由一道中考题说起
时间：2023-11-05 16:40:04 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
文／吴凡
圆是初中数学几何学习中的重要图形之一，也是中考的考查热点。本文由一道中考真题说起，深入剖析和总结归纳，以帮助同学们加深对圆的理解和掌握。
例题（2022·江苏南京）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，BD=CE。过A、D、E三点作⊙O，连接AO并延长，交BC于点F。
图1
（1）求证：AF⊥BC；
（2）若AB=10，BC=12，BD=2，求⊙O的半径长。
本题考查三角形和圆的相关知识，涉及全等三角形的性质及其判定、勾股定理、垂直平分线的定义、等腰三角形“三线合一”、轴对称图形等知识。解题的关键是要弄清已知条件是哪些，隐含条件有哪些，我们可以运用哪些定义或定理来进行证明和求解。我们先来剖析题目中的条件（如图2）。
图2
第（1）问是证明两条线的垂直关系，
∵AB=AC，∴∠B=∠C。
证法一（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。
图3
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴AD=AE。
在△AOD和△AOE中，
∵AD=AE，AO=AO，OD=OE，
∴△AOD≌△AOE（SSS）。
∴∠DAO=∠EAO。
在△AFD和△AFE中，
∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，AF=AF，
∴△AFD≌△AFE（SAS）。
∴∠DFA=∠EFA。
又∵∠DFA+∠EFA=180°，
∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。
证法二（三次全等）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。
由证法一可证△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠DAO=∠EAO。
∴∠FOD=∠FOE。
在△OFD和△OFE中，
∵OD=OE，∠FOD=∠FOE，OF=OF，
∴△OFD≌△OFE（SAS）。∴∠DFA=∠EFA。
又∵∠DFA+∠EFA=180°，
∴∠DFA=∠EFA=90°。∴AF⊥BC。
证法三（两次全等+等腰三角形“三线合一”）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。
由证法一可证△ABD≌△ACE，△AOD≌△AOE，∴AD=AE，∠AOD=∠AOE。
∴△ADE是等腰三角形。
又∵∠DAO=∠EAO，
∴AF⊥DE，即AF⊥BC。
证法四（一次全等+垂直平分线的定义）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。
由证法一可证△ABD≌△ACE，∴AD=AE。
又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。
∴AF⊥BC。
证法五（一次全等+垂直平分线的定义）：如图3，连接AD、AE、DO、EO。
∵BD=CE，∴BD+DE=CE+DE，即BE=CD。
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠B=∠C，BE=CD，
∴△ABE≌△ACD（SAS）。∴AD=AE。
又∵OD=OE，∴AO垂直平分DE。
∴AF⊥BC。
证法六（两次全等+等腰三角形三线合一）：如图4，延长AF交⊙O于点M，连接AD、AE、MD、ME。
图4
由证法一可证△ABD≌△ACE，∴AD=AE。
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ADM=∠AEM=90°。
在Rt△ADM和Rt△AEM中，
∵AD=AE，AM=AM，
∴Rt△ADM≌Rt△AEM（HL）。
∴∠DAM=∠EAM。
∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形。
又∵∠DAF=∠EAF，
∴AF⊥DE，即AF⊥BC。
证法七（一次全等+圆的相关知识+等腰三角形“三线合一”）：如图4，延长AF交⊙O于M点，连接AD、AE、MD、ME。
由证法一可证△ABD≌△ACE，
∴AD=AE。
∴△ADE是等腰三角形
∵AM是⊙O的直径，
∴∠DAM=∠EAM。
∵AD=AE，∠DAF=∠EAF，
∴AF⊥DE，即AF⊥BC。
第（2）问是运用勾股定理或者相似来建立方程求圆的半径，请看解法：
解法一（勾股定理）：如图3，在△ABC中，
∵AB=10，BC=12，∴BF=6。
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，
设⊙O的半径为r，则在Rt△DOF中，
DF=BF-BD=6-2=4，OF=AF-AO=8-r。
∴DF2+OF2=DO2，
即42+（8-r）2=r2，解得r=5。
解法二（勾股定理）：如图4，延长AF交⊙O于M点，连接AD、DM。
由解法一可得AF=8。
在Rt△ADF中，∠AFD=90°，
设⊙O的半径为r，
∵AM是⊙O的直径，∴∠ADM=90°，
∴AM2-AD2=FD2+MF2，
即（2r）2-（4 5）2=42+（2r-8）2，解得r=5。
此类问题在圆的证明、计算求解中属于常见问题，同学们需要先看懂图形，会识图，找出其中的基本图形，结合题目中的已知条件，进行知识串联，挖掘出隐藏条件，再分析所要证明的结论或所要求解的线段长度，思考证明该结论或要求解的未知量需要哪些角度，最后借助相关定理、定义、判定、性质等知识解决问题。
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