初中数学一元二次方程知识点总结与练习（13页）
时间：2020-10-25 07:27:12 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
知识点总结：一元二次方程
知识框架
数学问题实莓问題升平寿补式法數学问題的琳实际问题的答秦￡ix^4-i? + ^=0<a^0>
数学问题
实莓问題
升平寿
补式法
數学问題的琳
实际问题的答秦
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知识点、概念总结
一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做
一元二次方程。
一元二次方程有四个特点：
含有一个未知数；
且未知数次数最高次数是 2；
是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如
果能整理为 ax 2+bx+c=0(a丰0)的形式，则这个方程就为一元二次方程；
⑷ 将方程化为一般形式： ax2+bx+c=0时，应满足(a丰0);
一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一个关于 x的一元二次方程，经过整理， ？都能化成如下形式 ax2+bx+c=0
(0)。一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0 (a* 0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，
b是一次项系数；c是常数项。
一元二次方程的解法
直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。 直接开平方法适用于解形如 (X a)2 b
的一元二次方程。根据平方根的定义可知， x a是b的平方根，当b 0时，x a . b , x a . b，当b<0
时，方程没有实数根。
配方法
x
x
x
x
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配
方法的理论根据是完全平方公式 a2 2ab b2 (a b)2，把公式中的 a看做未知数 x，并用x代替，则有
x2 2bx b2 (x b)2。
配方法解一元二次方程的一般步骤： 现将已知方程化为一般形式； 化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加
上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为 (x+p) 2=q的形式，如果q>0,方程的根是x=-p ±V
q；如果qv 0,方程无实根.
公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的求根公式：
b 、b2 4ac 2
x (b 4ac 0)
2a
因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程根的判别式
2 2 2
根的判别式：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)中，b 4ac叫做一元二次方程 ax bx c 0(a 0)的根的
判别式，通常用“ ”来表示，即 b2 4ac
一元二次方程根与系数的关系
b c
如果方程ax bx c 0(a 0)的两个实数根是 ％, x2，那么论 x2 , xm2 。也就是说，对于任何一个
a a
有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项 除以二次项系数所得的商。
分式方程
分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的一般解法
解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” 。它的一般解法是：
去分母，方程两边都乘以最简公分母
解所得的整式方程
验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
知识点1?只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是 2的整式方程叫一元二次方程。
例题：
1、判别下列方程是不是
一元—
一次方程，是的打
，不是的打“X”，并说明理由
(1)2x 2 -x-3=0.
⑵
--y 2 =0.
4
(3) t
2=0.
⑷ x 3-x 2 =1.
⑸x
2-2y-1=0.
(6)-
g -3=0.
2
2
2
2
(2
(2) 配方法：要先把二次项系数化为 1，然后方程两变同时加上一次项系数一半的平方，配成左边是完全平方式,
2、已知关于x的方程m1 x23x时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。3
2、已知关于x的方程m
1 x2
3x
时，方程为一次方程；当
时，两根中有一个
为零a 。
3、已知关于x的方程m
(1) m为何值时方程为
元一次方程;
(2) m为何值时方程为一元二次方程。
知识点二?一元二次方程的一般形式
元二次方程的一般形式是： ax2 bx
2
0，其中ax是二次项，a叫二次项系数;
bx是一次项，b叫一次
⑺x2
3x =2.
(8)(x+2)(x-2)=(x+1)
2
(9)3x 2-
4
4 +6=0.
(10)3x 2 = x-3.
