完整一元二次方程应用题总结归类及典型例题库文档（13页）

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一元二次方程应用题总结分类及经典例题

1、 列一元二次方程解应用题的特点

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展， 从列方程解应用题的

方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的， 由于一元

一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决. 如果未知数出现二次，

用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题， 经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等.

2、 列一元二次方程解应用题的一般步骤

和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：

“审、设、列、解、答”.

“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系.这一步是解

决冋题的基础；

“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设

元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要.恰 当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；

“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个

相等关系列出含有未知数的等式，即方程.找出相等关系列方程是解决问题的关键；

“解”就是求出所列方程的解；

“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度

不能为负数，降低率不能大于100%等等.因此，解出方程的根后，一定要进行检验.

3、 数与数字的关系

两位数=(十位数字)x 10+个位数字

三位数=(百位数字)x 100+ (十位数字)x 10+个位数字

4、 翻一番

翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍.

5、增长率问题

增长率问题的有关公式：

增长数二基数X增长率 实际数二基数+增长数

两次增长，且增长率相等的问题的基本等量关系式为：

原来的X (1 +增长率)增长期数=后来的

说明：(1)上述相等关系仅适用增长率相同的情形；

(2)如果是下降率，则上述关系式为： 原来的X (1 —增长率)下降期数二后来的

6、利用一元二次方程解几何图形中的有关计算问题的一般步骤

(1)整体地、系统地审读题意；

⑵寻求问题中的等量关系(依据几何图形的性质)；

设未知数，并依据等量关系列出方程；

正确地求解方程并检验解的合理性；

⑸写出答案.

7、列方程解应用题的关键

(1)审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量和 未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；

(2)设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未知

数的方法和正确地设出未知数.

8列方程解应用题应注意:

要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关系；

由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验?即判断或确定方程的 根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的

(一)传播问题

市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，

由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为

有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了

个人。

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和

小分支的总数是91，每个支干长出 小分支。

参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛 45场比赛，共有 个队

参加比赛。

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参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛 90场比赛，共有 个队

参加比赛。

生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了 182

件，这个小组共有多少名同学？

一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡 72张，这个小组共有多少人?

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感

染?请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有 效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台？

（二）平均增长率问题

变化前数量x（ 1 x） n=变化后数量

青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻

每公顷产量的年平均增长率为 。

某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 90元降到了 40元，求平均每次降价率

周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和 利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存 款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 60%这样到期后，可得本金和利息共530元, 求第一次存款时的年利率.（利息税为20%只需要列式子）

某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10%，从2月份开始涨价，3月份的 售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。

某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的 百分率？

为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到2009年底使这三年的植树总数达到 1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。

王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和 利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存 款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90%这样到期后，可得本金和利息共530元, 求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

（三）商品销售问题

售价一进价=利」润 单件利润X销售量=总利润 单价x销售量=销售额

某商店购进一种商品，进价30元?试销中发现这种商品每天的销售量 P（件）与每件的销售 价X（元）满足关系：P=100-2X销售量P,若商店每天销售这种商品要获得 200元的利润， 那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为4 0只，且每日产出的产品全部售出， 已知生产x只熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R、P与x的关系式分别为 R=500+30X P=170- 2X。

⑴ 当日产量为多少时每日获得的利润为 1750元？

（2）若可获得的最大利润为1950元，问日产量应为多少？

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利 10元，每天可售出500千克，经市

场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克。现

该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元?

服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0元。为了迎接“六 一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场 调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销 售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售 出2 0 0千克。为了促销，该经营户决定降价销售。经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1 元/千克，每天可多售出40千克。另外，每天的房租等固定成本共2 4元。该经营户要想

每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价 a

元，则可卖出（350—10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过 20%商店计划要

盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？

利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售 出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。

　该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价 每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共 需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2） 在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为 9000元。

（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。

国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策?现在知道某种品 牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时，每年产销100万条,若国家征收附加 税,每销售100元征税x元（叫做税率x%）,则每年的产销量将减少10x万条.要使每年对此 项经营所收取附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50

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万条，问税率应确定为多少？

1对话中收费标准

1对话中收费标准?某单位

27000元.请问该单位这次

如果人数超过25人，每增加1如果人数不超过25人，人均旅

如果人数超过25人，每增加1

如果人数不超过25人，人均旅

人，人均旅游费用降低

但人均旅游费用不得低

游费用为1000元.

:

20元，

700 元.

