平面向量解三角形数列知识点总结x
时间：2020-10-07 07:24:10 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
1
1几何运算：“平行四边形法则” “三角形法则”
期中复习
向量有关概念：
UUU
1向量的概念2 .零向量3.单位向量(AB ); 4.相等向量5.平行向量(也叫共线向量)零向量和任何向量平行。
|AB|
6.相反向量
向量的表示方法：1.几何表示法：如 AB 2 .符号表示法：如 a； 3 .坐标表示法： a = x,y
平面向量的基本定理：如果 ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a,有且只有一
对实数 1、 2，使a= 1 ei + 2 e2。女口
下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
u m iriu ir m u un i 3
A. e (0,0), e2 (1, 2) B. e ( 1,2),e2 (5,7) C. e (3,5)(2 (6,10) D.耳(2, 3)金(-,-)(答：B)；
TOC \o "1-5" \h \z 实数与向量的积：实数 与向量a的积是一个向量，记作 a
平面向量的数量积：
- . uuu r uuu r - -
两个向量的夹角：对于非零向量 a , b，作OA a,OB b , AOB 0 称为向量a , b的夹角
—r -r r r f
平面向量的数量积： 如果两个非零向量 a , b，它们的夹角为 ，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积(或
一 一 一 - r r
内积或点积)，记作：a ? b，即a ? b = a b cos 。女口
（"△ ABC中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，则 AB BC （答：一9）;
r 1 r 1 r r r ir r r r u
（2）已知 a （1-）, b （0, -）, c a kb,d a b , c 与 d 的夹角为一，则 k 等于 （答: 1）;
2 2 4
（答: .23 ）;(3)已知 a 2, b 5,ag) 3，贝
（答: .23 ）;
(4)已知
(4)已知a, b是两个非零向量，且
b的夹角为
（答: 30o）
a b3.
a b
3. b在a上的投影为|b|cos =
|a|
它是一个实数，但不一定大于
0。
4.向量数量积的性质：设两个非零向量a , b，其夹角为，则：①aa?b 0；r
4.向量数量积的性质：设两个非零向量
a , b，其夹角为，则：①a
a?b 0；
r
r
a
b
②当a , b同向时，a ? b =
，特别地，a2
r
2
r
a
j
a
r2 a ;
当a与b反向时,
r
r
a
b
;当为
锐角时，a ? b >0，且a、b不同向，；当 为钝角时，a ? b v 0，且a、b不反向
③非零向量a , b夹角 的计算公式：cos-或 0且 -）;3 3r jr :④ | a ?b | | a
③非零向量a , b夹角 的计算公式：cos
-或 0且 -）;
3 3
(1)已知a ( ,2 ) , b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是
向量的运算:
r r r2.坐标运算：设 a (x-!, y1),b (X2,y
r r r
2.坐标运算：设 a (x-!, y1),b (X2,y2)，则：a
uuu
若 A(Xi, yi), B(X2, y2)，则 AB X2 花小 屮
y2
yy
卷
%
X1,
y1
y2
y1
X2
X1
r b
? r a
2
rr
2
r a
7
r a
若 A x1, y1 ,B X2,y2，则 | AB | 沁冷
向量平行(共线)的条件：a//b a b
iuiu uuu uuu
(1)设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k)，则
r r r r
向量垂直的充要条件： a b a b 0
2
y2
2
yi 。
r
r r
(a
b)2
(|a||b|)2
X$2
y1x2 = 0。如
k=
时，A,B,C
共线
r
r r
|a
b|
|a b|
XiX2
y』2 0.如
3
(答:-)；
2
(答：—2 或 11)
uuu uuu uur uuu
(1)已知 OA ( 1,2),OB (3,m)，若 OA OB，贝U m
以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB B 90，则点B的坐标是
r r ir r ur ir
已知 n (a,b),向量 n m，且 n m，则 m 的坐标是 (答：(1,3)或(3, — 1))；(答：(b, a)或(b,a))
九、向量中一些常用的结论:
(1)在 ABC 中，
①若A X1, y1 ,B X2, y2 ,C X3,y3，则其重心的坐标为
uur urn uuu uuu② PG 3(PA PB PC)G为 ABC的重心，特别地MpcP为 ABC的重心;mu③PA
uur urn uuu uuu
② PG 3(PA PB PC)
G为 ABC的重心，特别地
Mpc
P为 ABC的重心;
mu
③PA
uuu
PB
uuu uuur PB PC
uur uur PC PA
P为ABC的垂心;
④向量
uuu
(匹
|AB|
uuur
AC )( 0)所在直线过 ABC的内心(是
I AC|
BAC的角平分线所在直线)；
uuu uuiD uuu
(2)向量PA、PB、PC中三终点
A、B、C共线 存在实数
uuu
使得PA
uu uuu PB PC 且
(二)解三角形:
(1)内角和定理：三角形三角和为，⑵正弦定理：斂b
sin Bc
si nC2R(
(1)内角和定理：三角形三角和为
，⑵正弦定理：斂
b
sin B
c
si nC
2R(R为三角形外接圆的半径).
