届高中高三二轮总结复习三角数列高中高考解答专练及学习资料x

高三数学三角数列解答

1．某同学用五点法画函数 f（ x）=Asin （ ωx+? ），（ ω＞ 0， |? |＜ ）在某一个周期内的 象 ，列

表并填入了部分数据，如下表：

ωx+ ? 0 π 2π

x

Asin （ ωx+? ）

0

5

5

0

（ 1） 将上表数据 充完整，并直接写出函数

f （x）的解析式；

（ 2）若函数 f （ x）的 象向左平移

个 位后 的函数

g（ x），求 g（ x）的 象离原点最近

的 称中心．

2

） =0 ，其中 a∈R， θ∈（ 0， π）．

2．已知函数 f （ x） =（ a+2cos x） cos（ 2x+θ） 奇函数，且 f（

（ 1）求 a， θ的；（ 2）若 f（

） =， α∈（

，π），求 sin（ α+

）的 ．

3． 已知 A、B 是△ ABC的两个内角， a

2 cosA

2

B i

sin A

B j ，其中 i 、 j 互相垂直的 位

2

向量，若 |a |

6 . 求 tan A tan B 的 .

2

4． 数列

n } 各 均 正数，其前

2

．

a

n

和

S

2an Sn

an

1

{

n ，且 足

（ 1）求 ：数列 {

2

} 等差数列（

）求数列

{ an }

的通 公式

Sn

2

（ 3） bn

2

，求数列

{bn } 的前

n 和 Tn ，并求使

Tn

1

(m

2

3m)

所有的

n N

4 Sn4

6

1

都成立的最大正整数

的 ．

m

5． 已知数列｛ an ｝中， a1

1 , 点（ n, 2an 1

an）在直 y=x 上，其中 n=1,2,3 ?.

2

（ 1）令 bn

an 1

an

1, 求 数列

bn

是等比数列 ;

（ 2）求数列

an

的通项；

（ 3） Sn 、Tn 分别为数列

an 、bn 的前 n 和 ,是否存在 数

Sn

Tn

，使得数列

n

等差数列？若存在， 求出

.若不存在 , 明理由。



6．已知函数 f ( x)

3

sin 2x cos2 x

1

,( x R)（ 1）当 x

12

, 5

，求函数 f ( x) 的最

2

2

12

小 和最大； （ 2）

ABC 的内角 A, B,C 的 分

a, b, c

，且 c

3 , f (C ) 0 ，若

向量 m (1,sin A) 与向量 n

(2,sin B) 共 ，求 a, b 的 .

7． 数列 an

的各 均 正数， 它的前 n 的和 Sn ，点 (an

, Sn ) 在函数 y

1 x2 1 x

1 的

8

2

2

像上；数列

bn

足 b1

a1, bn 1 (an 1

an )

bn ．其中 n

N

．（ 1）求数列

an 和 bn 的通

公式；

（ 2） cn

an ，求 ：数列

cn

的前 n 的和 Tn

5

（ n

N

）．

bn

9

8． 已知函数 f ( x)

2 3 sin x cosx

2 cos2

x m 在区 [0, ] 上的最大 2．

2

、、，若 f ( A)

1, sin B

3 sin C ，

（ ）求常数

m

的；（ ）在△

ABC

中，角

、 、 所 的 是

1

2

A B C

a b c

ABC 面 3 3 ．求 a．

4

9． 等差数列 {an}的各 均 正数， a1＝ 3，前 n 和 Sn， {bn} 等比数列， b1＝ 1，

b2S2＝ 64， b3S3＝ 960.(1)求 an 与 bn； (2)求 1 ＋ 1 ＋ ? ＋ 1 .

S1 S2Sn

10．如 ， 量河 岸的塔高 AB ，可以 与塔

底 B 在同一水平面内的两个 点 C 与 D ． 得

BCD， BDC

， CD s ，并在点 C

得塔 A 的仰角

，求塔高 AB ．

11． 数列 an

的前 n 和 Sn ， a1

1， an 1

2Sn (n

N* ) ．

（ 1）求数列

an

的通 an；

（ 2）求数列

nan

的前 n 和 Tn ．

12. 数列 { an } 的前 n 和 Sn ， 足 (1 q) Sn

qan

1，且 q(q 1) 0 .

