2020年新版初中数学经典几何题及答案附知识点及结论总结x

时间：2020-09-27 07:23:37　来源：小苹果范文网本文已影响人

经典难题（一）

已知：如图，0是半圆的圆心,

求证：CD = GF.（初二）

C、E是圆上的两点， CD丄AB , EF丄AB , EG丄CO .

已知：如图， P是正方形 4BCD内点，/ PAD =Z PDA = 15°. 求证：△ PBC是正三角形.（初二） ..4

如图，已知四边形 4BCD、A1B1C1D1都是正方形，中占

I 八、、?

求证：四边形 A2B2C2D2是正方形.（初二）

已知：如图，在四边形 4BCD中，AD = BC , M、

MN 于 E、F. 求证：/ DEN =Z F .

经典难

已知：△ 4BC中，H为垂心（各边高线的交点），

（1）求证：AH = 20M ;

（2）若/ B4C = 60°,求证：4H = 40 .（初二）

设MN是圆O外一直线，过线EB及CD分别交MN于求证：4P = 4Q ?（初二）

0作0A丄MN于4 , P、Q.

42、B2、C2、

N分别是4B

题（二）B

0为外心，且

D2分别

1、BB1

1、DD1 的

DA2r7/

CD /的中点

丄BC

自4引圆的两条I

交圆于

“PG

BC-'

勺延长线交

如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

B弋

设MN是圆0的弦，过 MN的中点4任作两弦 BC、DE，设CD、

C 求证：4P = 4Q .（初二）

如图，分别以厶 ABC的4C和BC为一边，在△ ABC的外侧作正方形 A 是EF的中点.

求证：点P到边4B的距离等于

4B的一半.（初二）

DE II 4C ,

4E = AC , AE

如图，四边形 4BCD为正方形，

求证：CE = CF.（初二）

如图，四边形 4BCD为正方形，求证：4E = 4F .（初二）设P是正方形 4BCD 一边BC上的任一点,―PF丄AP , CF平分/ 求证：PA = PF.（初二） "■

如图，PC切圆0于C, 4C为圆的直径，PEF为圆的割线，-4E、 AB = DC , BC = AD .（初三）

DE II 4C ,

且CE = C4，直线EC

正方形

、Q.

:BFG

M -

、」0

-G-/B

地Q /

A -

八Qj

交于F

D .求证:

经典难

题（四）

已知：△ 4BC是正三角形，P是三角形内一点， P4 = 3, PB 求：/ 4PB的度数.（初二） P —一 _

设P是平行四边形 4BCD内部的一点，且/ PB4 =Z PD4 .

求证：/ P4B =Z PCB .（初二）

PC 二 5-

丄0

P__'

设4BCD 为圆内接凸四边形，求证： 4B ? CD + 4D ? BC = 4C ? BD .

1、

2、

3、

4、

1、

2、

3、

4、

1、

2、

3、

4、

1、

2、

3、

4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE = CF .求证：/ DPA =Z DPC .（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ ABC内任一点,

APPCCDCBD200,

D200,

< LV 2.

2、已知：P是边长为1的正方形 ABCD内的一点，求 PA + PB + PC的最小值.