注意：①正弦定理的一些变式:
a b c sin A sin B sinC； ii
si nA
旦,sin B — ,sinC
2R 2R
c
2R；
2Rsin C；
2Rsin C；
②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解
2—
2
—等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状
(3)余弦定理：—2 b2 °2 2bccosA，cosA rc
(4)面积公式：S 2aha 1absinC r(a b c)(其中r为三角形内切圆半径)
如:( 1) ABC中，A、B的对边分别是 —b，且A=60o, a 6, b 4，那么满足条件的 ABC
A 有一个解 B、有两个解 C、无解 D 、不能确定(答:C)；(2) ABC 中，若 sin 2
A 有一个解 B、有两个解 C、无解 D 、不能确定
(答:C)；
(2) ABC 中，若 sin 2 A cos2 B cos2 A si n2 B sin2C，判断 ABC 的形状
(答：直角三角形)
(3)在厶ABC中，若2cos Bsin A= sinC，则△ ABC的形状一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形
(4)如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内， B, D为两岛上的两座灯
塔的塔顶。测量船于水面 A处测得B点和D点的仰角分别为75° , 300，于水面C 处测得B点和D点的仰角均为600 , AC=0.1km。试探究图中B, D间距离与另外哪 两点间距离相等， 然后求B, D的距离(计算结果精确到 0.01km , 2 , 6 )
答案：C
(二)数列：
1.等差数列的有关概念:
(1)等差数列的判断方法：定义法
an 1 an d(d为常数)或 an 1 an an an 1(n 2)。
如：设｛an｝是等差数列，求证：以
a a a
bn= 1 2 n n N*为通项公式的数列｛bn｝为等差数列。
n
(2)等差数列的通项：an a1
(n 1)d 或 an am (n m)d 。
如①等差数列｛an｝中，a10 30 , a20 50，则通项a.
②首项为-24的等差数列，从第
10项起开始为正数,
则公差的取值范围是
;
(3)等差数列的前n和：Sn
n(a1 an) S
,Sn
na1
n(n 1).
d 。
2
2
如①数列｛an｝中，an an 1
1 *
-(n 2,n N ),
an
-，前n项和Sn
15
，贝V a1 =_, n =
2
2
2
②已知数列｛an｝的前n项和Sn 12n n2，求数列｛| an |｝的前n项和Tn.
(4)等差中项：若a, A,b成等差数列，则
A叫做a与b的等差中项，且A
2.等差数列的性质:
(1)当公差d0
(1)当公差d
0时，等差数列的通项公式 an
ai (n 1)d dn ai d是关于n的一次函数,
且斜率为公差d；前n
和Sn na1 n(n 1)d dn2 佝 d)n是关于n的二次函数且常数项为 0.
2 2 2
若公差d 0，则为递增等差数列，若公差 d 0 ,则为递减等差数列，若公差 d 0,则为常数列。
当m n p q时，则有am a. ap aq,特别地，当 m n 2p时，则有am a. 2ap.
如等差数列｛an｝中，Sn 18,an am an 2 3,Sa 1，则 n = — ;
若是等差数列，则 Sn,S2n Sn,S3n S?n ,…也成等差数列
如等差数列的前 n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。
若等差数列｛an｝、｛bn｝的前n和分别为An、Bn,且字 f(n)，则H (? 导 算'f(2 n 1).
Bn bn (2n 1)bi B2n 1
如设｛ an｝与｛ bn｝是两个等差数列，它们的前 n项和分别为Sn和Tn，若鱼 3n 1，那么色
T n 4 n 3 bn
①等差数列｛an｝中，
①等差数列｛an｝中，a1 25 , S9
S17，问此数列前多少项和最大并求此最大值;
②若｛an｝是等差数列，首项a1 0,
a2003 a2004 0 , a2003 a2004 0 ,则使前 n 项和 Sn
0成立的最大正整数 n是
等比数列的有关概念:
(1)等比数列的判断方法：定义法也q(q为常数)an，其中q 0,an 0或空anjn 2)。如①一个等比数列｛ an｝共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120
(1)等比数列的判断方法：定义法
也q(q为常数)
an
，其中q 0,an 0或空
an
jn 2)。
如①一个等比数列｛ an｝共有2n
1项，奇数项之积为
100，偶数项之积为120，则
an 1 为 ；
②数列｛an｝中，Sn =4 an广1 (门
2)且印=1，若bn
an 1 2an，求证：｛ bn｝是等比数列。
(2)等比数列的通项:
n 1 n m
an ag 或 an amq 。
如设等比数列｛an｝中，a1 an 66 ,
a2an
1 128,
前n项和Sn = 126，求n和公比q .
