2、思考探究（引入）：

问题1：圆的标准方程是什么？你能正确展开吗？

此时重点观察和发现后进生的练习过程，及时地予以真诚的语言鼓励或者一个肯定的眼神、一个手势，让这些学生从一开始投入到我能学会的自信心当中来。

问题2：方程方程

表示圆的条件；
求圆方程在解决这两个问题之前老师紧接着问：由问题1你能想到解决这两个问题的办法吗？或者由这两个方程的形式特点你想到了什么方法来处理这两个方程？这样培养学生善于发现问题之间的内在联系的意识，也培养学生观察分析问题的能力。

这样学生自然采用配方法处理，第一个表示一个圆，第二个不表示任何图形。

问题3：将问题2一般化，方程

都表示圆吗？在什么条件下表示圆？

3、小组展示

先给学生5分钟自主探究（因为涉及到分情况讨论，可能有一半学生会出错），而后各个小组在小组长的展示下相互完善，达成共识。

4、点拨，渗透分类讨论思想的时机和标准。

5、自主解答，训练感悟。

求过三点O(0，0),M(1，1),N(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心和半径。

要求：8分钟之内完成；
根据已有知识多联系解决，方法不限。

8分钟之后提问一名完成的学生来展示方法和过程，之后再调动学生的积极性来充分展示自己的过程。

6、归纳总结

圆的一般方程是什么？条件是什么? 求圆的方程的方法有哪些？对照例

2、例

3、例4回答

对于待定系数法的应用，你还想到了哪些知识？请总结用待定系数法解题的步骤。

7、学生提问，答疑解惑

8、巩固练习。 （1）判断方程（2）已知圆C的圆心在直线圆C的标准方程。

五、作业布置 ：1.正式作业课本P124：1，2；

2.笔记整理

=0表示什么图形（配方法，分类讨论思想）

并且经过原点和A（2,1），求

圆的一般方程

教学目标 (一)知识教学点

使学生掌握圆的一般方程的特点；
能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；
能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

(二)能力训练点

使学生掌握通过配方求圆心和半径的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方法，熟练地用待定系数法由已知条件导出圆的方程，培养学生用配方法和待定系数法解决实际问题的能力．

(三)学科渗透点

通过对待定系数法的学习为进一步学习数学和其他相关学科的基础知识和基本方法打下牢固的基础．

教学重点：(1)能用配方法，由圆的一般方程求出圆心坐标和半径；
(2)能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

教学难点：圆的一般方程的特点．

教学疑点：圆的一般方程中要加限制条件D2+E2-4F＞0． 活动设计

讲授、提问、归纳、演板、小结、再讲授、再演板． 教学过程

(一)复习引入新课

前面，我们已讨论了圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，现将展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可见，任何一个圆的方程都可以写成x2+y2+Dx+Ey+F=0．请大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线是不是圆？下面我们来深入研究这一方面的问题．复习引出课题为“圆的一般方程”．

(二)圆的一般方程的定义

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的轨迹

将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左边配方得：

(1)

(1)当D2+E2-4F＞0时，方程(1)与标准方程比较，可以看出方程

半径的圆；

(3)当D2+E2-4F＜0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0没有实数解，因而它不表示任何图形．

这时，教师引导学生小结方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹分别是圆、

法．

2．圆的一般方程的定义

 当D2+E2-4F＞0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0称为圆的一般方程．

(三)圆的一般方程的特点 请同学们分析下列问题：

问题：比较二元二次方程的一般形式 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0．

(2)

与圆的一般方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0，(D2+E2-4F＞0)．

(3)

的系数可得出什么结论？启发学生归纳结论．

当二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0具有条件：
(1)x2和y2的系数相同，不等于零，即A=C≠0；

(2)没有xy项，即B=0；

(3)D2+E2-4AF＞0．

它才表示圆．条件(3)通过将方程同除以A或C配方不难得出． 教师还要强调指出：

(1)条件(1)、(2)是二元二次方程(2)表示圆的必要条件，但不是充分条件；

(2)条件(1)、(2)和(3)合起来是二元二次方程(2)表示圆的充要条件． (四)应用与举例

同圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2一样，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0也含有三个系数D、E、F，因此必具备三个独立的条件，才能确定一个圆．下面看一看它们的应用．