（Ⅰ）求 { an} 的通 公式；

（Ⅱ）若 S3 , S9 , S6 成等差数列，求 ：

a2 , a8 , a5 成等差数列 .

13．

已知数列 { an } 足：

1

2

n

3 (32 n

1), n

N * .

a1

a2

an

8

（ I）求数列 { an } 的通 公式； （ II ） bn

an

1

1

1

log 3 n ，求 b1b2

b2 b3

bn bn1

.1．（12 分）

考点 ：

由 y=Asin （ ωx+φ）的部分 象确定其解析式；函数

y=Asin （ ωx+ φ）的 象 ．

：

三角函数的 像与性 ．

分析：

（ 1）由表中已知数据易得

，可得表格和解析式；

2）由函数 象 可得 g（x）的解析式，可得 称中心．解答： 解：（ 1）根据表中已知数据，解得

数据 全如下表：

ωx+ ? 0 π 2π

x

Asin （ ωx+? ） 0

5

0

5

0

∴函数的解析式

；

（ 2）函数 f （x） 象向左平移 个 位后 的函数是

g（ x） =5sin[2 （ x+ ） ]=5sin（ 2x+ ），

其 称中心的横坐 足 2x+ =kπ，即 x= ， k∈Z，

∴离原点最近的 称中心是

点 ： 本 考 三角函数解析式的确定和函数 象 ，涉及三角函数的 称性，属基 ．

2．（ 12 分）

考点 ： 三角函数中的恒等 用；函数奇偶性的性 ．

： 三角函数的求 ．

分析： （ 1）把 x= 代入函数解析式可求得 a 的 ， 而根据函数 奇函数推断出 f（ 0）=0，

而求得 cosθ， θ的 可得．



（ 2）利用 f（ ）= 和函数的解析式可求得 sin ， 而求得 cos ， 而利用二倍角公式分

求得 sinα， cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．

解答： 解：（ 1）f （ ） = （ a+1）sinθ=0，

∵ θ∈（ 0， π）．

sinθ≠0，

a+1=0，即 a= 1

∵ f（ x） 奇函数，

f（ 0） =（a+2） cosθ=0，

∴ cosθ=0， θ= ．

（ 2）由（ 1）知 f （ x） =（ 1+2cos

2

）=cos2x?（ sin2x ） =

，

x） cos（ 2x+

f（ ） =sinα=，

sinα= ，

∵ α∈（ ， π），

∴ cosα= = ，

∴ sin（ α+ ） =sinαcos +cosαsin = ．

点 ： 本 主要考 了同角三角函数关系，三角函数恒等 的 用，函数奇偶性 ． 合运用了所学知 解决 的能力．

3．解： | a |2

3 ,

( 2 cos A

B ) 2

(sin A

B ) 2

3 ,

2 分

2

2

2

2

即 2 cos2 A

B

sin 2 AB

3 ,

即 cos( A

B)

1 1 cos(A

B) 3

， 6 分

2

2

2

2

2

cos( A

B)

1 cos( A

B)

0,

cos A cos B

3sin A sin B, ? 8 分

2

tan A

tan B

sin A sin B

1 .

? 10 分

cos A cos B

3

4 解：（1）∵2anSn

an2

1

，∴当 n≥2 ， 2( Sn

Sn

1 )Sn ( Sn

Sn 1 )2

1 ，

整理得， S 2

S2

1

（ n≥2 ），（2

分）又 S

2

1

，

（ 3

分）

n

n 1

1

∴数列{ Sn2 } 首 和公差都是

1 的等差数列．

（ 4

分）

（ 2 ）由（ 1 ） Sn2

n ，又 Sn

0 ，∴Sn

n

（ 5 分）

∴ ≥2 时，

an

Sn

Sn 1

n

n

1

，又

a1

S1

1 适合此式

n

∴数列{an } 的通项公式为

an

n

n

1

（ 7

分）

（Ⅱ）∵bn

2

2

1

1

（ 8 分）

4Sn4

1

(2n

1)( 2n

1)