3、P为正方形 ABCD内的一点，并且 PA = a, PB = 2a, PC= 3a,求正方形的边

DCA 尸 300, / EBA4、如图，△ ABC 中，/ ABC =Z ACB = 80°, D、E 分别是 AB

DCA 尸 300, / EBA

经典难题（一）

如下图做 GH丄AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以/ GFH =Z OEG,

阳 ―EO GO CO B

即厶GHF OGE,可得 = = ,又CO=EO，所以CD=GF得证。

GF GH CD

如下图做厶DGC使与△ ADP全等，可得△ PDG为等边△，从而可得

△ DGC APD CGP,得岀 PC=AD=DC,和/ DCG= / PCG = 15°

所以/ DCP=30 °，从而得岀△ PBC是正三角形

如下图连接BG和AB分别找其中点F,E.连接C2F与AE并延长相交于Q点,

连接EB2并延长交CQ于H点，连接FR并延长交AQ于G点，

由 AE=；AiB=；BC= FB2 , EB=； AB=； BC=F C，又/ GFQ+ / Q=900 和

/ GEB2+Z Q=90°,所以/ GEB^=/ GFQ 又/ B2FC2=Z A2EB2 ,

可得△ B2FC2A2EB2，所以 A2B2=B2C2 ,

又/ GFQ+ / HB2F=90°和/ GFQ= / EB2A2 ,

从而可得/ A2B2 C2=90°，

同理可得其他边垂直且相等，

从而得岀四边形 A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点 Q 连接QN和QM所以可得/ QMF= / f，z qnm= / den和/ QMN= / QNM，从而得岀/ DEN =Z F。

经典难题(二)

1.(1)延长 AD到 F 连 BF,做 OGAF,

又/ F= / ACB= / BHD，

可得BH=BF,从而可得 HD=DF，

又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接 OB OC既得/ BOC=120 0，

从而可得/ BOM=60 °,

所以可得 OB=2OM=AH=AO,

得证。

作 OF! CD OGL BE，连接 OP, OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

AD AC CD 2FD FD

由于 = = = =一

AB AE BE 2BG BG

由此可得厶ADF ABG，从而可得/ AFC= / AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= / AOP和/ AGE= / AOQ ,

/ AOP= / AOQ，从而可得 AP=AQ。

过E,C,F点分别作AB所在直线的高EQ CI, FH可得PQ=EG + FH。

由厶 EGA AIC，可得 EG=AI，由△ BFH CBI，可得 FH=BI。

AI + BI AB

从而可得PQ= = ，从而得证。

2 2

经典难题(三)

顺时针旋转△ ADE，到△ ABG，连接CG.

由于/ ABG= / ADE=90 °+45°=135°

从而可得B , G , D在一条直线上，可得△ AGB ◎△ CGB。

推岀AE=AG=AC=GC，可得△ AGC为等边三角形。

/ AGB=30 °,既得/ EAC=30 °，从而可得/ A EC=75 °。

又/ EFC= / DFA=45 °+30°=75°.

可证：CE=CF。

连接BD作CHL DE，可得四边形 CGDH是正方形。

由 AC=CE=2GC=2CH ,

可得/ CEH=3°°,所以/ CAE= / CEA= / AED=15 °,

又/ FAE=90 °+45°+15°=150°,

从而可知道/ F=15°，从而得岀 AE=AF。

3.作FG! CD FE丄BE，可以得岀GFEC为正方形。

　令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。

tan/ BAP=tan / EPF=—=

可得 YZ=XY-X

2+XZ

Y Y-

即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得岀△ ABP PEF , 得到PA = PF，得证。

经典难题（四）

1?顺时针旋转△ ABP 60。，连接PQ，则厶PBQ是正三角形。

　可得△ PQC是直角三角形。

所以/ APB=150 0。

2?作过P点平行于AD的直线，并选一点 E,使AE// DC BE// PC. 可以得出 / ABP= / ADP= / AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得/ BAP= / BEP= / BCP，得证。

在 BD取一点 E，使/ BCE= / ACD，既得△ BECADC，可得:

BEBCAD

即 AD ?BC=BE ?AC,

? BD

? BD，得证。

=DE，即 AB?CD=DE ?AC , ②

又/ ACB= / DCE，可得△ ABC DEC，既得

由① + ②可得：AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= AC

4.过 D作 AQL AE，AG 丄 CF，由 Svade = = Svdfc，可得:

AEgPQ AEgPQ

= ，由 AE=FC。

2 2

可得DQ=DG，可得/ DPA =/ DPC (角平分线逆定理)。

经典难题（五）

（ 1）顺时针旋转△ BPC 600，可得△ PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP++PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上,

即如下图：可得最小 L=

（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F 由于 / APD> / ATP= / ADP ,

推岀AD>AP

①

又 BP+DP>BP

②

和 PF+FOPC

③

又 DF=AF

④

由①②③④可得：最大 L< 2；

由（1 ）和（2）既得：

顺时针旋转△ BPC 600，可得△ PBE为等边三角形。

既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上, 即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。