例

1求下列圆的半径和圆心坐标：
(1)x2+y2-8x+6y=0， (2)x2+y2+2by=0．

此例由学生演板，教师纠错，并给出正确答案：(1)圆心为(4，-3)，半径为5；
(2)圆心为(0，-b)，半径为|b|，注意半径不为b．

同时强调：由圆的一般方程求圆心坐标和半径，一般用配方法，这要熟练掌握． 例

2求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圆上，则有

解得：D=-8，E=6，F=0， 故所求圆的方程为x2+y2-8x+6=0． 例2小结：

1．用待定系数法求圆的方程的步骤：

(1)根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；

(2)根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程．

2．关于何时设圆的标准方程，何时设圆的一般方程：一般说来，如果由已知条件容易求圆心的坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程；
如果已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往往设圆的一般方程．再看下例：

例

3求圆心在直线 l：x+y=0上，且过两圆C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程．

(0，2)．

设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上所以得方程组为

故所求圆的方程为：(x+3)2+(y-3)2=10．

这时，教师指出：

(1)由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

(2)此题也可以用圆系方程来解：
设所求圆的方程为：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1) 整理并配方得：

由圆心在直线l上得λ=-2．

将λ=-2代入所假设的方程便可得所求圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圆与圆的位置关系中再介绍，此处为学生留下悬念．

的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线． 此例请两位学生演板，教师巡视，并提示学生：

(1)由于曲线表示的图形未知，所以只能用轨迹法求曲线方程，设曲线上任一点M(x，y)，由求曲线方程的一般步骤可求得；

(2)应将圆的一般方程配方成标准方程，进而得出圆心坐标、半径，画出图形． (五)小结

1．圆的一般方程的定义及特点；

2．用配方法求出圆的圆心坐标和半径；

3．用待定系数法，导出圆的方程．

五、布置作业

1．求下列各圆的一般方程：

(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；

(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．

2．求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．

3．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．

4．A、B、C为已知直线上的三个定点，动点P不在此直线上，且使∠APB=∠BPC，求动点P的轨迹．

作业答案：

1．(1)x2+y2-16x+6y+48=0 (2)x2+y2-4x-2y-20=0 2．x2+y2-x+7y-32=0 3．所求的轨迹方程为x2+y2-8x-4y+10=0(x≠3，x≠5)，轨迹是以

4．以B为原点，直线ABC为x轴建立直角坐标系，令A(-a，0)，C(c，0)(a＞0，c＞0)，P(x，y)，可得方程为：

(a2-c2)x2+(a2-c2)y2-2ac(a+c)x=0．

当a=c时，则得x=0(y≠0)，即y轴去掉原点；
当a≠c时，则得(x-

与x轴的两个交点．

教学简案

【课

题】圆的一般方程 【教学目标】

1、知识目标：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心和半径，掌握方程x2y2DxEyF0表示圆的条件；

（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程。

（3）利用圆的方程解决与圆有关的实际问题。

2、能力目标：通过对方程x2y2DxEyF0表示圆的条件的探索，培养学生探索、发现及分析解决问题的实际能力。

3、情感目标：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

【教学重点】圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F。

【教学难点】对圆的一般方程的认识、掌握和应用。

【教学方法】讲授法，分析法。

【教学用具】多媒体辅助教学 【教学流程】

一、情景创设 问题1：

在平面直角坐标系中，以C(a,b)为圆心，r为半径的圆的方程是什么？

1 问题2：

将圆的标准方程展开整理后，能发现哪些特征？（寻找新知识的生长点）

结论：（多媒体显示）

将(xa)2(yb)2r2 展开得x2y22ax2bya2b2r20，我们发现任何圆都能表示为一个具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2项的系数同为1；

（2）不出现交叉乘积的二次项xy。

问题3：

x2y22x4y60是圆的方程？若是，写出圆心坐标和半径；
若不是，则说明理由

二、探索研究

二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的条件是什么？

（创设一种鼓励的宽松的氛围，让学生充分发表自已的观点，教师适当引导。）

二元二次方程x2y2DxEyF0，通过配方后可以化为

D2E2D2E24F (x)(y)

