全初三数学二次函数知识点归纳总结（15页）

..

二次函数知识点归纳及相关典型题

第一部分?基础知识

1.定义：一般地，如果?yax?2bxc(a,?b,?c?是常数，?a0)?，那么?y?叫做?x?的二次函数.

2.二次函数?yax?2?的性质

（1）抛物线?yax?2?的顶点是坐标原点，对称轴是?y?轴.

（2）函数?yax?2?的图像与?a?的符号关系.

①当?a0?时抛物线开口向上顶点为其最低点；

②当?a0?时抛物线开口向下顶点为其最高点.

2 .（3）顶点是坐标原点，对称轴是?y?轴的抛物线的解析式形式为?yax?（a

2 .

3.二次函数?yax?2bxc?的图像是对称轴平行于（包括重合）?y?轴的抛物线.

，k .4.二次函数?yax?2bxc?用配方法可化成：?ya?xh2k?的形式，其中

，k .

b4acb?2

2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①?yax?2?；②?yax?2k?；③?ya?xh2?；④?ya?xh2k?；

⑤?yax?2bxc?.

6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①?a?的符号决定抛物线的开口方向：当?a0?时，开口向上；当?a0?时，开口向下；

a?相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于?y?轴（或重合）的直线记作?xh?.特别地，?y?轴记作直线?x0?.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数?a?相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，

只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：?y

（1）公式法：?yax?2bxcax

， ），对称轴是直线?x .

?

b2

2a

4acb?2

4a



，∴顶点是（

b?4acb?2?b

2a4a2a

（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为?ya?xh2k?的形式，得到顶点为(?h?,?k?)，对称轴是直线

xh?.

.?下载可编辑?.

xb，故：①?b

xb

，故：①?b0?时，对称轴为?y?轴；② 0?（即?a?、b?同号）时，对称轴在?y?轴左侧；③? 0（即?a?、

（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线?yax?2bxc?中，?a,?b,?c?的作用

（1）?a?决定开口方向及开口大小，这与?yax?2?中的?a?完全一样.

（2）?b?和?a?共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线?yax?2bxc?的对称轴是直线

b b

2a a a

b?异号）时，对称轴在?y?轴右侧.

（3）?c?的大小决定抛物线?yax?2bxc?与?y?轴交点的位置.

当?x0?时，?yc?，∴抛物线?yax?2bxc?与?y?轴有且只有一个交点（0，?c?）：

①?c0?，抛物线经过原点;?②?c0?,与?y?轴交于正半轴；③?c0?,与?y?轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在?y?轴右侧，则

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式 开口方向

对称轴 顶点坐标

b

a



0?.

b 4acb

b 4acb?2

yax?2k

ya?xh2

ya?xh2k

yax?2bxc



当?a0?时

开口向上

当?a0?时

开口向下

x0?（?y?轴）

x0?（?y?轴）

xh

xh

x?b

2a

（0,0）

(0,?k?)

(?h?,0)

(?h?,?k?)

，()

，

2a4a

11.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：?yax?2bxc?.已知图像上三点或三对?x?、?y?的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：?ya?xh2k?.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与?x?轴的交点坐标?x?、?x?，通常选用交点式：?ya?xx

1 2 1

12.直线与抛物线的交点

.?下载可编辑?.

xx.

x

2

..

（1）?y?轴与抛物线?yax?2bxc?得交点为(0,?c?).

（2）与?y?轴平行的直线?xh?与抛物线?yax?2bxc?有且只有一个交点(?h?,?ah?2bhc?).

（3）抛物线与?x?轴的交点

二次函数?yax?2bxc?的图像与?x?轴的两个交点的横坐标?x?、x?，是对应一元二次方程?ax?2bxc0?的两

1 2

个实数根.抛物线与?x?轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点?0抛物线与?x?轴相交；

②有一个交点（顶点在?x?轴上）?0抛物线与?x?轴相切；

③没有交点?0抛物线与?x?轴相离.

（4）平行于?x?轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有?0?个交点、1?个交点、2?个交点.当有?2?个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k?，则横

坐标是?ax?2bxck?的两个实数根.

