求数列通项公式十一种方法总结计划（23页）

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的 11 种方法：

累加法、

累乘法、

待定系数法、

阶差法（逐差法） 、

迭代法、

对数变换法、

倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号） 、

数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式） 、

特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。

三 ．求数列通项的方法的基本思路是： 把所求数列通过变形， 代换转化为等级差数列或等比

数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于： an 1 an f (n) ---------- 这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。

2．若 an 1 an f ( n) (n 2) ，

a2

a1

f (1)

a3

a2

f (2)

则

L

L

an 1

an

f ( n)

n

两边分别相加得

an 1a1

f (n)

k

1

例 1 已知数列 { an } 满足 an 1 an 2n 1， a1 1 ，求数列 { an} 的通项公式。

解：由 an 1

an 2n 1得 an 1

an

2n 1 则

an (an

an 1 ) (an 1

an 2 )

L

(a3

a2 ) (a2

a1) a1

[2( n

1)

1]

[2( n

2)

1]

L

(2

2 1)

(211)1

2[(n

1)

(n

2)

L

2

1]

(n

1)

1

2 (n

1)n

(n

1)

1

2

(n 1)(n

1)

1

n2

所以数列 { an } 的通项公式为 an

n2

。

例 2

已知数列 {

an

} 满足 a

n 1

a

n

2 3n 1， a

3 ，求数列

{ an }

的通项公式。

1

解法一：由 an

1

an

2

3n

1得 an 1

an

2 3n

1 则

an ( an

an 1 ) (an 1

an 2 ) L

(a3

a2 ) (a2

a1 ) a1

(2

3n

1

1)

(2

3n

2

1)

L

(2

32

1)

(2 31

1) 3

2(3n 1

3n 2

L

32

31 )

(n

1)

3

2 3(1

3n

1 )

(n

1)

3

1

3

3n

3

n

1

3

3n

n

1

所以 an

3n

n

1.

解法二： an 1

3an

2 3n

1 两边除以 3n 1 ，得 an 1

an

2

1

，

3n 1

3n

3

3n

1

则

an 1

an

2

1

3

n 1

3

n

3

n 1 ，故

3

an

(

an

an

n

n

an

3

3

( 2

1n )

3

3

2(n

1)

3



1

)

(

an

1

an

2

an

n

2 )

1

1

3

( 2

3

n1

1 )

(

2

3

3

(

1

1

1

n

n

n

1

3

3

3



( an 2 an

3n 2 3n

1

3n 2 ) L

1

L

3n 2



33 ) L (a22 a11 )

a1

3

3

3

( 2

12 )

3

3

3

3

12 )

1

3

an

2(n 1)

1n (1

3n 1)

2n

1

1

3

因此

n

3

1

3

1

2

2

n

，

3

3

3

则 an

2 n 3n

1

3n

1 .

3

2

2

练习

1. 已知数列

an

的首项为

1 ，且 an 1

an

2n( n N * ) 写出数列

an 的通项公式 .

答案： n 2

n

1

anan 1

1

(n 2)

{ an }

a1

3

n( n 1)

练习

2. 已知数列

满足

，

，求此数列的通项公式.

an

1

2

答案：裂项求和

n

评注：已知 a1 a , an 1 an f (n) ，其中 f(n) 可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数

函数、分式函数，求通项 an .

①若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ;

②若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和 ;

③若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ;

④若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。

例 3. 已知数列 { an } 中 , an

Sn

1 (an

n )

0 且

2

an , 求数列 { an } 的通项公式 .

Sn

1 (an

n ) Sn

1 (Sn

Sn 1

n

)

解:由已知

2

an 得

2

SnSn 1

,

S2

S

2

1

n

, 由类型 (1) 有

S2

S

2

2 3

n

,

化简有 n

n

n

1

Sn2

n(n

1)

2n( n

1)

又 S1

a1 得 a1

1

sn

,

, 所以

2

, 又 an 0 ,

2

2n(n 1) 2n(n 1)

an

则 2

此题也可以用数学归纳法来求解 .

