均值不等式证明

1、设a,bR，求证：ab(ab)abab2abba

2、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：a(b2c2)b(c2a2)c(a2b2)＞6abc

3、(abc)(1119) abbcca

24、设a,bR，且ab1，求证：(a)(b)

5、若ab1，求证：asinxbcosx

16、已知ab1，求证：ab

7、a,b,c,dR求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac

111

18、求证2222＜2 123n

1111＜1

9、求证：2n1n22n

10、求下列函数的最值

（1） 已知x＞0，求y2x

（2） 已知x＞2，求yx4的最大值（-2） x1的最小值（4） x

2111（3） 已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（） 2216

11、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（）

（22333）

12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4）

1

3、求函数y

14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（ ）（0

，

15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜-

22221）

416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1）

17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4）

218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜

19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a

20、判断函数f(x)x-

21、已知方程x22343） 41） 411的零点的个数（一个） x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,） 2162

22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)）

23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,)

24、若关于的方程lg(x

x2x220x)lg(8x6a3)0有唯一实根，求a的取值范围

均值不等式证明

一、

已知x,y为正实数，且x+y=1求证

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2当且仅当xy=1/xy时取等

也就是xy=1时

画出xy+1/xy图像得

01时，单调增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得证

继续追问：

拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证

补充回答：

我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的

法二：

证xy+1/xy≥17/4

即证4(xy)²-17xy+4≥0

即证(4xy-1)(xy-4)≥0

即证xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1显然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得证

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x²y²-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!

二、

已知a>b>c，求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即为均值不等式。

概念：

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a

1、a

2、…、an∈R+，当且仅当a1=a2=…=an时劝=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=^(1/r)(当r不等于0时);

(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

则有：当r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，数学归纳法(第一或反向归纳)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么当n=k+1时，不妨设a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，则

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

设s=a1+a2+…+ak，

{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用归纳假设

下面介绍个好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，

则有：f≥1/n*

设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圆中用射影定理证明(半径不小于半弦)。

用均值不等式证明不等式

【摘要】：不等式的证明在竞赛数学中占有重要地位．本文介绍了用均值不等式证明几个不等式，我们在证明不等式时，常用到均值不等式。要求我们要认真分析题目，本文通过几个国内外竞赛数学的试题，介绍用均值不等式证明初等不等式的基本方法及技巧。

【关键词】：均值不等式；
不等式；
方法；
技巧

均值不等式

设 a

1、a

2、、an 是 n 个 正数 ，则不等式H(a)G(a)A(a)Q(a)称为均值不等式[1]．其中

H(a)

n

1a

11a

2

1an

，

G(a)

a1a2a1aan，

A(n)

a1a2an

n

22

，

2

Q(n)

a1a2an

n

、an 的调和不等式，几何平均值，算术平均值，均方根平均分别称为 a

1、a

2、

值．

例1设a

1、a

2、…、an均为正，记

(n)n(

a1a2an

n



a1a2an)

试证：(n)(n1)，并求等号成立的条件．

证明由所设条件，得

(n)(n1)

=n(

a1a2an

n



n

a1a2an)(n1)(

a1a2an

1n1



n1

a1a2an1)

=a1a2annna1a2an(a1a2an1)(n1)n1a1a2an1

=an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n，

n1

(a1a2an1)n1，有 将G(a)A(a)应用于n个正数：an， （a1a2an1）



n1个

an(n1)(a1a2an1)n1

n

(a1a2an)n，

即

an(n1)(a1a2an1)n1n(a1a2an)n．

所以(n)(n1)，当且仅当an(a1a2an1)立．

n1

，即ann1a1a2an时等号成1

此题不只是公式的直接应用．代表了均值不等式中需要挖掘信

、an 的一类题． 息找a

1、a

2、

例2设xyz0，求证：6(x3y3z3)2(x2y2z2)3． 证明当xyz0时不等式显然成立．

除此情况外，x、y、z中至少有一正一负．不妨设xy0，因为

z(xy)，

所以

I6(xyz)6[xy(xy)]6[3xy(xy)]54xyz

．

若由此直接用G(a)A(a)(n3)，只能得到较粗糙的不等式

I54xyz54(

xyz

22

2)2(xyz)，

3222

3如果改用下面的方法，用G(a)A(a)，便得

I54xyz

222

216

xy2



xy2

z

xyxy2z

(2z22xy)3， 2163

再注意到x2y2(xy)22xyz22xy，因而2z22xyx2y2z2，于是即得欲证的不等式．

此题解题的关键在于构造a

1、a

2、、an通常需要拓宽思路多次尝试，此类也属均值不等式的常考类题． 例3设x0，证明：2

12

x

2

x

22

6

x

．(第16届全苏数学竞赛试题[2])