224（1）当D2E24F0时，方程表示以(为半径的圆；

DE1,)为圆心，D2E24F222（2）当D2E24F0时，方程表示一个点(DE,)；

22（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而方程不表示任何图形。

板书：圆的一般方程：x2y2DxEyF0（D2E24F0）

2 指出：（1）圆心(DE1,)，半径D2E24F；

222 （2）圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点；

（3）给出圆的一般方程，会写出它的圆心和半径；
若给出相关条件，则能求出圆的方程。

三、应用举例

例

1、判断下列方程是否表示圆，如果是，并求出各圆的半径和圆心坐标：

（1）x2y26x0；

（2）2x22y24x8y120；

（3）2x22y24x8y100；

（4）x2y26x100；

（5）x22y24x8y10。

（解略）

例

2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)为顶点的三角形的外接圆方程，并求出它的圆心和半径。

（分析：应用圆的一般方程x2y2DxEyF0，将已知三点的坐标代

入这个方程，得到一个三元一次方程组，解这个三元一次方程组，即可求得

圆的一般方程，对圆的一般方程配方即可求半径长和圆心坐标。同时，将这

种求圆的一般方程的方法称为“待定系数法”。）

四、课内练习

1、判定下列方程中，哪些是圆的方程？如果是，求出它们的圆心和半径：

（1）2x22y24x50；

（2）x2y23x4y120；

3 （3）x22y24x2y50；

（4）x22y24x2y1；

（5）3x24xy(x2y)24

2、求过三点A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圆的方程。

五、课内拓展

若圆x2y2DxEyF0与y轴相切于原点，则D，E，F应满足什么条件？若圆与y轴相切呢？

学生讨论，各抒已见，相互补充，完善结论。

我们还可以继续探究：如当圆与x轴相切；
过原点；
原点在圆内；
等等情况时，系数D、E、F应满足的条件。

八、归纳小结

（教师引导，由学生总结一节课的收获，然后显示幻灯片同时教师总结。）

五、布置作业

（1）课堂作业：《数学指导用书》第25页课外习题1（1）（2）（3）（4）、

2、4。 （2）课外作业：《数学指导用书》第26页课外习题

5、

6、7。

圆的一般方程教案初中

【篇1：圆的一般方程教学设计】

数学基础模块 下册 8.3.2 圆的一般方程

【教学目标】

1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程． 2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程． 3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力． 【教学重点】 圆的一般方程． 【教学难点】

二元二次方程与圆的一般方程的关系． 【教学方法】

这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．

【教学过程】 1

第八章 直线和圆的方程 2

数学基础模块 下册 3

第八章 直线和圆的方程 4

【篇2：人教版圆的一般方程教案】

圆的一般方程

一、教学目标

1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．

2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．

二、教学重点与难点

圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；
根据具体条件选用圆的方程为教学难点．

三、教学过程 （一）复习并引入新课

师：请大家说出圆心在点(a，b)，且半径是r的圆的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

师：以前学习过直线，直线方程有哪几种？

生：直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式． 师：直线方程的一般式是ax+by+c=0吗？

生a：是的．

生b：缺少条件a2+b2≠0．

师：好！那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？

(书写课题：“圆的一般方程”的探求) （二）探索新知

师：圆是否有一般方程？这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式，两点式……)展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？ 生：可仿照直线方程试一试！把标准形式展开，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令d=－2a，e=－2b，f=a2+b2－r2，有：x2+y2+dx+ey+f=0(*)

师：从(*)式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成(*)的形式．那么能否下结论：x2+y2+dx+ey+f=0就是圆的方程？ 生a：不一定．还得考虑：x2+y2+dx+ey+f=0能否写成标准形式．

生b：也可以像直线方程一样，要有一定条件．

师：那么考虑考虑怎样去寻找条件？

生：配方．

师；
请大家动手做，看看能否配成标准形式？

(放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．) 22

将（*）式配方得:? d??e?d2+e2-4f ?x+2??+ ?y+2??=4.(?)

1．当d2+e2－4f＞0时，比较(△)式和圆的标准方程知：(*)式表示以

? de1 ?-2,-?

