高中数学数列教案模板

数列

1、等差数列的通项公式是ana1(n1)d，前n项和公式是：Snn(a1an)1=na1n(n1)d。 22.等差数列 ｛an｝ anan1d(d为常数）2anan1an1(n2,nN*)ananbSnAn2Bn。

na1(q1)nn

12、等比数列的通项公式是ana1q，前n项和公式是：Sna1(1q) (q1)1q

2n-13.等比数列 ｛an}anan-1an1(n2,nN)ana1q;

＊

4、当m+n=p+q=2t(m、n、p、q∈N)时，对等差数列｛an｝有：amanapaq2at；
对等比数列｛an｝

有：amanapaqat。

5、等差数列中, am=an+ (n－m)d, daman; 等比数列中，an=amqn-m; q=nmn

{anbn}等也是等比数列。

7、设Sn表示数列前n项和；
等差数列中有：Sn,S2nSn,S3nS2n,也是等差数列；
在等比数列中，2an; am

6、若{an}、{bn}是等差数列，则{kanbbn}(k、b、a是非零常数)是等差数列；
若{an}、{bn}是等比数列，则｛kankan｝、Sn,S2nSn,S3nS2n,是等比数列。

8、等差(或等比)数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”(如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…)仍是等差(或等比)数列；

9、等差数列中：a1ana2an1a3an2；

等比数列中：a1ana2an1a3an2

10、对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶S奇nd；
项数为2n－1时，S奇S偶a中项(n∈N*)。

11、由Sn求an，an={S1(n1)

*SnSn1(n2,nN)

一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；

12、首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前n项和的最大(或最小)问题，转化为解不等式an0an0解决；
或a0a0n1n1 注意验证a1是否包含在后面an 的公式中，若不符合要单独列出。

13、熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；

14、若一阶线性递归数列an=kan－1+b(k≠0,k≠1),则总可以将其改写变形成如下形

式:anbk(an1b)(n≥2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；

k1k1

15、当等比数列an的公比q满足q\n

na1。一般地，如果无穷数列an的前n项和的极限n1qlimSn存在，就把这个极限称为这个数列的各项和(或所有项的和)，用S表示，即S=limSn。

n

数学教案－数列_高一数学教案_模板

3.1.1数列

教学目标

1．理解数列概念，了解数列和函数之间的关系

2．了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项

3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式

4．提高观察、抽象的能力．

教学重点

1．理解数列概念；

2．用通项公式写出数列的任意一项．

教学难点

根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式． 教学方法

发现式教学法

教具准备

投影片l张(内容见下页) 教学过程

（1）复习回顾

师：在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一

下函数的定义．

生：(齐声回答函数定义)．

师：函数定义(板书) 如果A、B都是非空擞 集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函数，记作：
，其中

（Ⅱ）讲授新课

师：在学习第二章的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子。（放投影片）

4，5，6，7，8，9，10.① ②

1，0.1，0.01，0.001，0.0001…. ③ 1，1.4，1.41，1.41，4，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，

师：观察这些例子，看它们有何共同特点？ （启发学生发现数列定义）

生：归纳、总结上述例子共同特点：
1． 均是一列数；

2． 有一定次序

师：引出数列及有关定义 一、定义

1． 数列：按一定次序排列的一列数叫做数列；

2． 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）。第2项，…，第n项…。

如：上述例子均是数列，其中例①：“4”是这个数列的第1项（或首项）“9”是这个数列的第6项。

3． 数列的一般形式：
，或简记为 ，其中 是数列的第n项 生：综合上述例子，理解数列及项定义

如：例②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ ”是这个数列的第“3”项，等等。

师：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
项

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5 师：看来，这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：
来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项 生：结合上述其他例子，练习找其对应关系 如：数列①：
=n+3(1≤n≤7) 数列③：
≥1） 数列⑤：
n≥1）

4．通项公式：如果数列 的第n项 与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

师：从映射、函数的观点来看，数列也可以看作是一个定义域为正整数集N+（或它的有限子集 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式。