既得心卜孕仔

.6+ 一 2

3.顺时针旋转△ ABP

90°，可得如下图:

既得正方形边长 L=

（2+ '22）2+（22）2ga =

2 2

使 / BCF=60 0 ,

BGC为等边三角形,

5+ 2,；2ga。

4.在AB上找一点F,

连接EF, DG，既得△

可得/ DCF=10 ° , / FCE=20 ° ,推岀△ ABE ACF ，得到 BE=CF ， FG=GE。

推岀：△ FGE为等边三角形，可得/ AFE=8° °，

既得：/ DFG=4° °

又 BD=BC=BG，既得/ BGD=8° °，既得/ DGF=4°° 推得：DF=DG ,得到：△ DFE ◎△ DGE ，从而推得：/ FED=

/ BED=30 ° 。

附：平面向量复习基本知识点及经典结论总结

1、向量有关概念

(1)向量的概念

uuu

意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。如已知A (1,2)，B ( 4,2)，则把向量 AB

r按向量a =(— 1,3)平移后得到的向量是

按向量a =(— 1,3)平移后得到的向量是

（答：（3,0 ））

零向量：长度为°的向量叫零向量，记作： °，注意零向量的方向是任意的；

uuu

单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB共线的单位向量是

相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

uuu

每);

|AB|

(5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，记作：a II b

(5)平行向量(也叫共线向量)

规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量

平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两

r uuu uuur

a的相反向量是一 a条直线重合；③平行向量无传递性！(因为有0)；④三点 A B C共线 AB、

a的相反向量是一 a

(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

如下列命题：（i）若a b，则a b o （ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点

uuu umr uuu uuur

相同。（3）若AB DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则 AB DC。（ 5）

r r r r r r r r r r r r

若 a b,b c，则 a c。（ 6）若 a//b,b〃 c，贝U a//c。其中正确的是（答：（4）（ 5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB，注意起点在前，终点

在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面

内建立直角坐标系，以与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i，j为基底，则平面内的任一向量 a可

r r r — — _

表示为a xi y j x, y，称x, y为向量a的坐标，a = x, y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3、平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量

a，有且只有一对实数 1、 2，使 a=伸+ 2 e2o 如（1 ）若；（1,1）,b （1,1）；（1,2），则：

r 3 r

（答:爲 3b）;

TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 2

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a，它的长度和方向规定如下：

r r . . , ,

1 a | a , 2当 >0时， a的方向与a的方向相同，当 <0时， a的方向与a的方向相反，

r r -

当 =o时，a 0，注意： a工0 o

5、平面向量的数量积：

-- uuu r uiur r

（1）两个向量的夹角：对于非零向量 a，b，作OA a,OB b， AOB 0 称为

向量a， b的夹角，当 =0时，a， b同向，当 = 时，a， b反向，当 =—时，a， b垂直。

I— r r

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量 a， b，它们的夹角为，我们把数量| a || b | cos叫

■■—「「

做a与b的数量积（或内积或点积），记作： a ? b，即a ? b = a b cos 。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如（1） △ ABC中，| AB | 3，| AC | 4，

| BC | 5，则 AB BC （答：—9）；

- -■ r

（3） b在a上的投影为| b | cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。如已知|a| 3，| b | 5，

且a b 12，则向量a在向量b上的投影为（答：）

(4)a

(4)a ? b的几何意义

(5)向量数量积的性质

:数量积a ? b等于a的模| a |与b在a上的投影的积

a , b同向时，a ? b = a b，特别地，ar rr2r

a , b同向时，a ? b = a b，特别地，a

r r

a?a

；当a与b反向时,

a ?b

t r i i i i

a ? b v 0,且a、b不反向，a b

0是为钝角的必要非充分条件

r r

；③非零向量a , b夹角的计算

r r

a ?b r r

公式：cos

r r :④1a ?b 1

|a||b|。如(1)已知 a ( ,2

),b (3 ,2)，如果a与b的夹

角为锐角，则

的取值范围是

(答：或 0 且

)；

当为锐角时,

a ? b > 0，且a、b不同向，a b

0是为锐角的必要非充分条件

；当为钝角时,

6、向量的运算

(1)几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此

uuu r uuu r lult r r

之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 AB a, BC b，那么向量 AC叫做a与b的和，即

r r uut uut uuu a b AB BC AC ;