2??2d2+e2-4f为半径的圆；

2.当d2+e2-4f=0时，(*)式只有实数解x=-d 2,y=-e 2,

即(*)式表示一个点? d ?-2，-e?

2??(有时也叫点圆)

3.当d2+e2－4f＜0时，(*)式没有实数解，因而它不表示任何图形．

教师总结：当d2+e2－4f＞0时，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圆的一般方程．

师：圆的一般方程有什么特点？

生a：是关于x、y的二元二次方程．

师：刚才生a的说法对吗？

生b：不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程． 师：特殊在什么地方？

(通过争论与举反例后，由教师总结)

师：1．x2，y2系数相同，且不等于零． 2．没有xy这样的二次项．

(追问)：这两个条件是“方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圆”的什么条件？

生：必要条件．

师：还缺什么？

生：d2+e2－4f＞0．

练习：判断以下方程是否是圆的方程：

①x2+y2－2x+4y－4=0 ②2x2+2y2－12x+4y=0

③x2+2y2－6x+4y－1=0

④x2+y2－12x+6y+50=0

三、应用举例

师：先请大家比较一下圆的标准方程(x－a)2+(y－b)2=r2与一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在应用上各有什么优点？

生：标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；
一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．

师：怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径． de?1生：圆心?-?，r=d2+e2-4f.-，?22?

2生b：不用死记，配方即可．

师：两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择． 四．例题讲解

例1．求过三点o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)的圆的方程；

分析：由于o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)不在同一条直线上，因此经过o,m1,m2三点有唯一的圆．

解：法一：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，

∵o,m1,m2三点都在圆上，

∴o,m1,m2三点坐标都满足所设方程，把o(0,0),m1(1,1),m2(4,2)代入所设方程，

?f=0?得：?d+e+f+2=0 ?4d+2e+f+20=0? ?d=-8?解之得：?e=6 ?f=0?

所以，所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．

法二：也可以求om1和om2中垂线的交点即为圆心，圆心到o的距离就是半径也可以求的圆的方程：x2+y2-8x+6y=0．

法三：也可以设圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得(x-4)2+(y+3)2=2

5五、小结

六、作业：

1.求下列各圆的圆心坐标和半径：

①x2+y2－2x－5=0

②x2+y2+2x－4y－4=0

③x2+y2+2ax＝0

④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教学反思

【篇3：优秀教案30-圆的一般方程】

4.1.2 圆的一般方程

教材分析

本节内容是必修第二册第四章第一节圆的方程的第二课时内容.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用.课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要研究圆的一般方程的特征和待定系数法求法，以及对． 教学目标

重点: 圆的一般方程及待定系数法求圆的方程.

难点：待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解. 知识点：圆的一般方程及一般方程的特点，待定系数法.

能力点：用代数方法研究几何问题的能力、数形结合思想的理解和待定系数法的运用.

教育点：培养学生勇于思考、主动探究知识、合作交流意识、在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.拓展点：利用坐标法思想求解动点的轨迹方程.

教具准备 多媒体课件、三角板、圆规

课堂模式 学案导学、自主探究

一、复习引入

【师生活动】教师提问，学生回答.

问题1：怎么求过点o(0,0),m(1,1)n(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标？

生：待定系数法设圆的标准方程或求圆的圆心坐标和半径.圆的方程是(x-4)+(y+3)=25，圆心坐标是(4,-3)，半径是5.【设计意图】复习巩固加强记忆.

问题2 ：将上面求得的方程展开，我们得到的是一个什么样的方程？圆的方程都是这样的吗？ 22

x+y-2ax-2by+a+b-r=0，生：展开得到的是x+y-8x+6y=0.圆的标准方程展开式是：

是二元二次方程.

【设计意图】由具体到一般，引导学生找到分析问题的方法和结论.

师：圆的方程总能表示成x+y+dx+ey+f=0这样的方程，那么方程x+y+dx+ey+f=0表示的是圆吗？我们这节课就来探究这个问题.

【设计意图】使新知识建立在学生已有的知识之上，是旧知识的应用与延伸.2222222222

2二、探究新知

【师生活动】教师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.问题1：方程x+y-2x+4y+1=0，x+y-2x-4y+6=0，x+y-2x+4y+5=0分别表示什么图形？

【设计意图】利用具体问题讨论，降低探究问题的难度，循序渐进地引导学生完成探究，形成分类讨论、等价转化等数学思想.