二、累乘法

1. 适用于：

an 1

f ( n)an

----------

这是广义的等比数列

累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若

an 1

f (n)

a2

a3

f (2)，L

an

1

f (n)

an

，则

f (1)，

L ，

a1

a2

an

an 1

n

a1

f (k )

两边分别相乘得，

a1

k

1

例 4

已知数列

{ an } 满足 an 1 2( n

1)5n

an， a1

3 ，求数列 { an} 的通项公式。

解：因为 an 1

2( n 1)5n

an， a1

3，所以 an

0

，则 an 1

2( n

1)5n ，故

an

an

an

an 1 L

a3 a2 a1

an

1

an

2

a2

a1

[2( n

1

1)5n 1 ][2( n

2

1)5n 2 ]

L

[2(2

1) 52 ][2(1 1)

51] 3

2n

1[ n(n

1)

L

3 2]

5(n 1)

( n 2)

L

2

1

3

2n 1

n (n

1)

3

5 2

n!

2n

1

n (n

1)

所以数列 { an } 的通项公式为 an

3

5

2

n!.

例 5.an

是首 1 的正 数列，且

n 1 an2

1 na n2

an 1 a n 0 （ n =1， 2， 3 ，?），

它的通 公式是

an =________.

解：已知等式可化 ： ( an 1 an ) (n 1)an 1 nan 0

an

1

n

an

0 ( n

N * )

(n+1) an

1

nan

0 ,

即 an

n

1

an

n 1

n

2 ， an 1

n

an

an

an 1

a2 a1

n 1 n 2

1 1 1

an 1

an 2

a1

=

n

n 1

2

= n .

注： 本 是关于 an 和 an 1 的二次 次式，可以通 因式分解（一般情况 用求根公式）得到

an 与 a n 1 的更 明 的关系式，从而求出 a n .

. 已知 an 1 na n n 1, a1 1, 求数列 {an} 的通 公式 .

答案： an (n 1)! (a1 1) -1.

注：本 解 的关 是把原来的 推关系式 an 1 na n n 1, 化

an 1 1 n(an 1), 若令 bn

a n 1, 一步 化 bn 1

nbn 形式， 而 用累乘法求

出数列的通 公式 .

三、待定系数法 适用于 an 1 qan f ( n)

基本思路是 化 等差数列或等比数列，而数列的本 是一个函数，其定 域是自然数集的一

个函数。

1．形如 an 1 can d , (c 0 , 其中 a1 a ) 型

1）若 c=1 ，数列 { an } 等差数列 ;

2）若 d=0 ，数列 { an } 等比数列 ;

3）若 c 1且d 0 时，数列 { an } 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列

来求 .

待定系数法：设 an 1 c(an ) ,

得 an 1 ca n (c 1) , 与题设 an 1 ca n d, 比较系数得

d

, ( c 0)

an

d

c(an 1

d )

(c 1)d , 所以 c

1

所以有：

c 1

c

1

d

d

a n

a1

因此数列

c 1 构成以

c 1 为首项，以 c 为公比的等比数列，

an

d

( a1

d ) cn 1

an

(a1

d ) c n 1

d

所以

c 1

c 1

即：

c 1

c 1 .

an 1

an 1

d

c(an

d

)

, 构造成公比为

c 的等比数

规律：将递推关系

can d 化为

c

1

c

1

{ an

d }

an 1

d

cn 1 (a1

c

d )

列

c

1 从而求得通项公式

1 c

1

逐项相减法 （阶差法）：有时我们从递推关系

an 1

can

d 中把 n 换成 n-1 有 an

can 1 d ,

两式相减有 an 1

an

c(an

an 1 ) 从而化为公比为

c 的等比数列 { an

1

an } , 进而求得通项公式 .

an 1

an

c n (a 2

a1 ) , 再利用类型 (1)

即可求得通项公式

. 我们看到此方法比较复杂 .

例 6 已知数列 { an } 中， a1 1,an 2an 1 1(n 2) ，求数列 an 的通项公式。

解法一： Q an 2an 1 1(n 2),

an 1 2(an 1 1)

又 Q a1 1 2, an 1 是首项为 2，公比为 2 的等比数列

an 1 2n ，即 an 2n

1

解法二： Q an 2an 1 1(n 2),

an 1 2an 1

两式相减得



an



1



an



2( an



an 1 )(n



2) ，故数列



an



1



an



是首



2，公比



2 的等

比数列，再用累加法的

{ an } 中， a1 2, an 1

1

an

1

, 求通 an 。

．已知数列

2

2

an

( 1) n 1

1

答案：

2

2．形如： a n 1p

an

q n

(

其中 q 是常数，且 n

0,1)

①若 p=1 ，即： a n 1

an

qn

，累加即可 .