2n

1

2n

1

∴

1

1

1

Tn

1

3

3

5

(2n 1)( 2n

1)

1

1

1

1

1

1

=

1

1

2n

（ 10

分）

3

3

5

2n

1

2n

1

2n

1

2n

1

∴

2

，依题意有

2

1

(m

2

3m)

，解得

1

m

4

Tn

3

3

6

，

故所求最大正整数

m 的值为 3

（ 12

分）

5．解：（ I ）由已知得

a1

1 , 2an

1

an

n,

2

a2

3 , a2

a1

1

3 1

1

3 ,

4

4

2

4

又 b

a

1

a

1, b

a

2

a

1

1,

n

n

n

n 1

n

n

an 1 (n 1) an

n an 1

an

1

bn 1

an 1

an

1

2

2

2

1

bn

an 2

an 1

1

an 1

an 1

an 1

an

.

1 2

{bn } 是以

3

为首项，以

1 为公比的等比数列 .

4

2

（ II ）由（ I ）知， bn

3

( 1)n 1

3

1n ,

4

2

2

2

an 1

an 1

3 1

, a2

a1 1

3 1 ,

2

2n

2

2

a3 a2

1

3 12 ,

an

an 1 1

3

1n 1 ,

2

2

2

2

将以上各式相加得：

an

a1

(n 1)

3

1

1

1

(

2

2

2

2

n 1 ),

2

1

1

3

2

(1

2n 1 )

1

3

1

3

an

a1

n 1

2

1

1

2

(n 1)

2 (1

2n 1 )

2n

n 2.

2

3

an

n

2.

2n

2，使数列 { Sn

Tn } 是等差数列 .

（ III ）解法一：存在

n



Sn a1 a2

an 3(

1

1

1

) (1 2

n) 2n

2

1

2

2

n

2

1

1

3

2

(1

2n )

n(n

1)

2n

3(1

1

)

n2

3n

3 n2

3n

3.

1

1

2

2n

2

2n

2

2

3

1

(1

)

3

1

3

3

4

2n

Tn b1

b2

bn

1

1

2 (1

2n )

22n 1 .

2

数列 { Sn

Tn } 是等差数列的充要条件是

Sn

n

Tn

An

B,( A 、 B 是常数 )

n

An2

即 Sn

Tn

Bn,

又 Sn

Tn

3

n2

3n

3

(

3

3

1 )

n2

3n

)(1

1

)

2

n

2

2

2

n

2

3(1

n

2

2

当且仅当 1

2

0 ，即

2 时，数列 { Sn

n

Tn } 为等差数列 .

解法二：

存在

2 ，使数列 { Sn

Tn } 是等差数列 .

n

由（ I ）、（ II

）知， an

2bn

n

2

Sn

2T

n(n

1)

2n

2

Sn

Tn

n(n

1)

2n 2Tn

Tn

n 3

2

2

n

n

2

n

Tn

3

1

又 Tn

b1 b2

bn

4

(1

2n )

3 (1

1 )

3

3

1

2

2n

2

2n

1

1

2

Sn

Tn

n 3

n

2 ( 3

2

n3 1 )

n

2

2

当且仅当

2

时，数列 { Sn

Tn } 是等差数列

n

6.（ 1） f ( x)

3 sin 2 x cos2 x

1

sin(2x

) 1，

2

2

6

因为 x

, 5

，所以

2x

3

, 2

12

12

3

sin

2x

6

3 ,1 ,

所以 函数 f

x

的最小值是

3

1， f

x 的最大值是 0

2

2

（ 2）由 f

C

0 解得 C=

，又 m

(1, sin A) 与向量 n

(2,sinB) 共

3

sin B

2 sin A,

b

2a

①

由余弦定理得 3

a 2

b 2

2ab cos

②

②得 a

1,b

2

3

解方程 ①

7．⑴由已知条件得

1

2

1

1

①

Sn

8

an

2

an

，

2

当 n

2 ， Sn 1

1 an 12

1 an 1

1 ， ②

1

8

2

1

2

1

①－②得： an

(an

2

an

12 )