【师生活动】教师提示配方法，配方和展开由学生完成，教师最后展示结果，再讨论得到的方程.

生：方程x+y-2x+4y+1=0 可化为：(x-1)+(y+2)=4，表示以(1,-2)为圆心，2为半径长 的圆；

方程x+y-2x-4y+6=0 可化为：(x-1)+(y-2)=-1，不表示圆；

方程x+y-2x+4y+5=0●可化为：(x-1)+(y+2)=0，不表示圆.师：满足方程、●的点的坐标是什么？

生：没有满足方程 的点，满足方程●的点的坐标是(1,-2).师：那么方程、●表示什么图形？

生：方程 不能表示任何图形，方程●表示点(1,-2).

【设计说明】认识到方程x+y+dx+ey+f=0可能表示圆，但不一定，促使学生进一步探究在什么条件下，一定表示圆；
采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式.

问题2：方程x+y+dx+ey+f=0在什么条件下表示圆？

【设计意图】突破教学难点.

【设计说明】在问题1的讨论基础上，这个问题由学生分组讨论，独立完成，教师给予适当的指导.2222222222222222222222

d2e2d2+e2-4f生：把x+y+dx+ey+f=0配方得：(x+)+(y+)= 2242

2师：方程是否表示圆与什么有关？

【设计意图】使问题化难为易，突破难点，也让学生充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述.

生：与d+e-4f的取值正负有关.22 de，)

为半径的圆.22

dede22⑵当d+e-4f=0时，方程只有实数解x=-,y=-，即只表示一个点(-,-).2222⑴当d+e-4f﹥0时，方程表示以(-22

⑶当d+e-4f﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.

22师：当d+e-4f﹥0时，方程x+y+dx+ey+f=0叫做圆的一般方程.2222

三、理解新知

思考1：圆的一般方程与一般的二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0有什么关系？

【设计意图】采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识.加深对圆的二次方程的结构认识.

生：二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0中a,c相等，b=0时就是圆的一般方程.师：圆的一般方程的特点是：（1）x和y的系数相等，且等于1；
（2）没有xy项. 【设计意图】归纳知识，.强调的概念的本质，深化学生对圆的一般方程的理解.有利于学生理清知识脉络，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.

思考2：圆的一般方程与圆的标准方程各有什么特点？

【设计意图】通过让学生比较体会，，强化学生的观察、思考能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.生：圆的标准方程中能体现圆的圆心坐标和半径长，圆的一般方程表明圆的方程是个特殊的二元二次方程.师：圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显.

【设计意图】可以进一步加深学生用代数方法研究几何问题的认识 222222

四、运用新知

例1 判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

（1）x+y-6x=0 （2）x+y-2ax-2ay+3a=0

（3）x+y+2ax-b=0 （4）4x+4y-4x+12y+11=0

【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程的特征和配方法转化为标准方程和标准方程的几何特征.加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识.

【设计说明】本题由学生自己完成.2222222222

（x-3）+y=9，表示圆心坐标是(3,0)，半径长是3的圆.解：（1）方程可以变为：

（x-a）+(y-3a)=a.a=0时，方程表示点(0,0)；
a≠0时，方程表示圆心（2）方程可以变为：

坐标是(a,a)，半径长是|a|的圆.22222

（x+a）+y=a+b.a+b=0时，方程表示点(0,0)；
a+b≠0时，方程表（3）方程可以变为：

示圆心坐标是(-a,0)，半径长是a+b的圆.（4）方程可以变为：x+y-x+3y+

巩固练习：课本p1241

例2 求过点o(0,0),m(1,1)n(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.

【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程，通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤. 【设计说明】让学生画出图象，结合引例的方法，讨论确定用待定系数法求圆的一般方程.学生板书，教222222222222111231=0，即：（x-）+(y+)2=-，方程不表示任何图形.4224 师订正.

解：设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0

∵a(0,0)，b(1,1)，c(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：

?f=0? ?d+e+f+2=0 即d=-8 e=6 f=o ?4d+2e+f+20=0?