②若

p

1

，即：

an

1

p

an

q n

，

求通 方法有以下三种方向：

i.

两 同除以

p n 1

. 目的是把所求数列构造成等差数列

an 1

an

1 p

n

an

bn 1 bn

1 p

n

p n 1

q n

( )

bn

( )

即：

p q

, 令

p n

p q

, 然后 型

1，累加求通 .

，

两 同除以 q n 1 . 目的是把所求数列构造成等差数列。

an 1

p

an

1

即： q n 1

q

q n

q ,

an

p

1

bn

bn 1

bn

令

q n

, 可化

q

q . 然后 化 型

5 来解，

待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列

a n 1 q n 1 p(an pn ) . 通 比 系数，求出 ， 化 等比数列求通 .

注意：应用待定系数法时，要求 p q，否则待定系数法会失效。

例 7 已知数列

{ an}

满足

an 1 2an

4 3n 1， a1

1

，求数列

an

的通项公式。

解法一（待定系数法） ：设

an 1

13n

2 (an

3n 1 )

，比较系数得

1

4, 2

2

，

则数列

an 4 3n

1

是首项为 a1

4 311

5 ，公比为

2 的等比数列，

所以 an

4 3n 1

5 2n 1 ，即 an

4 3n 1

5 2n 1

q n

1

3n 1

an

1

2

an

4

解法二（两边同除以

）： 两边同时除以

得： 3n

1

3

3n

32

，下面解法略

p n

1

an

1

an

4

(

3

)

n

解法三（两边同除以

）： 两边同时除以

2 n 1 得： 2n

1

2 n

3

2

，下面解法略

练习 . （ 2003 天津理）

设

a0

为 常 数 ， 且 an 3n 1

2an 1 ( n N ) ． 证 明 对 任 意

n ≥ 1 ，

1

[3n

( 1) n 1 2n ] ( 1) n 2n a0

an

5

；

3．形如 an 1 pan kn b ( 其中 k,b 是常数，且 k 0 )

方法 1：逐项相减法（阶差法）

方法 2：待定系数法

通过凑配可转化为

(an xn y) p(an 1 x(n 1) y) ;

解题基本步骤：

1、确定 f (n) =kn+b

2、设等比数列 bn (an xn y) ，公比为 p

3、列出关系式 ( an xn y) p( an 1 x(n 1) y) , 即 bn pbn 1

4、比较系数求 x,y

5、解得数列 (an xn y) 的通项公式

6、解得数列 an 的通项公式

例 8 在数列 { an } 中， a1 1, an 1 3an 2n, 求通项 a n . （逐项相减法）

解： ， an 1 3an 2n, ①

n 2 时， an

3an 1 2( n 1) ，

两式相减得

an 1

an

3(an

an 1 )

2 . 令 bn

a n 1

an , 则 bn

3bn

12

利用类型 5 的方法知 bn

5 3n 1

2

即

an 1

an

5 3n 1

1

②

an

5

3n 1

n

1

.

a n

5

3n 1

n

1

再由累加法可得

2

2

亦可联立

①

②解出

2

2 .

例 9.

a1

3 ,2an

an 1 6n 3

在数列 { an } 中，

2

, 求通项 an . （待定系数法）

解：原递推式可化为

2(an xn y) an 1 x(n 1)y

比较系数可得： x=-6,y=9, 上式即为 2bn bn 1

所以 bn

b1

a1

6n 9

9

1

bn

9 (1 ) n 1

是一个等比数列，首项

2,公比为 2.

2 2

即：

an 6n

9

9 ( 1) n

2

an

9

(1 ) n

6n

9

故

2

.

4．形如 an 1 pan a n2 b n c ( 其中 a,b,c 是常数，且 a 0 )

基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

例 10 已知数列 { an} 满足 an 1 2an 3n2 4n 5， a1 1，求数列 { an} 的通项公式。

解：设 an 1 x(n 1)2 y(n 1) z 2(an xn2 yn z)

比较系数得 x

3, y 10, z 18 ，

所以 an 1 3(n 1)2 10(n 1) 18 2( an 3n2 10n 18)

由 a1 3 12 10 1 18 1 31 32 0 ，得 an 3n2 10n 18 0

则 an 1

3(n 1)2

10(n

1)