( an

an

1) ，即 an

an 1

(an

an 1 )(an

8

2

4

∵数列

a

n

的各 均 正数，∴

a

a

4 （ n 2 ），

nn 1

又 a1

2 ，∴ an

4n 2；∵ b1

a1 ,bn 1(an 1

an ) bn ，

∴ b1

2, bn 1

1 ，∴ bn

2 ( 1 )n 1；

bn

4

4

⑵∵ cn

an

(2 n 1)4n 1 ，

bn

∴ T

1

3 4

5 42

(2n

3) 4n

2

(2n

1) 4n

1 ，

n

4Tn

4

3 42

(2n

5) 4n 2

(2 n

3) 4n 1

(2n

1)

4n ，

两式相减得

3Tn

1

2(4

42

4n 1 )

(2 n

1)4n

5

(2 n

5) 4n

5

3

3

∴ Tn

．

9

8．解：（ 1） f ( x)

2

3sin x cos x

2cos 2 x

m

3 sin 2x

(1

cos 2x)

m

2(sin 2x

3

cos2 x 1)

m

1

2

2

2sin(2 x

)

m

1

6

∵ x

0,

2

∴ 2x

, 7

6

6

6

∵ 函数 y

sin t 在区

,

上是增函数，在区

, 7

上是减函数

6

2

2

6

∴当 2x

6

2

即 x

6

，函数 f ( x) 在区

0,

上取到最大 ．

2



an 1 ) ，

5

，

3



此 ， f (x)max

f ( ) m

3

2

得 m

1

6

（ 2）∵

f ( A)

1

∴ 2sin(2 A

) 1

1 ，解得 A

6

∴ sin(2 A

)

0 （舍去）或 A

6

2

a

b

c

3

∵ sin B

3sin C

，

sin A

sin B

sin C

b 3c ①

∵

ABC 面 3 3

∴ S ABC

1 bc sin A

1 bc sin

3

3

4

2

2

3

4

即 bc

3 ? ②

由①和②解得 b 3,c 1

∵ a2 b2 c2 2bc cos A 32 12 2 3 1 cos

3

∴ a 7

9.解： (1) {an}的公差 d， {bn}的公比 q， d 正数，an＝ 3＋ (n－ 1)d， bn＝ qn－ 1.

S2b2

(6

d )q

64,

6

,

2或

d

依 意有

(9

2

解得

d

5

(舍去 )

S3b3

3d)q

960,

q

8

40

q .

3

an＝ 3＋ 2(n－ 1)＝ 2n＋ 1， bn＝ 8n－1 .

(2) Sn＝ 3＋ 5＋ ? ＋ (2n＋ 1)＝ n(n＋ 2)，所以

1 ＋ 1 ＋ ? ＋ 1

1 ＋ 1

1

1

S1

S2

Sn

＝

＋

＋ ? ＋

1×3

2×4

3×5

＋

2)

n(n

＝ 1

1＋1－ 1＋ 1－ 1＋ ? ＋ 1 － 1

2(1－ 3 2 4 3 5

n

＋ )

n

2

＝

1

1

1

1

2(1＋

2－

＋ －

＋ )

n

1

n

2

＝

3

2n＋ 3

.

4－

＋

＋

2)

2(n

1)(n

10.解：在 △ BCD 中，

CBD

π

．

由正弦定理得

BC

CD

．

sin

BDC

sin

CBD

CD sin

BDC

·

．

所以 BC

sin

CBD

sin(

)

·

sin

在 Rt △ ABC 中， AB

BC tan

ACB

s tan

．

sin(

)