②向量的减法：用“三角形法则”：设

uiur AB

r umr r r

a, AC b,那么 a

r b

uuu AB

uiur

UUT

Ca，由减向量

的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相冋。

如(1)

化简:

UUU UULT UULT UUU

UUIT

uuu uuu

uuu

ullt

uuur

① AB BC CD :② AB

:③(AB CD)

(AC

BD)

(答：①AD :

uuc r

②CB:③0)；

⑵坐标运算：设a (x1,y1),b (x2,y2)，则:

①向量的加减法运算：

r r a b

x2,

y1 y2)。如(1)已知点 A(2,3), B(5,4) , C(7,10)，若

uuu uuu ULLT

AP AB AC( R),

则当

时,

点P在第一、三象限的角平分线上(答： —)；

②实数与向量的积：

r a

uui

X1, y1。

③若A(x1, y1), B(x2, y2)，则AB x2 x-!, y2 %，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有

ULLT 1 uuu uuir uuu

向线段的终点坐标减去起点坐标。

　如设A(2,3), B( 1,5)，且AC -AB，AD 3AB，则C、D的坐标 3

分别是 (答：(匹),(7,9))；

④平面向量数量积：a ?b xix2 yy。如已知向量 a =( sinx，cosx) , b =( sinx，sinx) , c =

TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" 3 ■- ■-

（-1，o）。（ i ）若x =，求向量a、c的夹角；（2）若x € [ ,]，函数f （x） a b的最

3 8 4

1 1

大值为求的值（答：（1）150°；（2）-或 2 1）；

2 ' 2

r 「2 r r r

⑤向量的模：|a| x2 y2,a |af x2 y2。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为 60°，

uu r —

那么 |a 3b |= （答:丽）；

2 2

⑥两点间的距离：若A ,B x2,y2 ，则| AB | : x2 x1 y2 % 。如如图，在平面

斜坐标系xOy中，xOy60°，平面上任一点 P

斜坐标系xOy中，

xOy

60°，平面上任一点 P关于斜坐标系的斜

ULU

u ur

这样定义的：若OP

xei

ye2，

其中?,62分别为与x轴、y轴同方

位向量，则P点斜坐标为（x, y）。（1）若点P的斜坐标为（2，- 2），

坐标是

向的单

求P到O

的距离丨PO |；（ 2）求以0为圆心,

1为半径的圆在斜坐标系

xOy中的方程。（答:

1) 2；( 2)

2 2

x y xy 1 0 )；

a b a c :②

a b a c :② a(bc)

2 2

(a b) c :③(a b) | a|

| b |2

| b |2；④若a b 0 ,则a 0或b

r r r r r r 「2 「2

0；⑤若 a b c b,则 a c :⑥ a a ;

r r 2 「

r r 2 「2 「2 r r 2

⑧(a b) a b :⑨(a b)

r 2 r r 「2

a 2a b b。其中正确的是

（答：①⑥⑨）

r r

r r r r r r

7、

向量的运算律：（1 ）交换律：

a b

a，

a a， a?b b?a； (2)结合律

r r

r r r r r r r r

r r

r r r r

a b

cab c,a b c a

b c

a ?b a ? b；（ 3）分配律：

r r r r r r

r r r r

a a a, a b a

b，

a?c b?c。如下列命题中：①

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、

两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能

约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；（2）向量的"乘法”不满足结合律，即a（b?c）（a?b）c，为什么？

r r r r r r 2 r r 2

8、向量平行（共线）的充要条件：a//b a b （a b）（|a||b|） xy = 0。如⑴

若向量a （x,1）,b （4, x），当x = 时a与b共线且方向相同（答： 2）；

9、向量垂直的充要条件：a b a b 0

| a b| |a b| X1X2

y°2 0.特别地

uuu uuur AB AC

(-tuuu

uuu

Tuuuj) (-tuuu

(答: 3);