证明此不等式的外形有点像均值不等式． 由G(a)A(a)，得

x2

x

12

x

2

x

22

12

x

2

x

22

，

又

12

x2

x

1111

(x12x4)2x6，

即得要证的不等式．

结语

有些不等式则可以利用某个已经证明成立的不等式来证明(因此多熟悉几个比较常见的不等式是有好处的)；
有些不等式还要用数学归纳法来证明等等．而且在一个题目的证明过程中，也往往不止应用一种方法，而需要灵活运用各种方法．因此，要培养和提高自己的证题能力。

参考文献

[1]陈传理等编．数学竞赛教程 [M]．北京：高等教育出版设，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等编．高中数学竞赛辅导讲座[M]．上海：上海科学技术出版社，

1987．38-49

均值不等式

百科名片

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn 的式子即为均值不等式。

目录 均值不等式的简介

均值不等式的变形 均值不等式的证明

均值不等式的应用

其他不等式

重要不等式2.排序不等式

重要不等式5.均值不等式 重要不等式1.柯西不等式

柯西不等式的一般证法有以下几种：

（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：

记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.

用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^22.排序不等式 排序不等式是高中数学竞赛大纲要求的基本不等式。

设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n

的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 时成立。以上排序不等式也可简记为：
反序和≤乱序和≤同序和.证明时可采用逐步调整法。

例如，证明：其余不变时，将a 1 b 1 + a 2 b 2 调整为a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值变小，只需作差证明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，这由题知成立。

依次类推，根据逐步调整法，排序不等式得证。

重要不等式4.琴生不等式

设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。

加权形式为：

f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),

其中ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.

重要不等式6.完全的均值不等式 √[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）

证明：（证明过程引自他出）

设a，b是两个正数，M2=√[(a^2+b^2)/2]，A=(a+b)/2，G=√(ab)，H=2/(1/a+1/b)分别表示a，b两元的二次幂平均，算术平均，几何平均和调和平均。

证明: M2≥A≥G≥H。

证明 在梯形ABCD中，AB∥CD，记AB=b，CD=a。

EiFi(i=1,2,3,4)是平行于梯形ABCD的底边且被梯形两腰所截的线段。

如果E1F1分梯形为等积的两部分，那么E1F1=√[(a^2+b^2)/2]。如果E2F2为梯形的中位线，那么E2F2=(a+b)/2。

如果E3F3分梯形为两相似图形，那么E3F3=√(ab)。

如果E4F4通过梯形两对角线交点的线段，那么E4F4=2/(1/a+1/b)。从图中直观地证明E1F1≥E2F2≥E3F3≥E4F4，当a=b时取等号。

重要不等式几何平均（0次幂），二次平均（2次幂）

概念

1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)

3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n

4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a

1、a

2、…、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时); (a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)） 则有：当r

变形

(1)对正实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab

(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0

(3)对负实数a,b，有a+b

(4)对实数a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)

(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0

(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab

(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2

(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2

2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）

均值不等式归纳总结

1.(1)若a,bR，则ab2ab 22a2b2(2)若a,bR，则ab

2*（当且仅当ab时取“=”） 2.(1)若a,bR*，则ab2(2)若a,bR ，则ab2ab （当且仅当ab

时取“=”）

ab(3)若a,bR，则ab2*2(当且仅当ab时取“=”）

3.若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”）

1x

1若x0，则x2 (当且仅当x1时取“=”） x

若x0，则x1

x

ba2即x11） 2或x-2(当且仅当ab时取“=”xx4.若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）

若ab0，则ab2即ab2或ab-2(当且仅当ab时取“=”） bababa

5.若a,bR，则(ab)2a

22b22（当且仅当ab时取“=”）

ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

2（2）y＝x＋x

解题技巧

技巧一：凑项

例已知x，求函数y4x2技巧二：凑系数 例1.当

时，求yx(82x)的最大值。

32

541的最大值。

4x5

变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

技巧三：
分离

x27x10

(x1)的值域。

例2.求y

x

1练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.11x23x1

,x(0,),x3(3)y2sinx,(x0) （2）y2x（1）y

sinxx3x

2．已知0x

1，求函数y值.；

3．0x

，求函数y值.

1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是

变式：若log4xlog4y2，求

技巧四：整体代换

多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

2：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。

错．解．

：

x0,y0，且

19

1xy

1x1

的最小值.并求x,y的值 y

1x9y

，

19xy

xy1

2xy

故

xymin12 。

错因：解法中两次连用均值

不等式，在xyx

y，在

19xy即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因

x9y

此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：

19y9x19

x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy

当且仅当

y

x199x

时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时， xymin16 。

xyy

x

y



变式：
（1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

技巧五

已知x，y为正实数，且x 2＋

y 2

＝1，求1＋y 2 的最大值.