师：对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象。看来，数列也可根据其通项公式来函出其对应图象，下面同学们练习画数列①②的图象。

生：根据扭注通项公式画出数列①，②的图象，并总结其特点。

图3—1 特点：它们都是一群弧立的点 5．有穷数列：项数有限的数列 6．无穷数列：项数无限的数列 二、例题讲解

例1：根据下面数列 的通项公式，写出前5项：
（1）

师：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项。

解：（1）

(2)

例2：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；

（2）

（3） 分析：

（1）项1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1 ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 ∴ ；

（2）序号：1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓

项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 ↓ ↓ ↓ ↓

项分子：
22-1 32-1 42-1 52-1 ∴ ；

（3）序号

‖ ‖ ‖ ‖

∴

（Ⅲ）课堂练习

生：思考课本P112练习1，2，3，4 师：[提问]练习3，4，并根据学生回答评析 生：板演练习1，2 （Ⅳ）课时小结

师：对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式。

（V）课后作业

一、课本P114习题3.1 1，2 二、1．预习内容：课本P112～P13 预习提纲：①什么叫数列的递推公式？ ②递推公式与通项公式有什么异同点？ 板书设计

课题 一、定义 1． 数列 2． 项

3． 一般形式 4． 通项公式 5． 有穷数列 6． 无穷数列 二、例题讲解 例1

例2 函数定义 教学后记 §3.1.2数列

教学目标

1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同

2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项

3．培养学生推理能力．

教学重点

根据数列的递推公式写出数列的前几项

教学难点

理解递推公式与通项公式的关系

教学方法

启发引导法

教具准备

投影片1张(内容见下页) 教学过程

(I)复习回顾

师：上节课我们学习了数列及有关定义，下面先来回顾一下上节课所学的主要内容．

师：[提问]上节课我们学习了哪些主要内容？

生：[回答]数列、项、表示形式、通项公式、数列分类等等．

(Ⅱ)讲授新课

师：我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。用其来解决一些实际问题．

下面同学们来看此图：钢管堆放示意图(投影片)．

生：观察图片，寻其规律，建立数学模型．

模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；
即：1 4＝1+3 第2层钢管数为5；
即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；
即：3 6＝3+3 第4层钢管数为7；
即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；
即：5 8＝5+3 第6层钢管数为9；
即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；
即：7 10＝7+3 若用 表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 ≤n≤7）

师：同学们运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数。这会给我们的统计与计算带来很多方便。

师：同学们再来看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律2，建立模型二） 生：自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即

依此类推：
（2≤n≤7）

师：对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。

一、定义：

递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。

说明：递推公式也是给出数列的一种方法。

二、例题讲解

例1：已知数列 的第1项是1，以后的各项由公式 给出，写出这个数列的前5项。

分析：题中已给出 的第1项即

递推公式：

解：据题意可知：

例2：已知数列 中， ≥3） 试写出数列的前4项 解：由已知得

（Ⅲ）课堂练习

生：课本P113练习 1，2，3（书面练习）

（板演练习1.写出下面各数列的前4项，根据前4项写出该数列的一个通项公式。

（1） ≥2） （2） ≥3）

师：给出答案，结合学生所做进行评析。

（Ⅳ）课时小结

师：这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解。注意它与通项公式的区别在于：

1． 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系。

2． 对于通项公式，只要将公式中的n依次取胜，2，3…即可得到相应的项。而递推公式则要已知首项（或前n项），才可求得其他的项。

（V） 课后作业 一、课本P114习题3.1 3，4 二、1．预习内容：课本P114—P116 3． 预习提纲：①什么是等差数列？②等差数列通项公式的求法？ 板书设计

课题 一、定义

1． 递推公式：
三、例题讲解 例1 例2 小结：
通项公式与 递推公式区别

教学后记

一、教学目标

（1）了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；

（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；

（3）能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；

（4）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；

（5）会用真值表判断相应的复合命题的真假；

（6）在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能． 二、教学重点难点：

重点是判断复合命题真假的方法；
难点是对“或”的含义的理解． 三、教学过程 1．新课导入

在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑．具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面．数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的教学比初中更强调逻辑性．如果不学习一定的逻辑知识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误．其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识．