18

2 ，故数列 { an

3n2

10n 18} 为以

an

3n2

10n

18

a1

3

12

10

1

18

1

31

32

为首项，以

2 为公比的等比数列，因此

an

3n

2

10n

18

32

2n 1

，则 an 2n 4

3n2

10n

18 。

5. 形如 an 2 pan 1 qan 时将 an 作为 f (n) 求解

分析：原递推式可化为an 2

an 1

( p

)(an 1

an ) 的形式，比较系数可求得

，数列

an 1 an 为等比数列。

例 11 已知数列 { an} 满足 an 2

5an 1

6an , a1

1,a2

2 ，求数列 { an } 的通项公式。

解：设 an 2 an 1 (5 )(an 1 an )

比较系数得 3 或 2 ，不妨取 2 ，（取 -3 结果形式可能不同，但本质相同）

则

an 2

2an 1

3(an

1

2an )

，则

an 1

2an

是首项为

4，公比为 3 的等比数列

an 1

2an

4 3n 1

，所以 an

4 3n 1

5 2n 1

练习 . 数列 { an } 中，若 a1 8, a2 2 , 且满足 an 2 4an 1 3an 0, 求 an .

答案：

an

11

3n

.

四、迭代法

an

1

pa nr ( 其中 p,r 为常数 ) 型

例 12

已知数列 { an} 满足 an 1

an3( n 1)2 n， a1

5，求数列 { an} 的通项公式。

解：因为 an 1

an3( n 1)2 n ，所以

anan3n12n 1

[ an3( n2 1) 2n 2 ] 3n 2n 1

an32 (2n 1) n 2( n 2) ( n 1)

[a

3( n 2) 2n 3 ]32 ( n 1) n 2(n 2) (n 1)

n 3

an33 (3n 2)( n

1) n 2(n 3)

(n 2) ( n 1)

L

a13n 1 2 3L L (n 2) ( n 1) n 21 2 L L ( n 3) (n 2) ( n 1)

n( n 1)

n 1

2

a13

n! 2

n( n 1)

又 a1

5 ，所以数列 { an} 的通项公式为 an53

n 1

n! 2

2

。

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

例 13. （ 2005 江西卷）

已知数列 { an }的各项都是正数 , 且满足 : a0 1, an 1

1

an (4 an ), n N

2

，

（ 1）证明 an an 1 2, n N ; （2）求数列 { an } 的通项公式 an.

an 1

1 an (4 an )

1 [ (an 2) 2

4],

2(an 1 2)(an 2)

2

解：（ 1）略（ 2）

2

2

所以

令 bn

a n 2,则 bn

1 bn2 1

1 (

1 bn2

2 ) 2

1

( 1 ) 2 bn2 21

(1)1 2

2 n 1 bn2n

2

2

2

2

2

2

又 bn=－ 1，

bn

( 1) 2n 1 ,即 an

2 bn

2 ( 1 )2 n 1

所以

2

2.

1

2

方法 2：本题用归纳 - 猜想 - 证明，也很简捷，请试一试

. 解法 3：设 c n

bn ，则 c n

2

cn 1

, 转化为

上面类型（ 1）来解

五、对数变换法

适用于

an 1

panr

( 其中 p,r 为常数 ) 型 p>0

，

an

0

例 14.

设正项数列

an

满足

a1

1

，

an

2an2

1

（ n≥ 2） . 求数列

an

的通项公式 .

解：两边取对数得：

log

2an

1

2 log 2an 1

log 2an

1

2(log 2an 1

1)

，设

bn

log 2an

1

，则

，

bn

2bn

1

bn

是以 2 为公比的等比数列，

b1

log 12

1

1

bn

1 2n 1

2n 1

，

log 2a n

1

2n

1

， log 2an

2n 1

1 ，∴ an

22 n 1

1

练习 数列

an

中，

a1

1

，

a n

2 an 1

（ n≥2），求数列

an

的通项公式 .