（?5?）?一?次?函?数?ykxn?k0的?图?像?l?与?二?次?函?数?yax?2bxc?a0的?图?像?G?的?交?点?，?由?方?程?组

ykxn

yax2bxc



的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l?与?G?有两个交点;?②方程组只有一组解时

a al?与?G?只有一个交点；③方程组无解时l?与?

a a

0? 0（6）抛物线与?x?轴两交点之间的距离：若抛物线?yax?2bxc?与?x?轴两交点为?A?x?，，B?x?，?，由于?x?、?

0? 0

1 2 1 2

方程?ax?2bxc0?的两个根，故

b c

xx? ,?xx

1 2 1 2

ABxx ?x

1 2 1



x



2

?2

x

1



x



2

?24x?x

1?2

b2?4c?b?24ac?

?

aaaa

第二部分?典型习题

１.抛物线?y＝x2＋2x－2?的顶点坐标是 （ D ）

A.（2，－2） B.（1，－2） C.（1，－3） D.（－1，－3）

２.已知二次函数?yax?2bxc?的图象如图所示，则下列结论正确的是（?C ）

Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0

.?下载可编辑?.

..

第２,３题图 第?4?题图

３.二次函数?y＝ax?2＋bx＋c?的图象如图所示，则下列结论正确的是（?Ｄ ）

A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0

４.如图，已知 中，BC=8，BC?上的高 ，D?为?BC?上一点， ，交?AB?于点?E，交?AC?于点?F（EF?不过?A、

B），设?E?到?BC?的距离为?，则 的面积?关于?的函数的图象大致为（ Ｄ ）

x?－x?＝? ，其中所有正确的结论是

x?－x?＝? ，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．

k

? EF82?x,yx24?x

8 4

５.抛物线?yx?22?x3?与?x?轴分别交于?A、B?两点，则?AB?的长为 4 ．

6.已知二次函数?y＝kx?2＋(2k－1)?x－1?与?x?轴交点的横坐标为?x?、?x?（?x?＜x?），则对于下列结论：①当?x＝－2?时，y

1 2 1 2

＝1；②当?x＞x?时，y＞0；③方程?kx?2＋(2k－1)?x1＝0?有两个不相等的实数根?x?、?x?；④?x?＜1?，?x?＞－1?；⑤

2 1 2 1 2

1＋4k?2

2 1

7.已知直线?y?2?xb?b0?与?x?轴交于点?A，与?y?轴交于点?B；一抛物线的解析式为?yx?2?b10?xc?.

（1）若该抛物线过点?B，且它的顶点?P?在直线?y?2?xb?上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点?B?作直线?BC⊥AB?交?x?轴交于点?C，若抛物线的对称轴恰好过?C?点，试确定直线?y?2?xb?的解析式.

解：（1）?yx?210?或?yx?24?x6

将（0，b)?代入，得?cb?.顶点坐标为?(

解得?b?10,?b?6?.

1 2

.?下载可编辑?.

b10b216b100b10b216b100

,?)?，由题意得2b?

24?2?4



，

..

（2）?y?2?x2

8.有一个运算装置，当输入值为x?时，其输出值为?y?，且?y?是?x?的二次函数，已知输入值为2?,0,1?时,?相应的输出值分

别为?5,3?,4?．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值?y?为正数时输入值?x?的取值范围.

解：（1）设所求二次函数的解析式为?yax?2bxc?,

?a(?2)?2b(?2)c5 ?c?3 ?a1

? ?

则a0?2b0c?3 ,即2ab4?,解得b?2

?a

?abc?4

?ab?1

?c?3

?

?

故所求的解析式为:?yx?22?x3?.

（2)函数图象如图所示.

由图象可得，当输出值?y?为正数时，

输入值?x?的取值范围是?x?1?或?x3?．

9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体

温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼

图．请根据图象回答：

⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼

从最低上升到最高需要多少时间?

⑵第三天?12?时这头骆驼的体温是多少?

夜的体温变化情况绘制成下

的体温是上升的它的体温

⑶兴趣小组又在研究中发现，图中?10?时到

22?时的曲线是抛物线，求该抛物线的解

析式．

解：⑴第一天中，从?4?时到?16?时这头骆驼的

体温是上升的

它的体温从最低上升到最高需要?12?小时

⑵第三天?12?时这头骆驼的体温是?39℃

第?9?题

⑶?y

1

16

?x?22?x24?10x22?