初一平面几何中曾学过命题，请同学们举一个命题的例子．（板书：命题．）

（从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关知识．） 学生举例：平行四边形的对角线互相平． ……（1） 两直线平行，同位角相等．…………（2）

教师提问：“……相等的角是对顶角”是不是命题？……（3） （同学议论结果，答案是肯定的．） 教师提问：什么是命题？ （学生进行回忆、思考．）

概念总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题． （教师肯定了同学的回答，并作板书．）

由于判断有正确与错误之分，所以命题有真假之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命题．

（教师利用投影片，和学生讨论以下问题．）

例1 判断以下各语句是不是命题，若是，判断其真假：

命题一定要对一件事情作出判断，（3）、（4）没有对一件事情作出判断，所以它们不是命题． 初中所学的命题概念涉及逻辑知识，我们今天开始要在初中学习的基础上，介绍简易逻辑的知识．

2．讲授新课

大家看课本（人教版，试验修订本，第一册（上））从第25页至26页例1前，并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题？

（片刻后请同学举手回答，一共讲了四个问题．师生一道归纳如下．）

（1）什么叫做命题？

可以判断真假的语句叫做命题．

判断一个语句是不是命题，关键看这语句有没有对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题．有些语句中含有变量，如 中含有变量 ，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假（这种含有变量的语句叫做“开语句”）．

（2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”．

“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词．逻辑联结词除这三种形式外，还有“若…则…”和“当且仅当”两种形式．

对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念． 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一个是成立的，即 且 ；
也可以 且 ；
也可以 且 ．这与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能．

对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念． 中的“且”，是指“ ”、“ 这两个条件都要满足的意思．

对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题 对应于集合 ，则命题非 就对应着集合 在全集 中的补集 ．

命题可分为简单命题和复合命题．

不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题．

由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题．

（4）命题的表示：用 ， ， ， ，……来表示．

（教师根据学生回答的情况作补充和强调，特别是对复合命题的概念作出分析和展开．）

我们接触的复合命题一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 “、“若 则 ”等形式．

给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词；
应能根据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题．

对于给出“若 则 ”形式的复合命题，应能找到条件 和结论 ．

在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”．例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；
命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题．

3．巩固新课

例2 判断下列命题，哪些是简单命题，哪些是复合命题．如果是复合命题，指出它的构成形式以及构成它的简单命题．

（1） ；

（2）0.5非整数；

（3）内错角相等，两直线平行；

（4）菱形的对角线互相垂直且平分；

（5）平行线不相交；

（6）若 ，则 ．

（让学生有充分的时间进行辨析．教材中对“若…则…”不作要求，教师可以根据学生的情况作些补充．）

例3 写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）． 若给定语为 等于 大于 是 都是

至多有一个 至少有一个 至多有 个

其否定语分别为

分析：“等于”的否定语是“不等于”；

“大于”的否定语是“小于或者等于”；

“是”的否定语是“不是”；

“都是”的否定语是“不都是”；

“至多有一个”的否定语是“至少有两个”；

“至少有一个”的否定语是“一个都没有”；

“至多有 个”的否定语是“至少有 个”． （如果时间宽裕，可让学生讨论后得出结论．）

置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的情况、课堂时间作适当的辨析与展开．）

4．课堂练习：第26页练习1，2．

5．课外作业：第29页习题1.6 1，2．

教学目标

1．掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用．

(1) 能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象．

(2) 能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题．

2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力．

3．通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性．

教学建议 教材分析

(1) 对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的．故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸．它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础．

(2) 本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质．难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质．由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点．

(3) 本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开．而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点． 教法建议

(1) 对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数 的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质．

(2) 在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向．这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣．

