第五次：高考数列知识点精华总结x
时间：2020-10-31 07:31:32 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
数列
等差数列的定义与性质
定 ： an 1
an
d( d 常数 )， an
a1
n 1 d
等差中 ：
x
， ，
成等差数列
2
A
x
y
A y
前 n 和 Sn
a1
an n
n n
1
d
na1
2
2
性 ：an 是等差数列
（1）若 m
n
p
q， am
anap aq；
（2）数列
a
2n
a
ka
n
b
仍 等差数列；
1 ， 2n ，
Sn， S2n
Sn， S3n
S2n ? ? 仍 等差数列；
（3）若三个数成等差数列 ，可 a d， a， a d；
am
S2m 1
；
（4）若 an，bn是等差数列 Sn，Tn为前 n项和，则
T2 m 1
bm
（ 5） an 等差数列
Sn an2
bn（ a， b 常数，是关于
n的常数
的二次函数）
Sn 的最 可求二次函数 Sn an2 bn的最；或者求出 an 中的正、 分界
项，即：
当 a1
0， d
0，解不等式
an
0
an 1
可得 Sn 达到最大 的 n 。
0
当 a1
0， d
an
0
可得 Sn 达到最小 的 n 。
0，由
an
1
0
等比数列的定义与性质
定义：an 1
q（ q为常数， q
0）， ana1q n 1
an
2
等比中项： x、G、y成等比数列 G xy，或 G xy
na1( q
1)
前n项和： Sna1 1
q n
（要注意! ）
1
(q
1)
q
性 ： an 是等比数列
（1）若 m n
p q， am·an a p·aq
（2） Sn， S2n
Sn， S3n
S2n ? ? 仍 等比数列
求数列通项公式、数列求和问题的常用方法
1、利用 Sn 与 an的关系；
一、求数列通项公式的三种常用方法 2、累加（乘）法 ;
、构造法（或配凑法、待定系数法）
.
3
1、利用 Sn与 an 的关系求通项公式：
S1
，
当 n
时
=1 ;
利用 an =
，当 n
2时 .
Sn -Sn -1
注意：当 S1也适合 Sn -Sn -1时，则无需分段 ( 合二为一 ) 。
例 1、设数列 {
}
n
2， {
}
为等比数列， a1 b1
且 b2 ( a2
a1 )
b1 .
an
的前 n 项和为 S =2n
bn
（Ⅰ）求数列 { an } 和 { bn } 的通项公式；
例 2、数列 {
an
}
n
1,Sn
3an 1, n 1,2,3,L ，求：
的前 n 项和为 S ，且 a1
（1） a2 的值。（ 2）数列 { an } 的通项公式；
2、累加（乘）法：
例如：1
、
a n
1
a n
2 n - 1.
2
、
a n
1
a n
3 n +2.
3
、
a n
1
a n
2 n -1 -1.
4
、
a n 1
a n
1
.
n (n+1)
例如：、
an
1
2
n
an .
1
、
an
n
an.
2
1
n+1
3、配凑法或待定系数法或构造法 ：
例如：、
an 1
2 an
1.
1
2
、 2
a n
1
a n
1.
3
、 3
a n
1
a n
2.
例如：、
a n 2
3 a n +1 -2 a n .
1
2
、 3 a n 2
4 a n +1 - a n .
3
、
a n 2
2 a n +1 +3 a n .
4
、
7 a n +1 -2 a n .
3 a n 2
（2006，重庆 ,文 ,14）在数列
an 中，若 a1
1,an 1 2an 3(n 1) ，则该数列的通项 an _________
例如： 2012 年广东高考
19.(本小题满分
14 分)
1、设数列
an 的前 n 项和为 Sn ，数列
Sn 的前 n 项和为 Tn ，满足 Tn
2Sn n2， n N * ．
（1）求 a1 的值；（ 2）求数列 an 的通项公式。
2、（ 2009 广东六校）已知数列
a
的首项 a1
1
，前 n 项和 S
n2 a n 1
．
n
2
n
n
（Ⅰ）求数列
an 的通项公式
二、 数列求和的几种常用方法
1．直接法 :(公式法 )即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（1）等差数列的求和公式：
2．错位相减法：比如
an
等差 , bn 等比 ,求 a1 b1
a2 b2
a nbn的和 .