∴所求圆的方程为x+y-8x+6y=0

∴圆心坐标为(4,-3) ，r=

2222de、-=4、-=-3 2222师：还可以将x+y+dx+ey+f=0化为圆的标准方程：
(x-4)+(y+3)=25，求圆的圆心坐

标和半径长.

师：待定系数法求圆的方程一定设圆的一般方程吗？待定系数法求圆的方程的大致步骤是什么？

【设计意图】强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.

生：⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程；
⑵根据条件列出关于a,b,r或d,e,f的方程组；

⑶解

出a,b,r或d,e,f并将其代入其相关方程。

巩固练习：课本p1233

例3已知线段ab的端点b的坐标是(4,3)，端点a在圆上(x+1)+y=4运动，求线段ab的中点m的

轨迹方程 .22

【设计意图】掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤，培养学生运用知识的能力.

【设计说明】教师引导学生分析条件中的关系，教师板书，学生总结解题步骤.

师：求线段ab的中点m的轨迹方程是指点m的坐标(x,y)满足的关系式.已知条件中知道哪个点的坐

标？

生：点a的坐标满足方程(x+1)+y=4.师：点a和点m有什么关系？

生：点m是线段ab的中点. 师：可以利用中点坐标公式表示m,a,b坐标之间的关系，利用点a的坐标满足的方程表示点m的坐标的关系.

解：设点m的坐标是(x,y)，点a的坐标是(x0,y0)，由于点b的坐标是(4,3)，且m是线段ab的中点，22

所以有：x=x0+4y+4 ，y=0，即：x0=2x-4 ，y0=2y-3 ① 22

2222因为点a在圆(x+1)+y=4上运动，所以点a的坐标满足方程(x+1)+y=4

即：(x0+1)+y0=4 ②

把①代入②，得:(2x-4+1)+(2y-3)=4 整理，得:(x-)2+(y-)2=1

所以，点m的轨迹是以(2222323233，)为圆心，半径长是1的圆.22

师：这个求点的轨迹的方法叫代入法，利用与所求点有关系的点的坐标所满足的方程求解轨迹方程.求点的轨迹的一般步骤是：⑴建立适当的坐标系，用有序数对(x,y)表示曲线上任意一点m的坐标；

⑵写出适合条件的点m的集合；
⑶列出方程f(x,y)=0；
⑷化方程f(x,y)=0为最简形式.

【设计意图】总结归纳，把方法系统化，形成能力.

巩固练习：课本p12

43五、课堂小结

师：本节课学习了圆的一般方程,讨论了的哪些问题，用到哪些思想方法？

生：学习了圆的一般方程x+y+dx+ey+f=0的代数特征.讨论了圆的一般方程和标准方程的互化，待定系数法求解圆的一般方程和代入法求解曲线的轨迹方程.

【设计意图】启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力，有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识，把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.2

2六、布置作业

1,5，8 1．必做作业：课本p144a

，3 选作作业：课本p124b1

【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心. 2.课后练习 自主学习丛书 4.1.

2七、教后反思 本节课通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆的一般方程认识的再次深化，归纳总结用待定系数法解题的基本步骤，提炼分类讨论，化归转化，数形结合等数学思想.但是，对于点的轨迹方程的求解未能讲解透彻，使得学生有些一知半解，应该在直线的方程和圆的方程的教学中加强学生对坐标法的认识.

“直线方程的一般式”教学设计

无锡市堰桥中学 周志峰

一、教材分析

1、教材的地位和作用

直线的一般方程是苏教版必修2第二章2.1.2的内容，在这之前学生已经学习了直线方程的四种特殊形式，初步认识到这四种形式使用的限制性，这为直线的一般方程的提出提供了必要条件，同时也反映了直线一般方程在刻画直线时所起到的一般性意义。从另一个角度讲，本节课的学习是对初中二元一次方程知识的系统性的研究，通过构建平面上的直线与x,y的二元一次方程一一对应关系，意识到方程与图形的关系，这也为学习圆锥曲线方程等知识打基础.具有承上启下的作用.