答案： an

2 2

2 2 n

例 15

已知数列 {

an

} 满足 a

2 3n

a5

，

a1

7

，求数列

{ an }

的通项公式。

n 1

n

解：因为 an 1 2 3n an5， a1 7 ，所以 an 0， an 1 0 。

两边取常用对数得

lg an

1

5lg an n lg3

lg 2

设 lg an 1

x(n

1) y

5(lg an

xn

y)

（同类型四）

比较系数得，

x

lg3 , y

lg3

lg 2

4

16

4

由 lg a1

lg3

1

lg3

lg 2

lg 7

lg3

lg3

lg 2

lg3

lg3

lg 2

4

16

4

4

1

16

4

0 ，得 lg an

n

0 ，

4

16

4

所以数列 {lg an

lg3 n

lg3

lg 2} 是以 lg 7

lg3

lg3

lg 2

为首项，以

5 为公比的等比数列，

4

16

4

4

16

4

则 lg an

lg3

n

lg3

lg 2

(lg 7

lg3

lg3

lg 2)5n

1 ，因此

4

16

4

4

16

4

lg an

(lg 7

lg 3

lg 3

lg 2)5n

1

lg 3 n lg 3

lg 2

4

16

4

4

6

4

1

1

1

n

1

1

[lg(7

34

316

24 )]5n

1 lg(3 4

316

2 4 )

1

1

1

n

1

1

lg(7

34

316

24 )5n 1

lg(3 4

316 24)

lg(75 n 1

5 n

4 n 1

5n 1

1

3

16

2

4

)

75n 1

5n 4 n 1

5n 1

1

则 a

3 16

2 4

。

n

六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项

例 16

已知数列 { an} 满足 an 1

2an

, a1 1，求数列 { an} 的通项公式。

an

2

解：求倒数得

1

1

1 ,

1

1

1 ,

1

1 为等差数列，首项

1

1 ，公差为

1 ，

an 1

2

an

an 1

an

2

an 1

an

a1

2

1

1

1),

an

2

an

( n

n 1

2

七、换元法

适用于含根式的递推关系

例 17 已知数列 { an } 满足 an 1

1 (1

4an1 24an )，a1

1 ，求数列 { an } 的通项公式。

16

解：令 bn

1

24an ，则 an

1 (bn2

1)

24

代入 an 1

1 (1 4an

1

24an ) 得

16

1 (b2

1

1)

1[1 4

1 (b

2

1) b ]

n

16

n

n

24

24

即 4bn2

1

(bn

3)2

因为 bn 1 24an 0，

则 2bn 1

bn

1

bn

3

3 ，即 bn 1

2

，

2

可化为 bn 1

3

1 (bn

3) ，

2

所以 { bn

3} 是以 b1

3

1

24a1

3

1

24

1

3 2 为首项，以

1 为公比的等比数列，因此

2

bn

3

2(

1

)n

1

(

1

)n

2 ，则 bn

(

1

) n 2

3

，即

1

24an (

1

) n 2

3 ，得

2

2

2

2

an

2 (1 ) n

( 1)n

1 。

3

4

2

3

八、数学归纳法

通过首项和递推关系式求出数列的前

n 项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳

法加以证明。

例 18 已知数列 { an } 满足 an 1

an

8(n 1)

， a1

8 ，求数列 { an } 的通项公式。

(2 n

1) 2 (2 n 3)2

9

解：由 an 1

an

8( n 1)

及 a1

8

(2 n 1)2 (2n 3)

2

，得

9

a2

a1

8(1

1)

8

8

2

24

(2

1

1)2 (2

1

3)2

9

9

25

25

a3

a2

8(2

1)

24

8

3

48

(2

2

1)2 (2

2

3)2

25

25

49

49

a4

a3

8(3

1)

48

8

4

80

(2

3

1)2 (2

3

3) 2

49

49

81

81

由此可猜测 an

(2 n

1)2

1 ，下面用数学归纳法证明这个结论。

(2 n

1)2

（ 1）当 n

1 时， a1

(2

1

1)2

1

8 ，所以等式成立。

(2

1

1)2

9

（ 2）假设当 n

k 时等式成立，即 ak

(2 k

1)2

1 ，则当 n

k 1时，

(2 k

1)2

ak 1

ak

8(k

1)

(2k

1)2 (2k

3)2

[(2 k

1)2

1](2k

3)2

8(k 1)

(2 k 1)2 (2k 3)2

(2k

1)2 (2k

3)2

(2k

1)2

(2k

1)2 (2k

3)2

(2k

3)2

1

(2k

3)2

[2( k

1)

1]2

1

[2(k

1)