3．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1
1
1
1
1
1
1
常见拆项公式：
n(n
1)
n
n
1
； n(n
2) 2
( n
n
2
)
1
1 (
1
1
)
n
1
1
n
1
n
(2n 1)(2n 1)
2
2n
1
2n
1
n
4．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。
5．倒序相加法：
a1
a2
...
an
sn
an
an 1
...
a1
sn
两式相加得：2sn n( a1 an )
例题分析
方法一：错位相减法——“差比数列” ：
例 1（ 07 高考全国Ⅱ文 21）设 { an} 是等差数列， { bn} 是各项都为正数的等比数列，且 a1 b1 1 ，
a3 b5 21 ， a5 b3
13（Ⅰ）求 { an} ，{ bn} 的通项公式；
（Ⅱ）求数列
an
的前 n 项和 Sn ．
bn
方法二：裂项法：
（江门市 2013 届高三上学期期末）已知数列 an 中 a1 1 ， an 1
1
⑴求证：数列 为等差数列；
an
⑵设 n
a
n
a
n 1（
n
N ），数列
b
n 的前 n 项和为
n ，求满足
Sn
b
S
方法三：分组求和法：
数列 {an
的前
n
项和
Sn
2an 1
，数列
n
满 b1
3,
cn an
}
{b }
（Ⅰ）证明数列 {an}为等比数列；（Ⅱ）求数列 {cn}的前 n 项和 Tn
方法四：倒序相加法：
an
（ n N ）
2an 1
1005 的最小正整数 n ．
2012
bn ( n N ) .
sin 2 1o sin2 2o sin 2 3o L L sin 2 89o
2013 年全国各地高考文科数学试题分类汇编 5：数列
一、选 择题
1． （
2013年
高
考
大
纲
卷
（ 文
） ）
已
知
数 列 an
满
足
3an 1
an 0, a2
4 , 则 an
的前 10项和等于
（
）
3
1
A． -6 1-3-10
B．
1-3-10
C． 3 1-3-10
D． 3 1+3-10
9
2
．（ 2013 年高考安徽（文） ） 设 Sn 为等差数列
an
的前 n 项和 , S8 4a3 , a7
2 ,则 a9 =
（
）
A． 6
B． 4
C． 2
D． 2
3
．（ 2013
年高考课标 Ⅰ 卷（文）） 设首项为 1,公比为
2 的等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ,则
3
（
）
A． Sn
2an
1B． Sn 3an 2
C． Sn
4 3an
D． Sn
3 2an
4
．（ 2013 年高考辽宁卷（文） ） 下面是关于公差
d
0
的等差数列
an 的四个命题 :
p1 : 数列 an
是递增数列；
p2 : 数列 nan
是递增数列；
p3 : 数列 an
是递增数列；
p4 : 数列 an
3nd 是递增数列；
n
其中的真命题为
（
）
A． p1 , p2
B． p3 , p4
C． p2 , p3
D． p1 , p4
二、填空题
5
．（ 2013 年高考重庆卷（文） ） 若 2、 a 、 b 、 c 、 9 成等差数列 ,则 c a ____________.
6
．（北京卷（文） ） 若等比数列 an 满足 a2
a4
20, a3 a5
40 ,则公比 q =__________;
前 n 项 Sn =_____.
7
．（ 2013 年 高 考 广 东 卷 （ 文 ）） 设 数 列 { an } 是 首 项 为 1 , 公 比 为 2 的 等 比 数 列 , 则
a1 | a2 |
a3 | a4 | ________
8
．（ 2013 年高考江西卷（文） ） 某住宅小区计划植树不少于
100 棵 ,若第一天植 2 棵 ,以后每
天植树的棵树是前一天的
2 倍 ,则需要的最少天数 n(n∈ N*) 等于 _____________.
9
（． 2013 年高考辽宁卷 （文））已知等比数列
an 是递增数列 , Sn 是 an 的前 n 项和 ,若 a1， a3
是方程 x2
5x 4 0
的两个根 ,则 S6
____________.
10．（ 2013 年高考陕西卷（文） ）观察下列等式 :
(11) 2 1
(2 1)(2 2) 22 1 3
(3 1)(3 2)(3 3) 23 1 3 5
照此规律 , 第 n 个等式可为 ________.
11．（ 2013 年上海高考数学试题（文科）
） 在等差数列
an 中 , 若 a1 a2 a3 a4
30 ,则
a2 a3 _________.
三、解答题
12．（ 2013 年高考福建卷（文）
）已知等差数列
{ an } 的公差
d
1 ,前 n 项和为
Sn .
(1)若 1,a1, a3 成等比数列
,求 a1 ;
(2)若 S5
a1a9 ,求 a1 的取值范围
.
13．（ 2013 年高考大纲卷（文）
）等差数列
an
中 , a7
4, a19
2a9,
(I)求
an
的通项公式
;
(II)设 bn
1
nan
,求数列
bn
的前 n项和 Sn .
14．（ 2013 年高考湖北卷（文） ）已知 Sn 是等比数列 { an } 的前 n 项和 , S4 , S2 ,S3 成等差数列 ,且
a2 a3 a4 18 .