?

4

10.已知抛物线?yax?2(3a)?x4?与?x?轴交于?A、

3

B?两点，与?y?轴交于点?C．是否存在实数?a，使得

.?下载可编辑?.

..

由?ax?2(

由?ax?2(3a)?x40?，解得 x3?，?x

3

存在，请说明理由．

解：依题意，得点?C?的坐标为（0，4）．

设点?A、B?的坐标分别为（?x?，0），（?x?，0），

1 2

4

1 2



4

3a



．

∴ 点?A、B?的坐标分别为（-3，0），（

4

3a



，0）．

∴ AB|

4

3a



3?|?，?ACAO2OC25?，

BCBO2OC?2|

4

3a



|24?2?．

∴ AB?2|

2 24?16416

2 2

3?|22399?，

3a9a3a9aa

16

AC?225?，?BC?2 16?．

9a?2

〈ⅰ〉当?AB?2AC?2BC?2?时，∠ACB＝90°．

由?AB?2AC?2BC?2?，

得

16816

925(16)?．

9a?2?a9a?2

1

解得 a ．

4

1 16 625 400

∴ 当?a? 时，点?B?的坐标为（ ，0），?AB?2 ，?AC?225?，?BC?2 ．

4 3 9 9

于是?AB?2AC?2BC?2?．

∴ 当?a1

4



时，△ABC?为直角三角形．

〈ⅱ〉当?AC?2AB?2BC?2?时，∠ABC＝90°．

由?AC?2AB?2BC?2?，得?25(

168?16

9)(16)?．

a29a?9a

a2

解得 a

4

9



．

3?4

3?4

当?a 时， ? 3?，点?B（-3，0）与点?A?重合，不合题意．

9 3a

9

〈ⅲ〉当?BC?2AC?2AB?2?时，∠BAC＝90°．

由?BC?2AC?2AB?2?，得

.?下载可编辑?.

16168

1625(9)?．

9a?29a?2a

..

解得 a4

9



．不合题意．

又?

又?AB＝∣x1?—?x2∣＝?（x?+x?）24x?x5? ,

综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当?a? 时，△ABC?为直角三角形．

4

11.已知抛物线?y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若抛物线与?x?轴的两个交点?A、B?分别在原点的两侧，并且?AB＝ 5?，试求?m?的值；

（2）设?C?为抛物线与?y?轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点?M、N，并且?△MNC?的面积等于?27，试求?m?的值.

解:?(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0) . 则?x1?，x2?是方程?x2－mx＋m－2＝0?的两根.

∵x1?＋?x2?＝m?,?x1·x2?=m－2?＜0?即?m＜2?;

1 2 1?2

∴m2－4m＋3=0 .

解得：m=1?或?m=3(舍去) ,?∴m?的值为?1?.

（2）M(a，b)，则?N(－a，－b)?.

∵M、N?是抛物线上的两点,

y



C

a?2mam2b,L?①

∴

a?2mam2?b.L?②

M



O



x

N

①＋②得：－2a2－2m＋4＝0?.?∴a2＝－m＋2?.

∴当?m＜2?时，才存在满足条件中的两点?M、N.

∴?a2m?.

这时?M、N?到?y?轴的距离均为?2m?,

N又点?C?坐标为（0，2－m）,而?eq?\o\ac(△,S) M?C?=?27?,

N

∴2×?1?×（2－m）×?2m?=27 .

2

∴解得?m=－7?.

12.已知：抛物线?y＝ax?2＋4ax＋t?与?x?轴的一个交点为?A（－1，0）．

（1）求抛物线与?x?轴的另一个交点?B?的坐标；

（2）D?是抛物线与?y?轴的交点，C?是抛物线上的一点，且以?AB?为一

此抛物线的解析式；

（3）E?是第二象限内到?x?轴、y?轴的距离的比为?5∶2?的点，如果点

与点?A?在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存

若存在，求出点?P?的坐标；若不存在，请说明理由．

.?下载可编辑?.



底的梯形?ABCD?的面积为?9，求

E?在（2）中的抛物线上，且它

在点?P，使△APE?的周长最小?

..