(3)等比数列的前n和：当q 1时,
Sn
na1；当
印(1 qn)
q 1 时，Sn
1 q
a1 anq
。
1 q
如等比数列中， q = 2, 8)9=77,求a3
a6
a99；
(4)等比中项：若a, A,b成等比数列,
那么
A叫做a与b的等比中项。A"=ab
等比数列的性质:
(1)当m n p q时，则有amSnapgaq ,特别地，当m n 2p时，则有
(1)当m n p q时，则有amSn
apgaq ,特别地，当m n 2p时，则有
2
am gan a p
如①在等比数列｛a.｝中，a3 a8 124, aqa? 512，公比q是整数，则 印。=
②各项均为正数的等比数列 ｛an｝中，若a5 a6 9 ,
则 log3 a1 log3a2 L logsap
⑵ 若｛an｝是等比数列，则数列 Sn,S2n Sn,S3n
S2n，…也是等比数列。
如在等比数列｛an｝中，Sn为其前n项和，若S30
13S10, S10 S30 140，则 S20 的值为
5.数列的通项的求法:
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
1111
如已知数列3 —,5 ,7 ,9 , 试写出其一个通项公式:
4 8 16 32
⑵已知Sn (即a1 a2 L an f (n))求a* ,用作差法：a.
S1,(n 1)
Sn Sn 1,( n 2)
如①已知｛an｝的前n项和满足log2(Sn 1) n 1,求an;
1 1 1
②数列｛an｝满足一 a1 2a2 L 2n 5 ,求 a.
2 2 2
f(1),(n 1) ⑶已知玄182山gan f(n)求an，用作商法：a. f (n) (n 2)。
!7E(n 2)
如数列｛an｝中，a1 1,对所有的n 2都有玄卫:玄彳a. n2，则a3 a§
⑷若an 1 an
f (n)求a.用累加法：
an (an
an 1 )
(an 1
an 2)
L (a2 aj
a1 (n 2)。
如已知数列｛a
n｝满足印1，a. a.
1
1 n 1
f—
(n
2)
，则an
一
.n
⑸已知an 1
f (n)求an，用累乘法：
an an
an 1
L
a2
a1 (n
2)。
a
an 1
an 2
a1
如已知数列｛an｝中，a1 2，前n项和Sn，若Sn n2a.，求an
⑹已知递推关系求 an，用构造法(构造等差、等比数列)。特别地，(1)形如an kan 1 b、a. ka. 1 bn( k,b为
常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为 k的等比数列后，再求 an。
如已知 a1 1,an 3an 1 2，求 a.； ②已知 a1 1? 3a. 1 2n，求 a.；
(2)形如an 加的递推数列都可以用倒数法求通项。
kan 1 b
如已知a1 1,an 乩，求an :②已知数列满足 3=1，an 1 an an an 1，求an；
3an 1 1
注意：(1)用an Sn Sn 1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗( 门2,当门1时，玄1 ^ )；
(2)一般地当已知条件中含有 an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an Sn Sn 1，先将已知条件转化为只含 a.或 Sn的关系式，然后再求解。
5
如数列｛an｝满足 a1 4,Sn 5 1 -an 1,求 an；
3
6.数列求和的常用方法：
公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
如等比数列｛an｝的前n项和Sn = 2n - 1,则a； a； af a； = __ ；
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和 .
如求和：Sn 1 3 5 7 L (1)n(2n 1)
倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相
加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前
加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n和公式的推导方法）
AB=
AB= 弋产，因此，BD=3"220'6 0.33km° 故 B, D 的距离约为 0.33km。
2
2
x
如已知f (x) 2
1 x
1 1 1
，则 f（1） f（2） f（3） f（4）匕）匕）七）=
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法
如数列｛an｝中，成才p 30
（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联， 那么常选用裂项相消法求和
（5）裂项相消法：如果数列的通项可
①1 1 n(n 1) n
n(n k) k'n
1
如①求和：—
1 4
(3n 2) (3n 1)
②在数列｛an｝中,
an
一 ，且 Sn=9，贝V n =
.n . n 1
解：在厶ABC中，/ DAC=30 , / ADC=60 -Z DAC=30所以 CD=AC=又/ BCD=180 — 60°- 60° =60°,
故CB>^ CAD底边AD的中垂线，所以 BD=BA
t AB AC “
在厶 ABC 中， sin BCA sin ABC '即