10.线段的定比分点：

(1)定比分点的概念

uuu

umr

PP2，贝9 叫做点

占；

八、、)

(2)的符号与分点

的延长线上时

uuur

AC uuu

uuur )。如(1)已知 OA AC

iuur

(1,2),OB (3,m)，若

uuu

OB，贝U m

:设点P是直线P,p2上异于P,、P2的任意一点,

uuur

P分有向线段 PP2所成的比，P点叫做有向线段

P的位置之间的关系：当P点在线段

P, P2上时

若存在一个实数

uuur

RP2的以定比为

，使

的定比分

>0;当P点在线段P1P2

< —1;当P点在线段P2P1的延长线上时

uuuu

0；若点P分有向线段RP2所

uuur 1

成的比为，则点p分有向线段P2P所成的比为。如若点

uuu

P分AB所成的比为

uin

，贝U A分BP所成

的比为

(3)线段的定比分点公式：设P(x-i, y-i)、F2 (x2, y2)，

P(x, y)分有向线段

uuur

RP2所成的比为，

x] x2

则 1

，特别地，当

y 11__归

1时，就得到线段 p,p2

的中点公式

y1 y2。在使用定比分

点的坐标公式时，应明确 (x,y)，(“yd、(X2, y2)的意义,

即分别为分点，起点,

终点的坐标。在具

体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比

MN,则点P的坐标为

若 M (-3, -2)，N( 6，-1)，且 MP

(答:

。如(1)

6二));

11.平移公式：如果点P(x, y)按向量

a h,k 平移至 P(x , y )，则 x x y y

；曲线 f (x, y) 0

按向量a

h,k平移得曲线f (x h,y

k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何

联系？ ( 2)

向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!

如(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向

量a把点(

7,2)平移到点

(答：(—8,3))； (2)函数y sin2x的图象按向量 a平移后,

所得函数的解析式是 y cos2x 1，则a

(答: ( — ,1))

12、向量中一些常用的结论：

一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

r r r r r r rr r

||a| |b|| |a b| |a| |b|，特别地，当 a、b 同向或有 0 肌||；| |b|

不 r b r dj 当r r r r r r r

不 r b r dj 当

||a| |b|| |a b|；当 ab反冋或有 0 |a b| |a| |b| ||a| |b|||a

共线||；|山|||； b||；| |b|(这些和实数比较类似).

(3)在ABC中，①若A捲,比，B X2, y2 ,C X3, y3 ,贝卩其重心的坐标为

G X1 X2 X3,y1 y2 y3。如若/ABO的三边的中点分别为(2, 1)、(-3 , 4)、

(-1 , -1 ),则/ABC勺重心的坐标为 (答：(-,-));

3 3

—uur d uuu uuu uuur 十 t urn uuu uuu

PG 丄(PA PB PC) G为 ABC的重心，特别地 PA PB PC

为ABC的重心；

uuu uuu uuu uuiu uuur uuu

PA PB PB PC PC PA P 为 ABC 的垂心；

uuu uuir

向量(~uuk -Au^)( 0)所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分

|AB| |AC|

线所在直线)；

一 uuu uuu uuir uur uuu uuu r ,

| AB |PC | BC | PA |CA|PB 0 P ABC 的内心；

(3)若P分有向线段P^所成的比为，点M为平面内的任一点，则

uuur ujuu uuur uuu

MP空 MP2，特别地P为P1P2的中点muP 翌塑；

1 2

uin uru uuu urr 11 uur

(4)向量PA PB PC中三终点A、B C共线存在实数、使得PA PB PC且

1.如平面直角坐标系中， 0为坐标原点，已知两点 A(3,1), B( 1,3),若点C满足

0C 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且1 2 1,则点C的轨迹是 (答：直线AB)

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