分式方程应用题解题思想总结-例题分析
时间：2020-11-25 07:37:08 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
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分式方程应用题分类解析
分式方程应用性问题联系实际比较广泛，灵活运用分式的基本性质，有助于解决应用问题中出现的分式化简、计算、求值等题目，运用分式的计算有助于解决日常生活实际问题．本课内容：
营销类应用性问题
工程类应用性问题
行程中的应用性问题
轮船顺逆水应用性问题
浓度应用性问题
货物运输应用性问题
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一、【营销类应用性问题】
例1．1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？
分析：市场经济中，常遇到营销类应用性问题，与价格有关的是：单价、总价、平均价等，要了解它们的意义，建立它们之间的关系式．
总价值
价格
数量
甲
2000元
乙
4800元
混合
X元
解：设混合后的单价为每千克 元，则甲种原料的单价为每千克元，混合后的总价值为(2000＋4800)元，混合后的重量为斤，甲种原料的重量为，乙种原料的重量为，依题意，得：
＋=，解得，
经检验，是原方程的根，所以．
即混合后的单价为每千克17元．
评析：营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考不衰的热点问题．
例1．2 A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
解： 两次购买的饲料单价分别为每1千克m元和n元(m>0,n>0,m≠n)，依题意，得：
采购员A两次购买饲料的平均单价为(元／千克)，
采购员B两次购买饲料的平均单价为(元／千克)．
而＞0．
也就是说，采购员A所购饲料的平均单价高于采购员B所购饲料的平均单价，所以选用采购员B的购买方式合算．
例1．2 某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？
分析： 可以列出三个等量关系
1．2月份销售量一1月份销售量=5000
2．2月份销售量×2月份利润=2月份总利润
3．1月份利润一2月份利润=0.4
二、【工程类应用性问题】
例2．1 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？
分析：
单独做所需时间
一天的工作量
实际做时间
工作量
甲
x天
2天
1
乙
（2+1）天
等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1
例2．2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？
分析：
输入汉字数
每分钟输入个数
所需时间
甲
1500个
x个/分
乙
1500个
3x个/分
等量关系：甲用时间=乙用时间+20（分钟）
例2．3 某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷，但实际每天多收割40公顷，结果提前4天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。
分析1：
工作总量
一天的工作量
所需天数
原计划情况
960公顷
x公顷
实际情况
960公顷
（x+40）公顷
等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）
分析2：
工作总量
所需天数
一天的工作量
原计划情况
960公顷
实际情况
960公顷
等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）
例2．4 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．
⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．
分析：这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．
解：⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意可得：
①×＋②×＋③×，得＋＋=．④
④－①×，得=，即z = 30，
④－②×，得=，即x = 10，
④－③×，得=，即y = 15．
经检验，x = 10，y = 15，z = 30是原方程组的解．
⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得
由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．
此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元．
所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．
评析：在求解时，把，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解．
例2．5 某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
解： 工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，
那么乙单独完成工程所需的天数就是(x＋3)天.
设工程总量为1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得
，解得 ．
即规定日期是6天．
例2．6 今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？
解： 设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，
依题意，得：
， 解得 x＝11
经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．
即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．
例2．7 甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个
所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
分析：甲每小时做x个零件，做90个零件所用的时间是(90 ÷x) 小时，还可用式子 小时来表示。乙每小时做(x-6)个零件，做60个零件所用的时间是 [60÷(x-6)] 小时，还可用式子 小时来表示。
等量关系：甲所用时间=乙所用时间
三、【行程中的应用性问题】
例3.1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？
分析：
所行距离
速度
时间
快车
96千米
x千米/小时
慢车
96千米
（x-12）千米/小时
等量关系：慢车用时=快车用时+ （小时）
例3.2 甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
分析：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程= 速度×时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．
解：设普通快车车的平均速度为km／h，则直达快车的平均速度为1.5km／h，依题意，得
=，解得，
经检验，是方程的根，且符合题意．
∴，，
即普通快车车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．
评析：列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，要要检验是否符合题意，即满足实际意义．
例3.3 A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
分析：
所行距离
速度
时间
甲
（87-45）千米
x千米/小时
乙
45千米
（x+4）千米/小时
等量关系：甲用时间=乙用时间+ （小时）
例3.4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
解： 设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：
方程两边都乘以2x，去分母，得
30-15＝x， 所以，x＝15．
检验：当x＝15时，2x＝2×15≠0，
所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．
∵，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．
例3.5 农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．
解： 设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：
解得 x＝15．
经检验x＝15是这个方程的解．
当x＝15时，3x＝45．
即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．
例3.6 甲乙两人同时从一个地点相背而行，1小时后分别到达各自的终点A与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达A之后35分钟到达B，求甲与乙的速度之比。
分析：
等量关系：甲走OB的时间-乙走OA的时间=35分钟
四、【轮船顺逆水应用问题】
例4．1 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。
分析：顺流速度=轮船在静水中的速度+水流的速度
逆流速度=轮船在静水中的速度-水流的速度
路程
速度
时间
顺流
48千米
(x+4)千米/小时
逆流
48千米
(x-4)千米/小时
等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）
例4．1 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。
分析：此题的等量关系很明显：顺水航行30千米的时间= 逆水中航行20千米的时间，即=．设船在静水中的速度为千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．
解： 设船在静水中速度为千米／时，则顺水航行速度为千米／时，逆水航行速度为千米／时，依题意，得
=，解得．
经检验，是所列方程的根．
即船在静水中的速度是10千米／时．
五、【浓度应用性问题】
例5 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．
分析：设加入盐千克．浓度问题的基本关系是：=浓度．
溶液
溶质
浓度
加盐前
40
40×15%
15%
加盐后
40＋
40×15%＋
20%
解：设应加入盐千克，依题意，得=．
100(40×15%＋) = 20(40＋)，解得．
经检验，是所列方程的根，即加入盐2.5千克．
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