（四）面积问题

判断清楚要设什么是关键

一个直角三角形的两条直角边的和是 14cm,面积是24cm，两条直角边的长分别是 <

一个直角三角形的两条直角边相差 5 cm，面积是7 cm 2,斜边的长是 。

2

一个菱形两条对角线长的和是10 cm，面积是12 cm，菱形的周长是 。（结果保留

小数点后一位）

为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多 14米，面积是3200平方米则

TOC \o "1-5" \h \z 操场的长为 米，宽为 米。

若把一个正方形的一边增加2cm，另一边增加1cm，得到的矩形面积的2倍比正方形的面

积多11cm，则原正方形的边长为 cm.

如图，在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，

使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%,所截去的小 正方形的边长是 。

张大叔从市场上买回一块矩形铁皮， 他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个

边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15立方米的

无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多 2米，现已购买这种铁皮每平方米需20 元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了是 元钱

如图，在宽为20m，长为30m，的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂

直的道路，余分作为耕地为551讥贝U道路的宽为是 。

如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18m）,另三边用木栏围成，

木栏长35m。①鸡场的面积能达到150m2吗？②鸡场的面积能达到180卅吗？如果能，请你 给出设计方案；如果不能，请说明理由。（3）若墙长为am,另三边用竹篱笆围成，题中的 墙长度am对题目的解起着怎样的作用？

图3 9 2

（五）工程问题

某公司需在一个月（31天）内完成新建办公楼的装修工程.如果由甲、乙两个工程队合做， 12天

可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用 10天完成.（1）求甲、乙两工程队单独完成

此项工程所需的天数.（2）如果请甲工程队施工，公司每日需付费用 2000元；如果请乙队施工，

公司每日需付费用1400元.在规定时间内：A.请甲队单独完成此项工程出. B请乙队单独完成此

项工程；C.请甲、乙两队合作完成此项工程?以上三种方案哪一种花钱最少？

搬运一个仓库的货物，如果单独搬空，甲需 10小时完成，乙需12小时完成，丙需15小时完成,

有货物存量相的两个仓库 A和B,甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运， 中途又转向帮助乙，最后两个仓库的货物同时搬完，丙帮助甲乙各多少时间？（列式子）

乙两人都以不变的速度在环形路上跑步，相向而行，每隔 2分钟相遇一次；同向而行，每隔 6分

钟相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲、乙每分钟各跑几圈？

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某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用 4小

时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油， 乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、 乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？

（六）行程问题

1、A、B两地相距82km甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙骑自行车由B出发以每小时比甲 快2km的速度向A驶去，两人在相距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少？

甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前 进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走 1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达 A地，求乙每小时走多少千米.

3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提 速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少 4小时，这条铁路在现有的安全 条件下安全行驶速度不得超过 140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的 条件下列车还可以再次提速?

4、甲、乙两人分别骑车从 A, B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两 人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进。

　乙在由C地到达A地的途中因故停 了 20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了 40分钟，已知乙比甲每小

时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度

（七八增长率问题：

1、恒利商厦九月份的销售额为 200万元，十月份的销售额下降了 20%商厦从十一月份起加 强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了 193.6万元，求这两个月的 平均增长率.

2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 81台电脑被感

染?请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控 制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台？

3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”， 到期后将本金和利 息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年 利率已下调到第一次存款时年利率的 90%这样到期后，可得本金和利息共 530元，求第一次 存款时的年利率.（假设不计利息税）

4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”， 到期后将本金和利 息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年 利率已下调到第一次存款时年利率的 60%这样到期后，可得本金和利息共 530元，求第一次 存款时的年利率.（利息税为20%只需要列式子）

5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后, 由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为

七、动态几何：

1、已知：如图3-9-3所示，在厶 中，.点 从点 开始沿 边向点 以1cm/s的速度移动，点 从 点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△ 的面 积等于4cm2 （ 2）如果 分别从 同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？ （3）在（1）中， △的面积能否等于7cm21说明理由.

八、其他类型题：

1、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记 2分，输者记0分.如果平 局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数，分别是1979, 1980, 1984，1985.经核实，有一位同学统计无误.试计算这次比赛共有多少个选手参加.

2、机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90

千克，用油的重复利用率为60%按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为 36千克?为 了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、 ？乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进

行攻关.（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到 70千克，

用油的重复利用率仍然为60%问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 多少千克？ （ 2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，？同时也提高了用油的重复 利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率将增 加1.6%.这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到 12千克?问乙车间技术革新

后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？