1]2

由此可知，当 n k 1时等式也成立。

根据（ 1），（ 2）可知，等式对任何 n N * 都成立。

九、阶差法（逐项相减法）

1 、递推公式中既有 Sn ，又有 an

分析：把已知关系通过

an

S1, n 1

转化为数列

an

或 Sn 的递推关系，然后采用相应的

Sn

Sn 1 ,n

2

方法求解。

例 19 已知数列 { an} 的各项均为正数，且前

n 项和 Sn 满足 Sn

1

, a4

, a9 成

(an 1)(an 2) ，且 a2

6

等比数列，求数列

{ an} 的通项公式。

解：∵对任意 n

N 有 Sn

1

1)(an

2)

(an

⑴

6

∴当 n=1 时， S1

a1

1 ( a1

1)(a1

2) ，解得 a1

1或 a1

2

6

当 n≥2 时， Sn 1

1

2)

(an 1 1)(an 1

⑵

6

⑴ - ⑵整理得： (an an

1 )(an

an 1

3) 0

∵ { an} 各项均为正数，∴

an

an 1

3

当 a1 1时， an

3n 2 ，此时 a42

a2a9 成立

当 a1 2 时， an 3n 1 ，此时 a42 a2a9 不成立，故 a1 2 舍去

所以 an 3n

2

练习。

　已知数列 { an } 中 , an

0 且 Sn

1

(an

1) 2

, 求数列 { an} 的通项公式 .

2

答案： Sn

Sn 1 a n

( an

1)2

( an 1 1) 2

an 2n 1

2、对无穷递推数列

例 20 已知数列 { an} 满足 a1 1， an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1( n 2) ，求 { an } 的通项公式。

解：因为 an a1 2a2 3a3 L (n 1)an 1 (n 2) ①

所以 an 1 a1 2a2 3a3 L ( n 1)an 1 nan ②

用②式－①式得 an 1 an nan .

则 an 1 (n 1)an ( n 2)

an

1

n 1(n 2)

故

an

an

an 1

a3

a2 [ n(n 1) L 4 3]a2

n!

③

所以 an

an 2

L

a2.

an 1

a2

2

由 an

a1 2a2 3a3

L ( n

1)an 1 (n

2) ， 取 n

2得 a2

a1 2a2 ，则 a2

a1 ，又知 a1

1 ，

则 a2

1，代入③得 an

1 3 4

5 L n

n!

。

2

n!

所以， { an} 的通项公式为 an

.

2

十、不动点法 目的是 将递推数列转化为等比（差）数列的方法

不动点的定义：函数 f (x) 的定义域为 D ，若存在 f ( x) x0 D ，使 f (x0 ) x0 成立，则称 x0 为

f ( x) 的不动点或称 ( x0 , f ( x0 )) 为函数 f (x) 的不动点。

分析：由 f ( x) x 求出不动点 x0 ，在递推公式两边同时减去 x0 ，在变形求解。

型一：形如 an

1 qan d

例 21

已知数列 { an} 中， a1

1,an

2an 1

1(n

2) ，求数列

an 的通 公式。

解： 推关系是 得 函数

f (x) 2x

1

，由 f ( x) x 得，不 点 -1

∴ an 1

1

2(an

1) ，

型二：形如 an

a an

b

1

d

c an

分析： 函数

f ( x)

a

x

b

c

x

d

（ 1 ）若有两个相异的不 点

p,q

，将 关系式两 分 减去不 点

p,q ，再将两式相除得

an 1

p

k an

p ，其中 k

a

pc ，∴ an

( a1q pq) kn 1

(a1 p

pq)

an 1

q

an

q

a qc

(a p) kn 1

(a q)

1

1

（ 2 ） 若 有 两 个 相 同 的 不 点 p ， 将 关 系 式 两 减 去 不 点 p ， 然 后 用 1 除 ， 得

1

1

k ，其中 k

2c 。

an 1

p an

p

a d

例 22.

5an

4

数列 { an} 足 a1 2, an 1

, 求数列 { an } 的通 公式 .

2an

7

分析：此 常用参数法化等比数列求解 .