教学设计示例对数函数 教学目标

1.在指数函数及反函数概念的基础上，使学生掌握对数函数的概念，能正确描绘对数函数的图像，掌握对数函数的性质，并初步应用性质解决简单问题．

2.通过对数函数的学习，树立相互联系，相互转化的观点，渗透数形结合，分类讨论的思想．

3.通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察，分析，归纳的思维能力，调动学生学习的积极性． 教学重点，难点

重点是理解对数函数的定义，掌握图像和性质．

难点是由对数函数与指数函数互为反函数的关系，利用指数函数图像和性质得到对数函数的图像和性质． 教学方法

启发研讨式 教学用具

投影仪 教学过程 一.引入新课

今天我们一起再来研究一种常见函数．前面的几种函数都是以形式定义的方式给出的，今天我们将从反函数的角度介绍新的函数．

反函数的实质是研究两个函数的关系，所以自然我们应从大家熟悉的函数出发，再研究其反函数．这个熟悉的函数就是指数函数．

提问：什么是指数函数?指数函数存在反函数吗?

由学生说出 是指数函数，它是存在反函数的．并由一个学生口答求反函数的过程：
由 得 ．又

的值域为 ，

所求反函数为

．

那么我们今天就是研究指数函数的反函数---对数函数． 2．8对数函数 (板书) 一.对数函数的概念

1.定义：函数 的反函数 叫做对数函数．

由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发．如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么?

教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为 ，对数函数的值域为 ，且底数 就是指数函数中的 ，故有着相同的限制条件 ．

在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质． 二．对数函数的图像与性质 (板书)

1.作图方法

提问学生打算用什么方法来画函数图像?学生应能想到利用互为反函数的两个函数图像之间的关系，利用图像变换法画图．同时教师也应指出用列表描点法也是可以的，让学生从中选出一种，最终确定用图像变换法画图．

由于指数函数的图像按 和 分成两种不同的类型，故对数函数的图像也应以1为分界线分成两种情况 和 ，并分别以 和 为例画图．

具体操作时，要求学生做到：

(1) 指数函数 和 的图像要尽量准确(关键点的位置，图像的变化趋势等)．

(2) 画出直线 ．

(3) 的图像在翻折时先将特殊点 对称点 找到，变化趋势由靠近 轴对称为逐渐靠近 轴，而 的图像在翻折时可提示学生分两段翻折，在 左侧的先翻，然后再翻在 右侧的部分．

学生在笔记本完成具体操作，教师在学生完成后将关键步骤在黑板上演示一遍，画出

和 的图像．(此时同底的指数函数和对数函数画在同一坐标系内)如图：

2.草图．

教师画完图后再利用投影仪将 和 的图像画在同一坐标系内，如图：

然后提出让学生根据图像说出对数函数的性质(要求从几何与代数两个角度说明) 3.性质

(1) 定义域：

(2) 值域：

由以上两条可说明图像位于 轴的右侧．

(3) 截距：令 得 ，即在 轴上的截距为1，与 轴无交点即以 轴为渐近线．

(4) 奇偶性：既不是奇函数也不是偶函数，即它不关于原点对称，也不关于 轴对称．

(5) 单调性：与 有关．当 时，在 上是增函数．即图像是上升的

当 时，在 上是减函数，即图像是下降的．

之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正?学生看着图可以答出应有两种情况：

当 时，有 ；
当 时，有 ．

学生回答后教师可指导学生巧记这个结论的方法：当底数与真数在1的同侧时函数值为正，当底数与真数在1的两侧时，函数值为负，并把它当作第(6)条性质板书记下来．

最后教师在总结时，强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．(特别强调它们单调性的一致性)

对图像和性质有了一定的了解后，一起来看看它们的应用． 三．简单应用 (板书) 1.研究相关函数的性质

例1.求下列函数的定义域：

(1) (2) (3)

先由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制． 2.利用单调性比较大小 (板书) 例2.比较下列各组数的大小

(1) 与 ；

(2) 与 ；

(3) 与 ；

(4) 与 ．

让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小．最后让学生以其中一组为例写出详细的比较过程． 三．巩固练习 练习：若 ，求 的取值范围． 四．小结 五．作业 略 板书设计

2．8对数函数

一.概念

1． 定义

2．认识

二．图像与性质

1．作图方法

2．草图

图1 图2

3．性质

(1) 定义域(2)值域(3)截距(4)奇偶性(5)单调性 三．应用

1．相关函数的研究

例1 例2

练习

探究活动

(1) 已知 是函数 的反函数，且 都有意义．

① 求 ；

② 试比较 与4 的大小，并说明理由．

(2) 设常数 则当 满足什么关系时， 的解集为

答案：
(1) ① ；

②当

时，

(2) ．

教学目标

1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.