解法一：

（1）依题意，抛物线的对称轴为?x＝－2．

∵ 抛物线与?x?轴的一个交点为?A（－1，0），

∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与?x?轴的另一个交点?B?的坐标为（－3，0）．

（2）∵ 抛物线?y＝ax?2＋4ax＋t?与?x?轴的一个交点为?A（－1，?0），

∴ a(－1)?2＋4a(－1)＋t＝0?．∴ t＝3a．∴

y＝ax?2＋4ax＋3a?．

∴ D（0，3a）．∴ 梯形?ABCD?中，AB∥CD，且点?C?在抛物线?y＝ax?2＋4ax＋3a?上，

∵ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

(?ABCD)

(?ABCD)OD＝9?．∴ (2＋4)?3a＝9?．

11

2?2

∴ a±1．

∴ 所求抛物线的解析式为?y＝x?2＋4?x＋3?或?y＝x?24ax3?．

（3）设点?E?坐标为（?x?，?y?）.依题意，?x?＜0?，?y?＜0?，

0 0 0 0

＝ ．∴

＝ ．∴ y?＝－x．

2 2 0

y

0

x

0

5?5



0

5 x?＝，y0＝－x0?, 2?

5

x?＝，

y0＝－x0?, 2

y0＝15；y＝?5?．

y?＝x?2＋4?x?＋3

∵ 点?E?与点?A?在对称轴?x＝－2?的同侧，∴ 点?E?坐标为（?1

∴?y?＝x?2＋4?x?＋3?．

0 0 0

? 1

x?＝6，

得0解方程组

得0

0 0 0 ? 0 4

?

5

， ）．

2 4

设在抛物线的对称轴?x＝－2?上存在一点?P，使△APE?的周长最小．

∵ AE?长为定值，∴ 要使△APE?的周长最小，只须?PA＋PE?最小．

∴ 点?A?关于对称轴?x＝－2?的对称点是?B（－3，0），

∴ 由几何知识可知，P?是直线?BE?与对称轴?x＝－2?的交点．

设过点?E、B?的直线的解析式为?y＝mx＋n?，

.?下载可编辑?.

..

5 m＝,

5 m＝,

?1

?n＝?3?.

－3m＋n＝0.

? m＋n＝,

? 2

∴ 2 4 解得

2

?

x＋ ．∴ 把?x＝－2?代入上式，得?

x＋ ．∴ 把?x＝－2?代入上式，得?y＝ ．

131

222

∴ 点?P?坐标为（－2，

1

2



）．

②设点?E?在抛物线?y＝x?24?x3?上，∴ y?＝x?24?x3?．

0 0 0

y?＝－ x?

y?＝－ x?,

2 0

y?＝x?24?x?3.

消去?y，得?x?02 x?＋3＝0?．

2 0

解方程组 0

? 0 0 0

5



0



3

∴ △＜0?. ∴ 此方程无实数根．

综上，在抛物线的对称轴上存在点?P（－2，



1

2



），使△APE?的周长最小．

解法二：

（1）∵ 抛物线?y＝ax?2＋4ax＋t?与?x?轴的一个交点为?A（－1，0），

∴ a(－1)?2＋4a(－1)＋t＝0?．∴ t＝3a．∴

y＝ax?2＋4ax＋3a?．

令 y＝0，即?ax?2＋4ax＋3a＝0?．解得 x?＝－1?，?x?＝－3?．

1 2

∴ 抛物线与?x?轴的另一个交点?B?的坐标为（－3，0）．

（2）由?y＝ax?2＋4ax＋3a?，得?D（0，3a）．

∵ 梯形?ABCD?中，AB∥CD，且点?C?在抛物线

y＝ax?2＋4ax＋3a?上，

∴ C（－4，3a）．∴ AB＝2，CD＝4．

∵ 梯形?ABCD?的面积为?9，∴

1

2



(?AB＋CD)OD＝9?．解得?OD＝3．

∴ 3a＝3?．∴ a±1．

∴ 所求抛物线的解析式为?y＝x?2＋4?x＋3?或?y＝－x?2－4?x－3?．

（3）同解法一得，P?是直线?BE?与对称轴?x＝－2?的交点．

.?下载可编辑?.

..