解： 等式两端同 加参数 t, 得：

5an

4

(2t

5) an

7t

an

7t

4

2t 5 ,

an 1

t

(2t

5)

2an

t

2an

7

7

2an

7

令 t

7t

4

,

解之得 t=1,-2

代入 an 1 t

(2t

5)

an

t

2t

5

得

2an

7

an 1

1 3

an

1

an

2

, an 1

2 9

,

2an

7

2an

7

相除得

an 1

1

1 an

1

an

1

a1

1 1

，

, 即 {

} 是首

an 1

2 3 an

2

an

2

a1

2 4

公比

1

a n

1

1 1 n

,

4 3n 1

2

3

的等比数列 ,

=

3

解得 an

3n

1

.

an

2

4

4

1

方法 2：

,

an 1

1

an

1

3

7

，

2an

两边取倒数得

1

2an

7

2( an

1) 9

2

3

，

an 1

1 3(an

3( an 1)

3 an

1)

1

令 b n

1

，则 b n

2

3bn ,

, 转化为累加法来求 .

an

1

3

例 23

已知数列 { an} 满足 an 1

21an

24 ，a1 4

，求数列 { an } 的通项公式。

4an

1

解：令 x

21x

24 ，得 4x2

20 x 24

0 ，则 x1

2， x2

3 是函数 f ( x)

21x

24 的两个不

4x

1

4x

1

动点。因为

21an

24

2

an 1

2

4an

1

21an

24

2(4 an

1)

13an

26

13 an

2 。所以数列

an

2 是

an 1

3

21an

24

3

21an

24

3(4an

1)

9an

27

9 an

3

an

3

4an

1

以 a1

2 4 2

2 为 首 项 ， 以 13 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故 an

2

2(13 )n 1 ， 则

a1

3

4

3

9

an

3

9

an

1

3 。

2(13)n 1

1

9

练习 1：已知 { an } 满足 a1 2, an

an

1

2 (n

2) ，求 { an } 的通项 an

2an 1

1

答案：

an

3n

(

1)n

3n

(

1)n

练习 2。

　已知数列 { an } 满足 a1

2, an 1

2an

1 (n

N * ) ，求数列 { an } 的通项 an

4an

6

答案：

an

13

5n

10n

6

练习 3. （ 2009 陕西卷文）

已知数列满足， .

令，证明：是等比数列；

( Ⅱ ) 求的通项公式。

答案：（ 1）是以 1 首 ， 公比的等比数列。

（ 2）。

十一。

　特征方程法

形如 an

2

pan 1

qan ( p, q 是常数）的数列

形如 a1

m1, a2

m2 , an 2

pan 1

qan ( p, q 是常数）的二 推数列都可用特征根法求得通

an ，其特征方程

x2

px

q ?①

若①有二异根

,

， 可令 an

c1

n

c2

n (c1, c2 是待定常数）

若①有二重根

， 可令 an (c1

nc2 )

n (c1, c2 是待定常数）

再利用 a1 m1, a2

m2 , 可求得 c1,c2 ， 而求得 an

例 24 已知数列 { an } 足 a1

2, a2

3, an 2

3an 1 2an (n

N * ) ，求数列 { an } 的通 an

解： 其特征方程

x2

3x 2 ，解得 x1

1,x2

2 ，令 an

c1

1n

c2 2n ，

由 a1

c1

1

c1

2c2

2 ，得

1 ，

an

1 2n 1

a2

c1

4c2

3

c2

2

例 25

已知数列 { an } 足 a1

1,a2

2, 4an 2

4an 1 an (n

N * ) ，求数列 { an } 的通 an

解： 其特征方程 4x2

4x 1，解得 x1

x2

1

，令 an

c1 nc2

1

2

2



n

，

a1

(c1

1

1

c2 )

c1

4

3n 2

由

2

1

，得

，

an

a2

(c1

c2

6

2n 1

2c2 )

2

4

1． 已知数列 { an } 足 a1

1,a2

2,4an 2

4an 1 an

1(n

N * ) ，求数列 { an} 的通

2． 已知数列 { an } 足

a1 1,a2

2, 4an 2

4an 1

an

n

4(n

N * ) ，求数列 { an } 的通

明 ：(1)

若方程 x2

px

q 有两不同的解 s , t,

an 1 ta n s(an

ta n 1 ) , an 1

san

t (an

san 1 ) ,

由等比数列性 可得

an 1

ta n

(a2

ta1 ) sn 1 ,

an 1 san

(a2

sa1 )t n 1 ,

t

s, 由上两式消去 an

1 可得 an

a2

ta1

.sn

a2

sa1 .t n .

s s t

t s

t

(2)