11.解：（Ⅰ）

an 1

2Sn ，

Sn 1 Sn

2Sn ，

Sn 1

3 ．

Sn

S1 a1 1，

数列 Sn

是首

1，公比 3

的等比数列， Sn 3n

1 (n N* ) ．

当 n ≥ 2 ， an

2Sn 1

2 3n 2 (n ≥ 2) ，

，

n

，

an

1

1

n 2，

n

≥ ．

3

2

（Ⅱ） Tn a1

2a2

3a3

nan ，

当 n

1 ， T1

1

；

当 n ≥ 2 ， T

1

4 30

6 31

2n 3n 2 ， ? ①

n

3Tn

3 4 31

6 32

2n 3n

1 ，

②

①

② 得：

2Tn

2

4

2(31

32

3n 2 ) 2n 3n 1

2

3(1

3n

2 )

2n 3

n 1

2

3

1

1

(1 2n) 3n 1 ．

Tn

1

n

1

3n 1( n ≥ 2) ．

2

2

又 T1 a1

1也 足上式，

Tn

1

n

1

3n 1 (n

N * ) ．

2

2

12



数列通

公式 成，一般采用“倒序相加法”

.第二 主抓数列的通 公式采用分 求和的方法求解.

解：（Ⅰ）

1

＝

3

2

? 1 分

8

( 3 － 1)＝ 3，

a1

当 n≥ 2 ，

∵ n ＝ (1 ＋ 2 ＋?＋ n )－ (1 ＋ 2 ＋?＋ n－－

1)

an

a1

a2

an

a1

a2

an 1

＝

3

(3 2n－ 1)－

3 (32n－ 2－ 1)＝ 32n－1 ，

? 5 分

8

8

n＝ 1， n ＝ 32n－ 1 也成立， an

所以 a ＝ 2nn－ 1．

? 6 分

n

3

12.

13、

BC，CC1 的中点，

B1O ⊥ BD ，

AB1 ⊥ BD ．

在正方形



ABB1 A1 中， AB1 ⊥ A1B ， AB1 ⊥ 平面 A1BD ．

c ＝ sin C＝ sin( － 3B)＝ sin 3B＝ sin(2B＋ B)＝sin 2BcosB＋ cos2Bsin B

b sin B sin B sin B sin B sin B

2

2sin Bcos B＋ cos2Bsin B 2 2

＝ ＝ 2cos B＋ cos 2B＝ 4cos B－ 1， ? 10 分

∵ 3＜ cosB＜ 1，∴ 2＜ c ＜ 3，

2 b

故 c 的取 范 是 (2， 3)．

b

15

14

解答：解法一： （Ⅰ）取 BC 中点 O ， AO ．

△ ABC 正三角形， AO ⊥ BC ．

正三棱柱 ABC A1 B1C1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC1 B1 ，

AO ⊥ 平面 BCC1B1 ．

B O ，在正方形 BBC C 中， O，D 分

1 1 1

(17) 解:

在△ ABC 中，∠ DAC=3 0° , ∠ ADC=60 °－∠ DAC=30,

所以 CD=AC=0.1

又∠ BCD=180 °－ 60°－ 60° =60°，

故 CB 是△ CAD 底 AD 的中垂 ，所以

BD=BA ，

5 分

AB

AC

在△ ABC 中， sin

BCA

sin

,

AB C

即 AB=

ACsin60

3 2

6

A

A1

sin 15

20

,

3

2

6

因此， BD=

20

0 .33km。

C

C1

D

故 B ，D 的距离 0.33km 。

12 分

B1

B

12．（本小 分 12 分）

16．解：在 △ BCD 中，

CBD

π

．

如 ，正三棱柱 ABC－ A1B1C1 的所有棱 都

2，

D CC1 中点。

BC

CD

由正弦定理得

．

（ 1）求 ： AB1 ⊥面 A1BD；

sin

BDC

sin

CBD

（ 2）求二面角 A－ A1D －B 的大小；

所以 BC

CD sin

BDC

·

．

（ 3）求点 C 到平面 A1BD 的距离；

s sin

sin

CBD

sin(

)