∴ 如图，过点?E?作?EQ⊥x?轴于点?Q．设对称轴与?x?轴的交 点为?F．

＝ ．∴

＝ ．∴ ＝ ．∴? PF＝ ．

BFPF?1PF?1



5 5BQEQ

5 5

24

1

∴ 点?P?坐标为（－2， ）．

2

以下同解法一．

13.已知二次函数的图象如图所示．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点?M?的坐标．

（2）若点?N?为线段?BM?上的一点，过点?N?作?x?轴的垂线，垂足为点?Q．当点?N?在线段?BM?上运动时（点?N?不与点?B，点?M

重合），设?NQ?的长为?l，四边形?NQAC?的面积为?S，求?S?与?t?之间的函数关系式及自变量?t?的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点?P，使△PAC?为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点?P?的坐标；若不

存在，请说明理由；

（4）将△OAC?补成矩形，使△OAC?的两个顶点成为矩形一边的两个顶

形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过

解：（1）设抛物线的解析式?ya(?x1)(?x2)?，

∴ 2a1(?2)?．∴ a1?．∴ yx?2x2?．

点，第三个顶点落在矩

程）．

其顶点?M?

其顶点?M?的坐标是，?

2

9

．

4

∴ ?9 1? ．解得?k ，?b?

∴ ?9 1? ．解得?k ，?b?3?．

?42?kb.

?02kb，

? 3

2

∴ 线段?BM?所在的直线的解析式为?y

3

2



x3?．

3

3 1 1 1? 2? 32

32

∴ h t3?，其中 t2?．∴ s ?12 (2 t3)t t t1?．

2 2 2 2 3 4 2

1 1

∴ s?与?t?间的函数关系式是?S t t1?，自变量?t?的取值范围是 t2?．

4 2 2

（3）存在符合条件的点?P，且坐标是?P1，

（3）存在符合条件的点?P，且坐标是?P1，，?P2?，?

2?4 2

5

．

4

设点?P?的坐标为?P?(m，n)?，则?nm2m2?．

PA?2(m1)?2n?2?，?PC?2m?2(n2)?2，AC?25?．

.?下载可编辑?.

解得：?m5 57，?m

解得：?m5 57

，?m2?1?（舍去）． ∴? 点?P1?，．

2 24

解得：m ，m?0?（舍去）．∴ 点?P，－．

2 2 4

分以下几种情况讨论：

i）若∠PAC＝90°，则?PC?2PA2AC?2?．

nm?2m2，

∴ ?

m?2(n2)?2(m1)?2n?25.

1

ii）若∠PCA＝90°，则?PA2PC?2AC?2?．

nm?2m2，

∴ ?

(m1)2n?2m?2(n2)25.

3 3 5

3 4 2

iii）由图象观察得，当点?P?在对称轴右侧时，?PAAC?，所以边?AC?的对角∠APC?不可能是直角．

（4）以点?O，点?A（或点?O，点?C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边?OC）的对边上，如图?a，此

时未知顶点坐标是点?D（－1，－2），

? 2以点?A，点?C?为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC?的对边上，如图?b，此时未知顶点坐标是?E1?，

? 2

5?5

F

F，?

5

8

．

5

图a 图b

14.已知二次函数?y＝ax?2－2?的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与?x?轴的交点的个

数．

解：根据题意，得?a－2＝－1.

∴ a＝1．?∴ 这个二次函数解析式是?y＝x?22?．

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..

因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与?x?轴有两个交点．

15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面?1∶11000?的比例图上，跨度?AB＝5?cm，拱高?OC＝0.9?cm，

线段?DE?表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线?AB?为?x?轴，抛物线的对称轴为?y?轴，以?1?cm

作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果?DE?与?AB?的距离?OM＝0.45?cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：?21.4?，计算结果精确到?1?米）．

解：（1）由于顶点?C?在?y?轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为

y＝ax?2＋?9

10



．

因为点?A（? ，0）（或?B（

因为点?A（? ，0）（或?B（ ，0））在抛物线上，?所以?0＝a(?)2＋ ，得?a＝－ ．

因此所求函数解析式为?y＝－ x?2＋ ( x )?．

（2）因为点?D、E?的纵坐标为 ，所以 － x?2＋ ，得x＝ 2?．

2 2 2 10 125

18 9 5 5

125 10 2 2

9 9 18 9 5

20 20 125 10 4

所以点?D?的坐标为（－

59?5?9

），点?E?的坐标为（2?，

），点?E?的坐标为（

4420?20

4



）．

2－(?