24

技巧六：

已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

点评：如何由已知不等式aba2b30出发求得ab的范围，关键是寻找（a,bR）到ab与ab之间的关系，由此想到不等式

ab

ab（a,bR），这样将已知条件2

ab

的最小值.

转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

应三：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca 1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc



例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1118 abc

分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连

乘，又111abca

a

a

变形入手。

11abc1abc1。

解：a、b、cR，。

同理11

11

a

a

a

bc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

1111abc。当且仅当时取等号。

11183abc

均值不等式

定义

Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

其中：

1、调和平均数：

2、几何平均数：

3、算术平均数：

4、平方平均数（均方根）：

一般形式

设函数（当r不等于0时）；

（当r=0时）特例可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形。

特例

可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）：
当n=2时，上式即：
当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，中学常用，即。

记忆

调几算方，即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数。

均值不等式的

变形

(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab (2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0 (3)对负实数a,b，有a+b=(abc)^(1/3) 证明

均值不等式的证明方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于：((a1＋a2＋„＋an)／n)^n≥a1a2„an。

当n＝2时易证；

假设当n＝k时命题成立，即

((a1＋a2＋„＋ak)／k)^k≥a1a2„ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2，„，a(k＋1)中最大者，则 ka(k＋1)≥a1＋a2＋„＋ak。

设s＝a1＋a2＋„＋ak，

{[a1＋a2＋„＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1) ＝{s/k＋[ka(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1) ≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[ka(k＋1)－s]／k(k＋1)用引理 ＝(s／k)^k*a(k＋1) ≥a1a2„a(k＋1)。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法

琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点， 则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)] 设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数

所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)] 即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n) 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）

均值不等式的应用

例一证明不等式：2√x≥3-1/x(x>0) 证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3 所以，2√x≥3-1/x 例二长方形的面积为p，求周长的最小值 解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p 因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p 周长最小值为4√p 例三长方形的周长为p，求面积的最大值 解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p 因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16 面积最大值是p^2/16

课标分析

（1）课程标准要求：

课程标准对均值不等式要求探索并了解基本不等式的证明过程；
会用 基本不等式解决简单的最大（小）问题。

（2）课程标准解读

这个要求可以分为两个层次：一是探索并了解基本不等式的证明过 程；
二是会用基本不等式解决简单的最大（小）问题。从第一个层次来 看，要达到“探索并了解”，需要三个步骤：首先要给学生创造相关的问 题情景，启发学生的思维，获取感性认识。其次通过问题探究让学生步 步深入，剖析特点；
最后利用不等式的性质将得出的结论，进行完整的 证明，并明确使用均值不等式的三个条件。第二个层次是应用层面，因 此要通过适当的例题、习题和变式训练，引导学生明白对式子如何变形 才可满足运用均值不等式的条件。

教材分析

本节是高中人教B版《数学》必修5第三章不等式第二节的内

容。本节内容的教学需要两个课时，这是第一课时。高中数学不等式是初中不等式知识的完善和提升，更是高等数学的基础，起着承前启后的作用．高中不等式与其他知识联系紧密，具有工具性功能．高中数学课程标准加强了不等式知识与实际生活的联系，力求体现数学来源于现实的真谛，教学中也更为突出不等式在解决实际问题中的工具作用．均值不等式的 两个作用非常重要：第一是证明不等式。第二个作用是求最值。用来求最值时三个条件缺一不可，这是学生掌握的重点也是用均值不等式解决实际问题的易错点。

教学重点：

理解均值定理并运用其解题。

教学难点：

均值不等式成立的三个条件，也是学生用均值不等式解 决实际问题的易错点。

难点突破方法：

①多观察、勤类比、善归纳、重建构

② 题组引路、逐层深化、归纳总结、明确要点 学情分析

从知识方面看：通过对必修五模块第一节不等关系与不等式的学习， 以及学生在初中对一些不等式知识有一定的掌握，相关技能和能力有了一 定的提高，均值不等式的推出及证明过程学生可顺利得出，但均值不等式 的运用，以及公式的变形运是对学生的一个新的要求。因此，还需要学生 有一个逐步熟悉的过程。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习对学习有着较浓的学习兴趣。从能力上看，预测学生思维活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面，不够严谨，而且缺少系统的分析问题和解决问题的能力。从学生的思维特点看，不等式的成立，容易联系不等式的相关性质。不利因素是：本节课的重点讲均值不等式求最值，对等号是否成立， 学生往往容易忽视，尤其是在后面使用过程中更容易出错。所以我特意设置一个辨一辩的环节，借此引起学生的重视。从学生的不同层次来看 学优生在公式推导和运用方面掌握的较好。因此组织了三次小组讨论， 并且在当堂小测环节设置了A组和让不同层次的孩子都有所收获。