S

·

sin

在 Rt △ ABC 中， AB BC tan

．

ACB

)

sin(

M

O

C

B

A

（Ⅱ）设 AB1 与 A1B 交于点 G ，在平面 A1BD 中，作 GF ⊥ A1D 于 F ，连结 AF ，由（Ⅰ）得

AB1 ⊥平面 A1BD ．

AF ⊥ A1D ， ∠ AFG 为二面角

A A1D B 的平面角．

在 △ AAD1 中，由等面积法可求得

AF

4 5

，又

AG

1 AB1

2

，

5

2

sin∠AFG

AG

2

10

AF

4

5

4

．

5

所以二面角 A

A1D

B 的正弦值

10 ．

4

1

（Ⅲ）

△

A1BD

中， BD A D

，

，

6

，

△

．

A1BD

BCD

1

1

S

在正三棱柱中，

A 到平面 BCC B 的距离为

3 ．设点 C 到平面 A BD 的距离为 d ．

1

1

1

1

由 VA BCDVC

A BD 得

1 S△ BCD

3

1 S△ A BD

d ，

d

3S△ BCD

2 ．

1

1

3

3

1

S△ A BD

2

1

点 C 到平面 A1BD 的距离为

2 ．

z

A1

2

A

解法二：（Ⅰ）取 BC 中点 O ，连结 AO ．

△ ABC 为正三角形，

AO ⊥ BC ．

F

在正三棱柱 ABC

A1B1C1 中，平面 ABC ⊥ 平面 BCC1 B1 ，C

D

C1

AD ⊥ 平面 BCC1B1 ．

O

y

取 B1C1 中点 O1 ，以 O 为原点， OB ， OO1 ， OA 的方向

B

B1

为 x， y， z轴的正方向建立空间直角坐标系，

x

B(1，0，0) ， D ( 11，，0) ， A1 (0，2， 3) ， A(0，0， 3) ， B1 (12，，0) ，

AB1

(12，，

3) ， BD

( 210)，， ， BA1

( 1，2，3) ．

AB1

BD 2 2 0 0 ， AB1 BA1

1

4 3 0 ，

AB1 ⊥ BD ， AB1 ⊥ BA1

． AB1 ⊥ 平面 A1 BD ．

（Ⅱ）设平面 A1 AD 的法向量为 n ( x， y， z) ． AD (

11，，

3) ， AA1

(0，2，0) ．

n ⊥ AD ， n⊥ AA1 ，

n AD 0，

x y

3z 0， y

0，

，

n AA1 0

x

3z

2 y 0



令 z 1得 n (

301)，， 为平面 A1AD 的一个法向量．

由（Ⅰ）知 AB1 ⊥ 平面 A1BD ，

AB 为平面 A1 BD 的法向量．

1

cos n， AB1

n AB1

3

3

6 ．

n AB1

2 2 2

4

二面角 A A1D

B 的余弦值为

6 ．

4

（Ⅲ）由（Ⅱ） ， AB1 为平面 A1BD 法向量，

BC

(

2，0，0)，AB1

(12，， 3) ．

点 C 到平面 A1BD 的距离 d

BC AB1

2

2

AB1

2

2

．

2

14

在 ABC 中，角 A、 B、 C的对边分别为

a, b, c , A

2B .

(I )

若 sin B

5

, ，求 cosC. 的值； ( I

I ) 若 C 为钝角，求 c 的取值范围 .

5

b

15. 在公差不为

0 的等差数列 { an} 中， a3

a10

15 ，且 a2 , a5 , a11 成等比数列 .

（ 1）求 { an } 的通项公式； （ 2）设 bn

1

1

1

1

1 .

an

an

，证明：

bn

1

a2 n 1

2

16．如图，测量河对岸的塔高

AB 时，可以选与塔底

B 在同一水平面内的两个测点

C 与 D ．现测

得

BCD

， BDC

， CD

s ，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为

，求塔高 AB ．

17 如图，



A,B,C,D



都在同一个与水平面垂直的平面内，



B， D



为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船

于水面



A 处测得



B 点和



D 点的仰角分别为



750 ，300 ，于水面



C 处测得



B 点和



D 点的仰角均为



600 ，

AC=0.1km



。试探究图中



B ， D



间距离与另外哪两点间距离相等，然后求



B ， D



的距离（计算结果

精确到



0.01km ，



2



1.414，



6



2.449）