（1）正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念；

（2）正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项；

（3）通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.

2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.

3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.

教学建议

教材分析

（1）知识结构

等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.

（2）重点、难点分析

教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.

①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.

②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；
在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；
第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.

③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议

（1）建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.

（2）等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.

（3）根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.

（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.

（5）由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.

（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用.

教学设计示例

课题：等比数列的概念 教学目标

1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.

2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.

3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点

重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具

投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法

讨论、谈话法.教学过程 一、提出问题

给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.（幻灯片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1， ， ，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列）.二、讲解新课

请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.（这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步） 等比数列（板书）

1.等比数列的定义（板书）

根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系，尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义，标注出重点词语.

请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是等比数列，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是等比数列，当 时，它只是等差数列，而不是等比数列.教师追问理由，引出对等比数列的认识：

2.对定义的认识（板书）

（1）等比数列的首项不为0；

（2）等比数列的每一项都不为0，即 ；

问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？

（3）公比不为0.

用数学式子表示等比数列的定义.

是等比数列

①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；
接下来再问，能否改写为 是等比数列

？为什么不能？

式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.

3.等比数列的通项公式（板书）

问题：用 和 表示第 项 .

①不完全归纳法

.

②叠乘法

，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .（板书）（1）等比数列的通项公式

得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式.（板书）（2）对公式的认识

由学生来说，最后归结：

①函数观点；

②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.

这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）

如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究.同学可以试着编几道题.三、小结

1.本节课研究了等比数列的概念，得到了通项公式；

2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；

3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用.四、作业（略） 五、板书设计

三.等比数列 1.等比数列的定义 2.对定义的认识

3.等比数列的通项公式 （1）公式

（2）对公式的认识

探究活动

将一张很大的薄纸对折，对折30次后（如果可能的话）有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.参考答案：

30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗？第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧（用对数算也行）.

数列 -数学教案

教学目标

1．使学生理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．

（1）理解数列是按一定顺序排成的一列数，其每一项是由其项数唯一确定的．

（2）了解数列的各种表示方法，理解通项公式是数列第 项 与项数 的关系式，能根据通项公式写出数列的前几项，并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式．

（3）已知一个数列的递推公式及前若干项，便确定了数列，能用代入法写出数列的前几项．

2．通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．

3．通过由 求 的过程，培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯．

教学建议

（1）为激发学生学习数列的兴趣，体会数列知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中抽象出数列要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还有物品堆放个数的计算等．

（2）数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系．在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，“次序”便是函数的自变量，相同的数组成的数列，次序不同则就是不同的数列．函数表示法有列表法、图象法、解析式法，类似地，数列就有列举法、图示法、通项公式法．由于数列的自变量为正整数，于是就有可能相邻的两项（或几项）有关系，从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法．

（3）由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法，教师应精心设计例题，使这一例题为写通项公式作一些准备，尤其是对程度差的学生，应多举几个例子，让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系，尽量为写通项公式提供帮助．

（4）由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点，要帮助学生分析各项中的结构特征（整式，分式，递增，递减，摆动等），由学生归纳一些规律性的结论，如正负相间用 来调整等．如果学生一时不能写出通项公式，可让学生依据前几项的规律，猜想该数列的下一项或下几项的值，以便寻求项与项数的关系．

（5）对每个数列都有求和问题，所以在本节课应补充数列前 项和的概念，用 表示 的问题是重点问题，可先提出一个具体问题让学生分析 与 的关系，再由特殊到一般，研究其一般规律，并给出严格的推理证明（强调 的表达式是分段的）；
之后再到特殊问题的解决，举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况．