2、教学目标

（1） 掌握直线方程一般式AxByC0(A,B不同时为0)的特征，特别表示斜率不存在与斜率为0时与A、B间的对应关系

（2） 理解直线方程五种形式之间的内在联系及所能代表直线的区别，从整体上把握直线方程

（3） 会从方程的角度研究直线，探究直线和二元一次方程关系，形成代数与几何相结合的数学思想方法

3、教学重点、难点

（1） 教学重点：掌握直线的一般式方程，能从一般式中得到直线的相关性质；
充分理解直线一般式方程的优越性。

（2） 教学难点：直线一般式方程的引入

二、学情分析

学生已经学习了直线方程的四种形式，对各种形式有了一个初步的认识，但在解题能力特别是抽象思维能力方面比较欠缺，本节课的学习需要学生有较强的探究能力与分类讨论的思想意识，学生学起来有一点困难，需要教师的有力引导。

三、教法与学法

（一）教法：

本节课以问题链为思考索引，对提出的问题进行分析、讨论、归纳，在整个活动中体现以教师为主导，以学生为主体的教学理念，培养学生观察、分析、归纳、应用的能力

（二）学法：

通过本节课的学习，让学生感受到自主探究学习的学习方式对于掌握知识点，形成系统知识的重要性，逐步掌握自主获得知识的学习方法。

四、教学过程

（一）创设问题情境

问题1：已知直线l上的两点Aa1,3,B(2a,4)（a为常数，求直线l的方程） 学生回答：

1、两点式：y3x(a1) 432a(a1)1(xa1) a1问题2：以上两种形式形式上能统一吗？有没有限制范围？

2、点斜式：y3学生回答：xa1y2a40，限制范围为a1，即直线x2不包括在内

问题3：直线x2是否符合方程xa1y2a40，说明什么问题？ 学生回答：符合，说明方程xa1y2a40包含了斜率不存在的直线，更具普遍性，弥补了其它形式的缺陷。

问题4：直线的四种形式是否都可以化成类似于xa1y2a40的形式，能突破所有的限制范围吗？

学生回答：可以化为AxByC0的形式，能突破斜率不存在，截距不存在的限制

【问题链设置意图：问题较细是为了让学生接受新知识较为顺畅，同时让学生对新知识产生的必要性有一个全面的了解】

（二）新知归纳

知识点1：平面内的每一条直线都可以用关于x,y的二元一次方程来表示? 知识点2：每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗? 教师给出二元一次方程的一个例子，如2x3y10，将其转化成直线方程的其它四种形式，利用适当的形式得到相关性质，并从二元一次方程中得到直线相关性质的一些结论和公式，再拓展到AxByC0(A,B不同时为0)的更加一般化的情形，求斜率、截距等相关性质，从而产生对相关系数的讨论，得到知识点：

AxByC0(A,B不同时为0)

当B0时，表示斜率为—AC，在y轴上的截距为的直线；
特别地，当BBA0时，表示垂直于y轴的直线

当B0且A0时，表示垂直于x轴的直线x

（三）新知应用

C A例

1、求直线l:3x5y150的斜率以及它在x轴、y轴上的截距，并作图

例

2、设直线l的方程为xmy2m60，根据下列条件分别确定m的值 （1） 直线l在x轴上的截距为3；

（2） 直线l的斜率为1 【设计意图：掌握一般方程与其它形式之间的关系，熟知一般方程中的系数与斜率、截距之间的公式化关系】

练习：苏教版必修2课本p.87.的练习1—5

（四）课堂小结

（1）直线方程的五种形式及其特点． （2）直线的一般式方程的形式特征。

（3）本节课学习了哪些数学思想方法 【设计意图：使学生对本节课有一个系统的认识，同时养成良好的学习习惯】

（五）作业：苏教版必修2课本p.87—88.的感受理解

2、

3、

4、

5、

10、11 【设计意图：通过作业，反馈教学效果，提高有效教学】

圆的标准方程教学设计

教材分析

本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。

学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.教法分析

为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.学法分析

通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
教学目标

基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；

（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；
反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；

（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；

（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。

提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；
加深对待定系数法的理解；
促进学生自主的、创造性的学习。