(Ⅰ )求数列 { an } 的通项公式 ;
(Ⅱ )是否存在正整数 n ,使得 Sn 2013 ?若存在 ,求出符合条件的所有 n 的集合 ; 若不存在 ,
说明理由 .
15（．2013 年高考湖南（文））设
S
a
n }的前项和 ,已知 a1
0
,2
a
a
S ? S
n
N
n 为数列 {
n
1
1n ,
(Ⅰ )求 a1 , a2 ,并求数列 { an }的通项公式 ;(Ⅱ)求数列 { nan }的前
n 项和 .
16．（ 2013 年高考重庆卷（文）
） (本小题满分
13 分,(Ⅰ )小问
7 分 ,(Ⅱ )小问
6 分 )
设数列
an
满足 : a1
1, an 1
3an , n
N
.
(Ⅰ )求
an
的通项公式及前
n 项和
Sn ;
(Ⅱ )已知 bn
是等差数列 ,Tn 为前 n 项和 ,且 b1 a2 , b3
a1 a2 a3 ,求 T20
17．（ 2013 年高考天津卷（文） ） 已知首项为
3
的等比数列 { an} 的前 n 项和为 Sn ( n
N*),且
2
2S2 , S3 , 4S4 成等差数列 .
(Ⅰ ) 求数列 { an } 的通项公式 ;
(Ⅱ ) 证明 Sn
1
13
Sn
( n N *) .
6
18．（2013 年高考山东卷 （文））设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 4S2 , a2 n 2an 1
(Ⅰ )求数列 an
的通项公式
(Ⅱ )设数列 bn
满足 b1
b2
ggg bn
1
1n , n N * ,求 bn
的前 n 项和 Tn
a1
a2
an
2
19．（ 2013 年高考浙江卷（文） ）在公差为 d 的等差数列 {an}中 ,已知 a1=10,且 a 1,2a2+2,5a3 成等
比数列 .
(Ⅰ )求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求 | a1|+| a2|+| a3|++| an| .
20．（ 2013 年高考四川卷（文） ） 在等比数列 { an } 中 , a2 a1
2 ,且 2a2 为 3a1 和 a3 的等差中
项,求数列 { an} 的首项、公比及前 n 项和
21 21 ．（ 2013 年高考课标
Ⅱ 卷（文））已知等差数列
an
的公 差不为零
,a1=25,且 a1,a11,a1 3
成等比数列
.
(Ⅰ )求
an
的通项公式
;
(Ⅱ )求
a1
a4
a7
L
a3n 2 .
（2013
年高考江西卷（文） ） 正项数列 {an}满足 an
2
(2 n 1)an 2n 0 .
(1)
求数列 {a }的通项公式 a ;
n
n
(2)
1
n
n
bn
(n 1)an
22．（ 2013年高考课标 Ⅰ 卷（文）） 已知等差数列 { an} 的前 n 项和 Sn 满足 S3 0 , S5 5 .
(Ⅰ )求 { an} 的通项公式 ;
1
} 的前 n 项和 .
(Ⅱ )求数列 {
a2 n 1a2n
1
1.【2012 高考安徽文
5】公比为 2 的等比数列 { an } 的各项都是正数，且
a3 a11
=16，则 a5 =
（A） 1
（B）2
（C） 4
（D）8
2.【 2012
高考全国文
6】已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ， a1
1， Sn
2an
1
， ,则 Sn
（A） 2n 1
（ B） ( 3 )n 1
（ C） ( 2) n 1
（ D）
1
2
3
2 n
1
4.【2012 高考辽宁文
4】在等差数列 {a }中，已知 a +a =16，则 a +a
10
=
n
4 8
2
(A) 12
(B) 16
(C) 20
(D)24
1. 【 2011 全国】6．设 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和，若 a1 1，公差为 d
2, Sk
2
Sk 24 ，
则 k=
A．8
B． 7
C． 6
D． 5
7. 【 2011 江西】 5.设{ an }为等差数列，公差 d = -2， Sn 为其前 n 项和，若 S10
S11 ，则 a1 =
（
） A.18B.20
C.22
D.24
8.
【浙江】（ 17）若数列
n( n
4)( 2)n
中的最大项是第
k 项，则 k =_______________ 。
9.
3
【2011 辽宁】 5．若等比数列 {an
}满足 a
n
n+1
n，则公比为
a
=16
A． 2
B． 4
C．8
D． 16
10.
【2011 辽宁】 15． Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和， S2=S6 ，a4 =1，则 a5=____________．
11.
【2011 重庆】 1．在等差数列
an 中， a2
2 ， a3
4,则 a10 ＝
A． 12 B． 14 C．16 D． 18