x
4
1、若关于
x的方程
a(x — 1) =2x — 2 疋兀—
1次方程，则 a的值是
(
)
(A) 2
(B)
—2 (C) 0
(D)不等于2
项系数，c是常数项。
一次项系数及常数项都特别警示：(1) “ a 0 ”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分； (2)二次项系数、
一次项系数及常数项都
是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。
知识点三?一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。
例题：
2
1、已知方程3x 9x m 0的一个根是1,则m的值是
2
2、设a是一元二次方程x 5x
0的较大根，
b是x
3x 2
0较小根，
那么a b的值是
(
)
(A) -4 (B) -3
(C) 1
(D) 2
2
3、已知关于x的一元二次方程x
kx 2 0
x
的一个解与方程
1
3的解相同。
x
1
(1) 求k的值；
2
(2) 求方程x kx 2 0的另
一个解。
知识点四?一元二次方程的解法
一元二次方程的四种解法：
(1) 直接开平方法：如果 x2 k k 0，则x
右边是非负常数的形式，然后用直接开平方法求解;
（3） 公式法：一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的求根公式是x —— ' b2 4ac 0；
2a
（4） 因式分解法：如果 x a x b 0则x 1 a,x2 b。
温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最
恰当的方法解。
例题：解方程：
1、解下列方程：
(1) 2
.3 y2 2
.3 y
（2）
1 2
x 1
丄x 1
3
2
（3）（x
3)2 2x
5 2
⑷
3 y2 6
y 22 y 2
知识点五?一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0的根的判别式是b2 4ac:
（1） 当b2 4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；
（2） 当b2 4ac 0时，方程有两个相等的实数根；
（3） 当b2 4ac 0时，方程无实数根。
温馨提示：若方程有实数根，则有 b2 4ac 0。
例题：
2
1、 已知方程x 3x k 0有两个不相等的实数根，则 k= 。
2
2、 当m满足何条件时，方程 mx 2 m 1 x 9m 1 0有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？
2 2
3、 关于x的方程mx 2 m 2 x m 5 0无实根，试解关于 x的方程m5x 2 m 2 x m 0 。
2
2
2
2
4、已知关于x的一元二次方程 x 4 m 1 x 2m 1 0，求证：不论 m为任何实数，总有两个不相等的实数根。
知识点六?一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 ax2
若一元二次方程 ax2 bx c 0 a
0的两个实数根为 为，X2，则捲
X2
b c
,xix2
a a
温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。
例题:
2 2x kx 4k 3 0
2 2
x kx 4k 3 0的两个实数根分别是
Xi,X2，且满足为 X2
X1X2，贝y k的值为:
( )
3
3
(A) 1或
(B)
1
(C)
4
4
2、已知，
X的一元二
.次方程X
2m
2
3 x m
是关于
值是
(
)
(A) 3 或-1
(B) 3
(C)
1
1、关于x的一元二次方程
（D）不存在
0的两个不相等的实数根，且满足 - - 1，则m的
(D) -3 或 1
2
3、方程x 3x 6
0与方程x2 6x 3
0的所有根的乘积是
4、两个不相等的实数m,n满足m2 6m 4, n2 6n 4，贝U mn的值为
4、两个不相等的实数
5、设
5、设X1, X2是关于X的一元二次方程 X2
px q 0的两个根，X1 1,X2 1是关于X的一元二次方程X qx p 0
的两个根，则p,q的值分别等于多少?
知识点七?一元二次方程的实际应用
列一兀二方程解应用题的一般步骤：
（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6）写出答案。
在检验时，应从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
1、有一个两位数，十位数字比个位数字大 3，而此两位数比这两个数字之积的二倍多 5,求这个两位数。
2、市政府为了解决市民看病难的问题， 决定下调药品的价格， 某种药品经过连续两次降价后， 由每盒200元下调至128
元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
成本共
成本共24元，该经营户要想每天盈利 200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
1、下列方程中，关于 x的一元二次方程是
A. 3 x 1 2 2 x 1 B.l 1 x x
2
2 0 C.ax
2 2
2、方程(m — 1) x + mx— 5 = 0
是关于
一元二次方程综合复习
2 2
bx c 0 D. x 2x x 1
兀二次方程，
则m满足的条件是…( )(A) mz 1 ( B) mz 0 (C)