（6）给出一些简单数列的通项公式，可以求其最大项或最小项，又是函数思想与方法的体现，对程度好的学生应提出这一问题，学生运用函数知识是可以解决的．

教学设计示例

数列的概念

教学目标

1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能够根据通项公式写出数列的项．

2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力；
渗透函数思想．

3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．

教学重点，难点

教学重点是数列的定义的归纳与认识；
教学难点是数列与函数的联系与区别．

教学用具：电脑，http://jiaoan.cnkjz.com/>课件（媒体资料），投影仪，幻灯片

教学方法：讲授法为主

教学过程

一．揭示课题

今天开始我们研究一个新课题．

先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数

（板书） 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列．

（板书）第三章 数列

（一）数列的概念

二．讲解新课

要研究数列先要知道何为数列，即先要给数列下定义，为帮助同学概括出数列的定义，再给出几列数：

（幻灯片） ①

自然数排成一列数：

②

3个1排成一列：

③

无数个1排成一列：

④

的不足近似值，分别近似到 排列起来：

⑤

正整数 的倒数排成一列数：

⑥

函数 当 依次取 时得到一列数：

⑦

函数 当 依次取 时得到一列数：

⑧

请学生观察8列数，说明每列数就是一个数列，数列中的每个数都有自己的特定的位置，这样数列就是按一定顺序排成的一列数．

（板书）1．数列的定义：按一定次序排成的一列数叫做数列．

为表述方便给出几个名称：项，项数，首项（以幻灯片的形式给出）．以上述八个数列为例，让学生练习指出某一个数列的首项是多少，第二项是多少，指出某一个数列的一些项的项数．

由此可以看出，给定一个数列，应能够指明第一项是多少，第二项是多少，„„，每一项都是确定的，即指明项数，对应的项就确定．所以数列中的每一项与其项数有着对应关系，这与我们学过的函数有密切关系．

（板书）2．数列与函数的关系

数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集 ，或是正整数集 的有限子集 ．

于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．

遇到数学概念不单要下定义，还要给其数学表示，以便研究与交流，下面探讨数列的表示法．

（板书）3．数列的表示法

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表示第一项，用 表示第一项，„„，用 表示第 项，依次写出成为

（板书）（1）列举法

．（如幻灯片上的例子）简记为 ．

一个函数的直观形式是其图象，我们也可用图形表示一个数列，把它称作图示法．

（板书）（2）图示法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项 为纵坐标，即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列 为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

有些函数可以用解析式来表示，解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系，类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来，即 ，这个函数式叫做数列的通项公式．

（板书）（3）通项公式法

如数列 的通项公式为 ；

的通项公式为 ；

的通项公式为 ；

数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

等差数列、等比数列同步练习题

等差数列

黎岗

一、选择题

1、等差数列-6，-1，4，9，„„中的第20项为（ ） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2． 等差数列{an}中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的 （ ） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中

3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在

4、等差数列{an}中，a1+a7=42， a10-a3=21， 则前10项的S10等于（ ） A、720 B、257 C、255 D、不确定

5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 （ ）

A、B、C、或 1 D、

6、已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，„„组成一新数 列{Cn}，其通项公式为 （ ）

A、Cn=4n-3 B、Cn=8n-1 C、Cn=4n-5 D、Cn=8n-9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30 若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有（ ） A、6项 B、8项 C、10项 D、12项

8、设数列{an}和{bn}都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100， 则数列{an+bn}的前100项和为（） A、0 B、100 C、10000 D、505000