若方程 x2

px

q 有两相等的解

s

t ，

an 1

ta n

s an

tan 1

s2 (an 1

ta n 2 )

sn 1 a2

ta1 ，

an

1

an

a2

ta 1 ,

即

an

是等差数列，

sn

1

sn

s2

sn

由等差数列性 可知

an

a1

n

1 . a2

sa1

，

sn

s

s2

所以 a n

a1

a 2

sa1

a 2

sa1

.n s n ．

s

s2

s 2

5

a2

25

例 26、数列 { an} 足 a1

n

4

求数列 { an} 的通 。

，且 an

1

12

2an

29

4

an2

25

an2

2 an

29

25

解： an

1

an 1

4

4

4 ①

29

2an

29

2an

4

4

令

2

29

25

1,

25

4

，解得

1

2

4

，将它 代回①得，

2

an

2

an

25

25

4

a

1

1

③，

1

②， an 1

29

n

2an

29

4

2an

4

4

25

25

2

an

an

1

4

③÷②，得

4

,

an 1 1

an

1

an

1

25

an

25

an

25

4

4

4

lg

an 1

2lg

an

，∴数列

lg

成等比数列，首

1，公比 q=2

1

1

an

1

an

25

an

25

102n 1 ，

25

102n

1

所以 lg

4

2n 1 ，

4

a

4

n 1

an

1

an

1

n

102

1

十二、 四种基本数列

1．形如 an

1an

f ( n) 型

等差数列的广义形式，见累加法。

2. 形如

an 1

f (n) 型

等比数列的广义形式，见累乘法。

an

3. 形如 an 1

an

f (n) 型

（ 1）若 an 1

an

d （ d 为常数），则数列 { an } 为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为

2，

其通项分奇数项和偶数项来讨论

;

（ 2）若 f(n)

为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为

an 1

an

f (n) 型，通过累加来求出通

项 ; 或用逐差法 ( 两式相减 ) 得 an 1

an

1

f (n)

f (n

1) ，，分奇偶项来分求通项 .

例 27.

数列 {

a n } 满足 a1

0 , a n 1

an

2n , 求数列 { an} 的通项公式 .

分析 1 ：构造

转化为 an 1

an

f ( n) 型

解法 1：令 bn

( 1) n an

则 bn 1

bn

( 1) n 1 an 1

( 1) n an

( 1) n 1 (an 1

an ) ( 1) n 1 2n .

bn

bn 1

( 1) n

2(n 1)

bn

1

bn

2

(

1) n 1 2(n

2)

n

2

时

,

各

式

相

b2

b1

(

1) 2

2

1

b1

a1

0

加 :

bn

2 ( 1) n (n

1) ( 1) n 1 (n 2)

(1)32 (1)21

当 n

为 偶 数 时 ， bn

n

2

n . 此 时 an

bn n

当 n 为 奇 数 时 ，

2 (n 1) ( 1)

2

bn

2( n

1)

n

1

2

n

为奇数

,

bn

an

an

n

1

.

a n

2 ：

此

时

,

所

以

故

为偶数

.

解

法

n, n

an 1 an 2n

n 2 时， an an 1 2(n 1) ，两式相减得： an 1 an 1 2 .

a1 , a3 , a5 , , 构成以 a1 , 为首项，以 2 为公差的等差数列 ;

a2 , a4 , a6 ,

, 构成以 a2 , 为首项，以 2 为公差的等差数列

a2 k 1

a1

(k 1)d 2k 2

a2 k

a2 (k 1)d

2k .

n

为奇数

,

an

1, n

评注：结果要还原成

n 的表达式 .

为偶数

.

n, n

例 28. （ 2005 江西卷）已知数列 {

n} 的前 n 项和 Sn 满足

a

S－S =3

(

1

n

1

(n

3), 且 S1

3

, 求数列 { a } 的通项公式 .

nn－ 2

2

2

n

1 )n

解：方法一：因为

Sn

Sn

2an

an 1所以 an

an 1

3 (

1 (n 3),

2

以下同上例，略

4

3 (1 ) n 1 , n为奇数 ,

答案

an

2

( 1 ) n 1 , n为偶数 .

4

3

2

4. 形如 an 1

an

f ( n) 型

（ 1）若 an 1

an

p (p 为常数 ) ，则数列 { an } 为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为

2，其

通项分奇数项和偶数项来讨论

;

（ 2）若 f(n)

为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得

an

an 1

f (n 1) ，两式相除后，分奇偶

项来分求通项 .

例 29. 已知数列 { an } 满足 a1 3, an an 1

(

1

) n , (n

N * ) , 求此数列的通项公式 .

2

注：同上例类似，略 .

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