3、右x 1疋兀
2
:二次方程 ax
bx 2
0 的
K
4、实数——
■ b2
4ac是方程
的根
2a
(A) ax2
bx
c 0
(B) ax2
bx
(C) ax2
bx
c 0
(D) ax
2 bx
2
5、方程x
25
0的解是：
A. x 1 x2
5 B.
x 1 x2 25
C. x 1
5兀
(D) m=± 1
| m| 丰 1
，则
D. x 1 25, x2 25
0两个不相等的实数根，则 k的取值
范围是 (
)
(A) k 1
(b ) k
1
7、在下列方程中，
有实数根
的是
A) x 3x 1
0 B) ■■■ 4x
1
1
8、关于x的一元
2
二次方程 2x
2x
( )
/八 5
1
(A) m -
(B) m
3
2
2
6、关于x的一元二次方程 kx 2x 1
(C)
k
0 (D) k
1且k
0
(
)
2
x
1
C)
x
2x 3 0 D)
x 1
x 1
3m
1
0有两个实数根
X1,X2 ,
且mx2
5
5
1
(C)
m
- (D)
—
m
3
3
2
x1 x2 4，贝U m的取值范围是
9.若(x+y ) (1 — x — y) +6=0，贝U x+y 的值是( )
A . 2 B . 3 C.— 2 或 3 D . 2 或—3
10、若(m+1) xm(m 2) 1+2mx —仁0是关于x的一元二次方程，则 m的值是
11、填上适当的数，使等式成立： x2 5x = (x — )2.
12、 当x= 时，代数式x2 3x比代数式2x2 x 1的值大2 .
13、 某商品原价每件 25元，在圣诞节期间连续两次降价，现在商品每件 16元，则该玩具平均每次降价的百分率
17、设XjX?是关于X的方程X2|，求
17、设XjX?是关于X的方程X2
|，求m的值。
x-i x2
19、已知关于x的一元二次方程x2 kx 1 0 。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根;
⑵设的方程有两根分别为x1,x2，且满足 x1 x2x-i x2
⑵设的方程有两根分别为
x1,x2，且满足 x1 x2
x-i x2求k的值。
2
21.已知：△ ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程 x
2
2k 3 x k 3k 2
0的两个实数根，第三
边BC的长为5,问：k取何值时，△ ABC是以BC为斜边的直角三角形?
22、一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 求这块铁皮的长和宽。
cm，容积是5 0 0 cm3的无盖长方体容器。
23、如图，有一面积为 150 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠 围成，如果竹篱笆的长为35 m,求鸡场的长与宽各为多少米？
墙(墙长18 m),另三边用竹篱笆
lBn
jF
24、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3元/千克的价格出售，每天可售出 200千克，为了促销, 该经营户决定降价，经调查发现，这种小西瓜每降价 0.1元/千克，每天可多售出 40千克，另外，每天的房租等固定
25、在矩形ABCD中，AB=6cm , BC=3cm。点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点 Q沿边DA从
点D开始向点A以1cm/s的速度移动。如果 P、Q同时出发，用t (s)表示移动的时间(Owt< 3)。那么，当t为何值
1. (I)已知a,b,c均不为0，且a 2b 3b c 2c ac 2b2b 3a的值;
1. (I)已知a,b,c均不为0，且
a 2b 3b c 2c a
c 2b
2b 3a
的值;
(n)已知：x 0,且x 6jXy 7y 0，求—的值. y
2 .已知关于x的一元二次方程 x2 — 4x + k+ 1 = 0
若x =— 1是方程的一个根，求 k值和方程的另一根；
设X1, X2是关于x的方程x2— 4x+ k + 1 = 0的两个实数根，是否存在实数 k,使得X1X2>X1+ X2成立？请说明理由.
已知关于x的一元二次方程 x2-2x+m- 1=0有两个实数根X1, X2.
求m的取值范围；
当 X12+X22=6X1X2 时，求 m的值.
4
4.对于实数a, b,定义运算“ ？”
ab - b2(a^b)
a2 - ab(aCb)
X2是一元二次方程 x2 - 6x+8=0的两个根，则 X1?X2= .
2
，例如：5?3，因为 5> 3，所以 5?3=5X 3 - 3 =6.若 X1,
5.若x满足x2 5x 1 0，则
1
x
X的值
3 3
2
6 .已知方程X +X-仁0的两个根为a、B .则 的值为