2－(? 2)＝ ．

555?2

442

因此卢浦大桥拱内实际桥长为

5?2

2



?110000.01＝275?2385?（米）．

16.已知在平面直角坐标系内，?O?为坐标原点，A、B?是?x?轴正半轴上的两点，点?A?在点?B?的左侧，如图．二次函数

y＝ax?2＋bx＋c?（a≠0）的图象经过点?A、B，与?y?轴相交于点?C．

（1）a、c?的符号之间有何关系?

（2）如果线段?OC?的长度是线段?OA、OB?长度的比例中项，试证

a、c?互为倒数；

（3）在（2）的条件下，如果?b＝－4，?AB＝4?3?，求?a、c?的值．

解:

（1）a、c?同号．?或当?a＞0?时，c＞0；当?a＜0?时，c＜0．

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..

（2）证明：设点?A?的坐标为（?x?，0），点?B?的坐标为（?x?，0），则?0＜x?＜x?．

1 2 1 2

∴ OAx?，?OBx?，?OCc?．

1 2

由题意，得?OAOB＝OC?2?，即＝c?2＝c?2?．（3）当b?4?时，由（2）知，?x?＋x?＝－＝＞0?

由题意，得?OAOB＝OC?2?，即＝c?2＝c?2?．

（3）当b?4?时，由（2）知，?x?＋x?＝－＝＞0?，∴ a＞0．

a a

∴ AB()2－4()

＝43?．得?a ．∴ c＝2.

＝ ＝ ，

∴ x?＝23

，?x?＝ ．

a? a

－ ＝? ．

1 2 1 2

c

a

所以当线段?OC?长是线段?OA、OB?长的比例中项时，a、c?互为倒数．

b 4

1 2

解法一：AB＝OB－OA＝?x?－x?＝?(?x?＋x?)24?x?x?，

2 1 1 2 1?2

4 c 164ac 2?3

? ．

a a a?2 a

2?3 1

∵ AB4?3?，?∴

a 2

4164ac 4164 23

解法二：由求根公式，?x＝

2a 2a a

23

1 2

23 2－?3 2?3

∴ AB＝OB－OA＝x?－x?＝

a a a

2 1

c

a



．

＝43?，得?a＝∵ AB＝4?3?，∴ 2

＝43?，得?a＝

a 2

17.如图，直线?y? 3?x3?分别与?x?轴、y?轴交于点?A、B，⊙E?经过原点?O?及?A、B?两点．

3

（1）C?是⊙E?上一点，连结?BC?交?OA?于点?D，若∠COD＝∠CBO，求点?A、B、C?的坐标；

（2）求经过?O、C、A?三点的抛物线的解析式：

（3）若延长?BC?到?P，使?DP＝2，连结?AP，试判断直线?PA?与⊙E?的位置关系，并说明理由．

解：（1）连结?EC?交?x?轴于点?N（如图）．

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∵?A、B?是直线?y? 3

3

..

x3?分别与?x?轴、y?轴的交点．∴?A（3，0），B?(0,?3)?．

又∠COD＝∠CBO． ∴?∠CBO＝∠ABC．∴?C?是

的中点．?∴?EC⊥OA．

∴ON

∴ON?1

OA ,?EN ?

2 2 2 2



．

∵C（ ,? ）． ∴ a ( 3)?．∴a 3?．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴

∵C（ ,? ）． ∴ a ( 3)?．∴a 3?．

由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBD ?ABO 60?30．

．∴C?点的坐标为（ ,?

2 2 2

（2）设经过?O、C、A?三点的抛物线的解析式为?yax?x3?．

3 3 3 3?3 2

2 2 2 2?2 9

?∴?y2?3?x?2 2?3?x?为所求．

?

9 8

（3）∵?tanBAO 3?， ∴?∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

3

1 1

2 2

∴?OD＝OB·tan30°－1．∴?DA＝2．

∵?∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．

∴?△ADP?是等边三角形．∴?∠DAP＝60°．

∴?∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即 PA⊥AB．

即直线?PA?是⊙E?的切线．

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