数列知识点总结
时间：2020-09-24 09:46:53 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
数列 知识点总结
等差数列
知识要点
1．递推关系与通项公式
是数列 成等差数列的充要条件。
2．等差中项：
若 成等差数列，则 称 的等差中项，且 ； 成等差数列是 的充要条件。
3．前 项和公式 ；
是数列 成等差数列的充要条件。
4．等差数列 的基本性质
m na adna add n a ad m n a ad n a ad a am nnnm nnn n 1; ) 1 () () 1 (1111变式：推广：通项公式：递推关系：为常数）
即：特征：m k m kn n f ad a dn ann, ( , ) (), (1 ) , 为常数 ，（ m k m kn a n nac b a , , b c a与2c ab c b a , ,c a b 2n2) (1n a aSnn2) 1 (1d n nna S n ) , () (, )2(22212为常数即特征：B A Bn An SBn An n f Snda ndSnnn na na ) , , , (N q p n m 其中
⑴ 反之，不成立。
⑵
⑶
⑷ 仍成等差数列。
5．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
是等差数列 ②中项法：
是等差数列 ③通项公式法：
是等差数列 ④前 项和公式法：
是等差数列 q p n ma a a a q p n m ，则 若d m n a am n) ( m n m n na a a 2n n n n nS S S S S2 3 2, , ）
常数）（ N n d a an n(1 na) 22 1 N n a a an n n（ na) , ( 为常数 b k b kn a n nan) , (2为常数 B A Bn An S n na
等比数列 知识要点
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为 。
递推关系与通项公式
等比中项：若三个数 成等比数列，则称 为 的等比中项，且为是成等比数列的必要而不充分条件。
前 项和公式
等比数列的基本性质，
① 反之不真！
②
③ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列。
④ 仍成等比数列。
等比数列与等比数列的转化 ① 是等差数列 是等比数列； ② 是正项等比数列 是等差数列； ③ 既是等差数列又是等比数列 是各项不为零的常数列。
等比数列的判定法 ①定义法：
为等比数列； ) 0 q q，（m nm nnnn nq a aq a aqa a 推广：通项公式：递推关系：111c b a , , b c a与ac b ac b 2，注：n) 1 (1 1) 1 () 1 (1 11 qqq a aqq aq naSnnn) , , , (N q p n m 其中q p n ma a a a q p n m ，则 若) (2 N n a a aaaqm n m n nmn m n， na ， ， ， 时，n n n n nS S S S S q2 3 21 na ) 1 0 ( c c cna， na ) 1 0 ( log c c a nc， na na （常数）
qaann 1 na
②中项法：
为等比数列； ③通项公式法：
为等比数列；④前 项和法：为等比数列。
一．求数列 的最大、最小项的方法：
1、比差法：
2、比商法：
( ) 3、利用函数的单调性：
研究函数 的增减性 二．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。
1、分组法求数列：通项虽然不是等差等比数列，但通过拆分可以化为由等差、等比的和的形式，再分别用公式法求和。
2、错位相减法：利用等比数列前 项和公式的推导方法求解，一般可解决一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和。
说明：一般地，如果数列 是等差数列， 是等比数列且公比为 ，求数列的前 项和时，可采用这一思路和方法。具体做法是：乘以常数 ，然后错位相减，使其转化为等比数列问题求解。
要善于识别题目类型，特别是当等比数列部分中公比为负数的情形更值得注意。
在写出“ ”与“ ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“ ”的表达式； 3、裂项相消法：将数列的通项裂成两项之差求和时，正负相消，剩下首尾若干若。
常见裂项有：
、
4、倒序相加法：利用等差数列前 项和公式的推导方法求解，将数列正着写，倒着写再相加。
) 0 (221 n n n na a a a na 为常数）
q k q k ann, ( na n 为常数）
（ q k q k Snn, ) 1 ( na} {na 0001 n na a1111nnaa0 na) (n f a n ) (n fn na nb q n nb a n qnSnqSn nqS S )1 1(1) (1k n n k k n n ) (1 1n k nk n k n n
说明
错位相减法求和 ①若数列 是等差数列， 是等比数列，则求数列 的前 项和时，可采用错位相减法； ②当等比数列公比为字母时，应对字母是否为 1 进行讨论； ③当将 与 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号。
裂项相消法求和 ①若数列 的通项能转化为 的形式，常采用裂项相消法求和。
②使用裂项消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项。
na nb n nb a nnS qnS na ) ( ) 1 ( n f n f