二、填空题

9、在等差数列{an}中，an=m，an+m=0，则am= ______。

10、在等差数列{an}中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= ______ 。

11． 在等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到 a30的和是 ______ 。

12． 已知等差数列 110， 116， 122，„„，则大于450而不大于602的各 项之和为 ______ 。

三、解答题

13． 已知等差数列{an}的公差d=，前100项的和S100=145 求：
a1+a3+a5+„„+a99的值

14． 已知等差数列{an}的首项为a，记(1)求证：{bn}是等差数列

(2)已知{an}的前13项的和与{bn}的前13的和之比为 3 ：2，求{bn}的 公差。

15． 在等差数列{an}中，a1=25， S17=S9

(1)求{an}的通项公式

(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

16、等差数列{an}的前n项的和为Sn，且已知Sn的最大值为S99，且|a99|〈|a100| 求使Sn〉0的n的最大值。

[高二数学答案]

1． A

2、B

3、B

4、C

5、B

6、D 7、A

8、C

二、填空题

9、n

10、80

11、-368

12、13702

13、∵{an}为等差数列 ∴ an+1-an=d ∴ a1+a3+a5+„+a99=a2+a4+a6+„+a100-50d 又 （a1+a3+a5+„+a99）+（a2+a4+a6+„+a100）=S100=145 ∴ a1+a3+a5+„+a99==60

14、

(1)证：设{an}的公差为d 则an=a+（n-1）d

当n≥0时 b n-bn-1=d 为常数 ∴ {bn}为等差数列

（2） 记{an}，{bn}的前n项和分别为A13， B13则

， ，

∴{bn}的公差为

15、

S17=S9

即 a10+a11+„+a17=

∴ an=27-2n

=169-（n-13）2

当n=13时， Sn最大， Sn的最大值为169

16、

S198=（a1+a198）=99(a99+a100)0 又 a99>0 ，a1000 ∴ 使 Sn>0 的最大的n为197

、数列问题解题方法技巧

1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证 为同一常数。

(2)通项公式法：

①若

= +（n-1）d= +（n-k）d ，则 为等差数列；

②若

，则 为等比数列。

(3)中项公式法：验证中项公式成立。

2.在等差数列 中,有关 的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d0时，满足 的项数m使得取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

三、数列问题解题注意事项

1．证明数列 是等差或等比数列常用定义，即通过证明

或 而得。

2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。

3．注意 与 之间关系的转化。如：

=

，

= ．

4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．

5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．

本文出自：www.dawendou.com 原文链接：http://www.dawendou.com/

等比数列

一、选择题

1、若等比数列的前3项依次为

，„„，则第四项为 （ ）

A、1 B、C、D、

2、公比为的等比数列一定是 （ ）

A、递增数列 B、摆动数列 C、递减数列 D、都不对

3、在等比数列{an}中，若a4·a7=-512，a2+a9=254，且公比为整数，则a12= （ ） A、-1024 B、-2048 C、1024 D、2048

4、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和等于 （ ） A、15 B、17 C、19 D、21

5、设A、G分别是正数a、b的等差中项和等比中项，则有 （ ） A、ab≥AG B、ab

6、{an}为等比数列，下列结论中不正确的是（ ）

A、{an2}为等比数列 B、为等比数列

C、{lgan}为等差数列 D、{anan+1}为等比数列

7、一个等比数列前几项和Sn=abn+c，a≠0，b≠0且b≠1，a、b、c为常数，那么a、

b、c必须满足 （ ）

A、a+b=0 B、c+b=0 C、c+a=0 D、a+b+c=0

8、若a、b、c成等比数列，a，x，b和b，y，c都成等差数列，且xy≠0，则 的值为 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4