效果分析

（1）从目标达成上看：

学生在课堂上学习气氛热烈，兴趣浓厚，回答老师提问积极主动且正确率高，板演、上台展讲等环节，表现的也都很优秀，教师在课堂巡视时，发现除学案例题2的变式练习外，其它课堂练习完成情况很好。学案例题 2的变式练习，学生根据老师的提示，重新作答，也很好的完成。根据上面检测，前2个目标至少40人达成，第3个目标38人达成，很好的完成了预设目标。（班级43人） （2）从重、难点突破上看：

均值不等式能运用好的关键是认准均值

不等式成立的条件，以及什么样结构的式子适合用均值不等式求最值。

对于学生来说，能一眼看到定值的还可以应付，稍微复杂或定值不太明 显的题目，学生还是缺少一定的认识。这方面的练习要强化一些。

因此

我在教学中着力在这儿做文章，舍得花时间营造知识形成过程的氛围， 通过问题串引导学生，突破学生学习的障碍点．同时，形成繁难的情境 激起了学生的求知欲，引导学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的 教学埋下伏笔。通过我的合理有效的问题串的引导，学生通过小组合作 探讨，比较顺利得辨别出均值不等式的使用环境，轻松突破本节课的重、难点。

（3）从课堂观察量表上看：

观课中老师使用了课程观察量（附件1）共有10名数学教师进行观课，有1名教师给打了99分， 6名教师给打了98分，3名教师给打了97分，平均得分为

97.8分，平均得分比较高，说明总体效果较好。从课程观察量表各项得分上看，教师的课堂设计和课堂处理都达到了很好的评价，学生的参与度非常高、学生间的合作与小组间的合作很强、学生的思维状态很活跃，学习的效果较好。

（4）从课堂检测批改情况来看：课堂小测批改情况是：全班共43人，全 对的有38个同学，有4个同学错在B组练习。从这个结果可以看出，本节课学生基本掌握了所学内容，完成了学习任务。从上面的分析知，本节课所授内容基本与预设效果一致，评略得当，重点突出，难点突破。在问题的引入、讲解及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好，能够 引导学生积极主动地探索，使学生学习兴趣浓厚，自主高效地完成课堂学习。根据课堂检测和课后反馈练习的批改情况，可以看出学生对公式的运用非常好，完整地实现了教学目标。

课后反思

本节课我对《均值不等式》的教学是采用引导提问式的教学方式进 行的，不是对学生进行知识的硬性灌输，而是通过问题的引入，问题的 探究进行循序渐进式的引导式教学，让学生在研究问题的过程中体会知 识的形成过程，在解决问题的过程中掌握知识的内容与实际应用，真正 实现了以学生为主体的课堂教学。在教学设计上，也力求调动一切积极 因素，尽最大的可能激发学生的学习兴趣。在教师的引导启发下，能使 学生的思维真正的围绕“探究”步步深入，层层递进，能在最大限度上挖 掘学生的学习潜能，也能更充分的体现学生学习的学习主体性。

我认为本节课能达到以下教学效果：

1、科学设置学习目标，教学目标是教学活动的出发点，也是教学 活动的归宿，在教学活动中处于核心地位。教学目标是课堂教学的指挥 棒，是所有教学行为的指路明灯，具有导向作用。本节课，我确定了三 个学习目标。学习目标的细化，使学生明确本节课要做什么，怎样做， 做到什么程度，而且我把三个目标简化在黑板上，适时回扣目标，本节 课的三个学习目标全部达成。

2、生活情境激发学生学习的兴趣，用赵爽弦图

引入课题，通过均值不等式的探究过程增强了学生的自信心，更能帮助学生感受研究方法 的思想渗透；

3、通过具体实例的研究探讨，让学生通过动手操作，合作交流，使学生能自己主动的发现，理解并掌握均值不等式。

4、精心设置问题串，教学中，我设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习方法。通过问题引领学生进行思考和剖析，培养学生分析问题,解决问题的能力,使学生充分体会自主探索获得知识的成就感。在教学过程中贯彻新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生品味知识的形成过程。

5、均值不等式的的应用，尤其是例题和练习的具体感知更培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能力以及运用属性结合思想解决实际问题的能力；
让学生自主探究，主动回答问题，班级 学习气氛浓厚，，但有的孩子由于种种原因没有参与进来，有的孩子一节课表现了多次，没有把 机会让给其他孩子。后续

改进：

1、加强培养尖子生的带头作用，继续发展15人左右的答疑团队，让他们无论在课堂还 是课下，都发挥自己的数学优势，带领组上其他学生的进步。

2、加强基本功训练，提高语言的精炼与艺术性。

不等式证明（共8篇）

证明等式（共16篇）

价值证明

医院等级证明

同等学力证明