体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。

教学重点与难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程

教学过程

一、复习引入

1、课前复习填写学案（学案见附录）

教师设问：①求曲线方程的一般步骤

②圆的定义

③两点间的距离公式

学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。

2、创设情景引入新课

教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。

教师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？

学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：研究圆的方程

二、探究学习

（一）圆的标准方程

1、教师预设：让学生画圆

学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；

2、教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；
圆确定了，圆的方

程也就确定了。

学生推导该圆的方程

教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。

3、由特殊到一般，得出以（a, b）为圆心，半径为r的圆的标准方程

（x-a）2+（y-b）2=r2

教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；

（2）含有a,b,r三个参数；

（3）已知方程可以找出圆心和半径。

4、随堂练习

教师预设：练习1 找出下列圆的圆心和半径

（1）x2+(y+1)2=16 （2）(2x-2)2+(2y+4)2=4 （3）(x+1)2+(y+2)2=m2 学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。

教师据学生情况点评。

教师预设：练习2 写出下列各圆的方程

（1）、圆心在原点，半径为r

（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）

学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。

（二）例题分析

教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程

例1 写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。

学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。

教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特殊到一般。

变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。

学生独立完成变式，师作简要点评。

教师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？

例2 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。

学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。

教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。

教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。

教师预设：一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。

变式1：
已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。

学生活动：作图直接写出切线的方程

教师预设：由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。

变式2 ：已知圆的方程是x2+y2= r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。

学生活动：写出切线方程。

教师归纳分类讨论的依据。

教师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？

变式3 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。

变式4 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。

学生活动：思考问题

师强调，待定系数时注意斜率存在。

课后思考题：解决本节引入提出的问题

三、小结：

1、掌握圆的标准方程

2、运用圆的标准方程解决一些简单问题

四、课堂练习

1、圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.

2、圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————

3、圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————

4、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是————————————————

《4.1.1圆的标准方程》教学设计

清镇市红枫中学

邵国荣

一、教学目标：
1.知识与技能

（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；

（2）会用待定系数法求圆的标准方程。

2.过程与方法

通过圆的标准方程解决实际问题的学习，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，注意培养学生观察问题、发现问题和解决数学问题的能力。

3.情感、态度与价值观

通过应用圆的知识解决实际问题的学习从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

二、教学重难点：

重点：掌握圆的标准方程的推导及求法。

难点：根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

三、教学方法：

启发式、讲练结合。

四、教学过程：

(一)创设情境，导入新课

在直角坐标系中，确定圆的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么？什么叫圆？

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个一元二次方程来表示，那么圆是否也可以用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

（二）师生互动，探究新知

确定圆的基本要素为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A（a,b），半径为r(其中a,b,r都是常数)，r>0.设M（x,y）为这个圆上一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）MMAr，由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

xayb22r

①

化简可得：xayb22r

2②

2引导学生自己证明xayb22r22为圆的方程，得出结论：

方程②就是圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫圆的标准方程。

当圆心在原点时，圆的标准方程为x

yr2。

（三）概念辨析，巩固提高

例1.写出圆心为A（2，-3），半径等于5的圆的方程，并判断点M是否在这个圆上。

分析探究：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点M(1)

15,7,M25,1x22,0y与圆xayb220r2的关系的判断方法: x0ay0br(2) xaybr00(3) xaybr0022

点在圆外

点在圆上

点在圆内

22222

例2.ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。

分析：从圆的标准方程

xayb22r2，可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数（学生自己运算解决）

例3.已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B（2，-2），且圆心在l: xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。

分析：确定一个圆只需要确定圆心位置与半径大小。圆心为C的圆经过点A（1，1），B（2，-2），由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

总结归纳：（教师归纳，学生自己比较、归纳），比较例

2、例3可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法: (1).根据题设条件，列出关于a,b,r的方程组，解方程组得到a,b,r的值，写出圆的标准方程; (2).根据确定圆的要求，以及题设条件，分别求出圆心坐标和圆的半径大小，然后写出圆的标准方程。

练习：课本P121第1，3，4题

(四)小结：1.圆的标准方程的结构特征。

2.点与圆的位置关系的判断方法。

3.求圆的标准方程的方法：（1）待定系数法；
（2）代入法。

（五）作业：P120,P121练习1,2,3,4

圆方程教学设计（共7篇）

《荷叶圆圆》的教学设计

圆柱与圆锥 教学设计

教学设计一般步骤（共10篇）

认识一元一次方程教学设计