一、填空题

1、在等比数列{an}中，若S4=240，a2+a4=180，则a7= ______,q= ______。

2、数列{an}满足a1=3，an+1=-，则an = ______，Sn= ______。

3、等比数列a，-6，m，-54，„„的通项an = ___________。

4、{an}为等差数列，a1=1，公差d=z，从数列{an}中，依次选出第1，

3，32„„3n-1项，组成数列{bn},则数列{bn}的通项公式是 __________，它的前几项之和是__________。

二、计算题

1、有四个数，前三个数成等差数列，后三个成等比数列，并且第一个

数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数。

2、等比数列{an}的公比q>1，其第17项的平方等于第24项，求：使a1

+a2+a3+„„+an>

成立的自然数n的取值范围。

3、已知等比数列{an}，公比q>0，求证：SnSn+2

4、数列{an}的前几项和记为An，数列{bn}的前几项和为Bn，已知

，求Bn及数列{|bn|}的前几项和Sn。

高二数学答案

一、

1、A

2、D

3、B

4、B

5、D

6、C

7、C

8、B

一、

1、6；
3

2、

3、-2·3n-1或an=2（-3）n-1

4、2·3n-1-1；
3n-n-1

二、

1、解：由题意，设立四个数为a-d，a，a+d，

则由（2） d=36-2a （3）

把（3）代入（1）得 4a2-73a+36×36=0 （4a-81）（a-16）=0 ∴所求四数为

或12，16，20，25。

2、解：设{an}的前几项和Sn，an=a1qn-1

的前几项的和为Tn

∵Sn>Tn

∴即>0 又∴a12qn-1>1 （1） 又a172=a24即a12q32>a1q23 ∴a1=q-9 （2）

由（1）（2） ∴n≥0且n∈N

3、证一：（1）q=1 Sn=na1

SnSn+2-Sn+12=（na1）[（n+2）a1]-[（n+1）a1]2=-a12

（2）q≠1

=-a12qn

SnSn+2-Sn+12=Sn（a1+qSn+1）-Sn+1（a1+qSn） =a1（Sn-Sn+1） = -a1a n+1= -a12qn

24、解：n=1

n≥2时，

∴bn=log2an=7-2n

∴{bn}为首项为5，公比为（-2）的等比数列

令bn>0，n≤3 ∴当n≥4时，bn〈0 1≤n≤3时，bn〉0 ∴当n≤3时，Sn=Bn=n（6-n），B3=9 当n≥4时，Sn=b1+b2+b3-（b4+b5+„+bn）=2B3-Bn=18-n（6-n）=n2-6n+18

一、选择题（每题5分，共35分） 1．若sin θcos θ＞0，则θ在(

)．

A．第

一、二象限

C．第

一、四象限

B．第

一、三象限 D．第

二、四象限

2、已知函数f(x)(1cos2x)sin2x,xR，则f(x)是（ ） A、奇函数 B、非奇非偶函数 C、偶函数 D、不能确定

3.设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（

） A．13

B．35

C．49

D． 63

4.函数f(x)(13tanx)cosx的最小正周期为（ ) A．2 B．

3 C． D． 225.已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1, a3＝0,则公差d＝( ） A.－2 B.－

11 C.D.2 226.函数f(x)cos2x2sinx的最小值和最大值分别为（ ） A.－3，1

B.－2，2

C.－3，

32 D.－2，7．把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动象上所有点的横坐标缩短到原来的 A．y＝sin2x － ，x∈R

C．y＝sin2x ＋ ，x∈R π3π3π个单位，再把所得图332

1倍(纵坐标不变)，得到函数图象是(

)． 2

262πD．y＝sin2x ＋ ，x∈R

3xπB．y＝sin ＋ ，x∈R

二、填空题（每题5分，共10分）

8.在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________ 9.已知函数f(x)sin(x)(0)的图象如图所示, 则 ＝

三、计算题（共55分） 10．求函数f(x)＝lgsin x＋

11.已知函数f(x)sinxsin(x),xR.（10分）

2（5分） 2cosx1的定义域．(I)求f(x)的最小正周期；

(II)求f(x)的的最大值和最小值；

12．求函数y＝sin2x － 的图象的对称中心和对称轴方程．（5分）

13．已知等差数列{an}中，a2＝8，前10项和S10＝185.，求通项；
（10分）

14.在等差数列{an}中，a1＝－60，a17＝－12.（10分）

(1)求通项an；
(2)求此数列前30项的绝对值的和.

15.设数列an满足a12,an1an322n1（15分）

（1）求数列an的通项公式；
（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn

π6

数列教案模板

高中数学对数 教案模板（共14篇）

高中数学代数教案模板（共5篇）

高中数学函数单调性教案模板

高中数学微课教案模板