求轨迹方程常用方法总结计划例题及变式x
时间：2020-11-27 07:43:01 来源：小苹果范文网 本文已影响 人 
求 轨 迹 方 程 的 常 用 方 法 ：
题型一 直接法
此法是求轨迹方程最基本的方法，
根据所满足的几何条件，
将几何条件 { M | P( M )} 直接翻
译成 x, y 的形式 f ( x, y) 0 ，然后进行等价变换，化简
f ( x, y) 0 ，要注意轨迹方程的纯
粹性和完备性， 即曲线上没有坐标不满足方程的点，
也就是说曲线上所有的点适合这个条件
而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。
例 1 过点 A(2,3) 任作互相垂直的两直线
AM 和 AN ，分别交 x, y 轴于点 M , N ，求线段
MN 中点 P 的轨迹方程。
解 ： 设 P 点 坐 标 为 P( x, y) ， 由 中 点 坐 标 公 式 及 M , N
在 轴 上 得 M (0,2 y) ，
N (2x,0) ( x, y
R)
0
3
2 y
3
，化简得 4 x 6 y
13 0 (x 1)
2 x
2
0
1 ( x 1)
2
当 x
1时， M (0,3) ， N ( 2,0) ，此时 MN 的中点 P(1, 3 ) 它也满足方程 4x 6 y 13
0 ，
2
所以中点 P 的轨迹方程为 4x
6 y 13 0 。
变式 1
已知动点 M ( x, y) 到直线 l : x
4 的距离是它到点
N (1,0) 的距离的
2 倍。
（1）
求动点 M 的轨迹 C 的方程；
2） 过点 P(0,3) 的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点。若 A 是 PB 的中点，求直线 m 的斜率。
题型二 定义法
圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，
应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，
包括用定
义法求轨迹方程。
例 2 动圆 M 过定点 P( 4,0) ，且与圆 C : x 2
y 2
8x 0 相切，求动圆圆心
M 的轨迹
方程。
解：根据题意 || MC | | MP ||
4 ，说明点 M 到定点 C、P 的距离之差的绝对值为定值，
故点 M 的轨迹是双曲线。
a 2 ， c 4
故动圆圆心 M 的轨迹方程为 x 2
y 2
1
4 12
式 2
在 △ ABC 中，BC 24， AC， AB 上的两条中 度之和
39，求 △ ABC 的重心的 迹方程．
解：以 段 BC 所在直 x ， 段 BC 的中垂 y 建立直角坐
系，如 1， M 重心， 有
BM
CM
2
26
．
39
3
∴ M 点的 迹是以 B，C 焦点的 ，
其中 c 12， a 13 ． ∴ b
a2
c2
5 ．
∴所求 △ABC 的重心的 迹方程
x2
y2
0)
169
1(y
25
题型三 相关点法
此法的特点是 点 M ( x, y) 的坐 取决于已知曲 C 上的点 ( x', y' ) 的坐 ，可先用
x, y 来
表示 x' , y' ，再代入曲 C 的方程 f ( x, y) 0 ，即得点 M 的 迹方程。
例 3 如 ，从双曲 x2
y2
1 上一点 Q 引直 x y
2 的垂 ，垂足 N ，求 段 QN
的中点 P 的 迹方程
分析：从 意看 点 P 的相关点是 Q ， Q 在双曲 上运 ，所以本 适合用相关点法。
解： 点 P 的坐
(x, y) ，点 Q 的坐 ( x1 , y1 ) ， 点 N 的坐 (2 x x1 ,2 y y1 )
N 在直 x
y
2
上，
2x x1 2y
y1
2 ?①
又
P Q 垂直于直
x y 2 ，
y
y1
1，即 x
y
y1
x1
0 ?②
x
x1
x1
3 x
1 y
1
由①②解得
2
2
?③
1 x
3 y
y1
1
2
2
又点 Q 在双曲 x2
y2
1 上，
x1
2
y1
2
1 ?④
③代入④，得 点
P 的 迹方程
2x2
2 y 2
2x 2 y 1
0
式
3 已知△ ABC 的 点 B( 3，0)， C (10)，， 点 A 在抛物
y x2 上运 ，求 △ABC 的重
心 G 的轨迹方程．
3
1
x0
，
①
x
3
，
x0
解：设 G( x，y) ， A( x0， y0 ) ，由重心公式，得
∴
3x 2
又
y0
y0
．
②
y
，
3 y
3
∵ A( x0， y0 ) 在抛物线 y
x2 上， ∴ y0
x02 ．
③
将①，②代入③，得
3y
(3x
2)2 ( y
0) ，
即所求曲线方程是 y
3x
2
4
0) ．
4 x
( y
3
题型四
参数法
选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标
x, y ，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其
普通方程， 选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，
然后在选取合适的参数，
因
为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。
例 4 已知线段 AA 2a ，直线 l 垂直平分 AA 于 O ，在 l 上取两点 P， P ，使有向线段 OP，OP
满足 OP·OP 4 ，求直线 AP 与 A P 的交点 M 的轨迹方程．
解：如图 2，以线段 AA 所在直线为 x 轴，以线段 AA 的中垂线为 y 轴建立
直角坐标系．
设点 P(0， t )(t
0) ，
则由题意，得
P
4
， ．
t
由点斜式得直线
AP， A P 的方程分别为 y
t
a)， y
4
a) ．
( x
( x
a
ta
两式相乘，消去
t ，得
2
2
2
2
0) ．
4x
a y
4a ( y
这就是所求点
M的轨迹方程．
变式 4 设椭圆方程为 x 2
y2
1
，过点 M (0,1)
的直线 l 交椭圆于点 A，B ，O 是坐标原点，
4
l 上的动点 P 满足 OP
1 (OA
OB) ，点 N 的坐标为 ( 1 , 1) ，当 l 绕点 N 旋转时，求：
2
2
2
（1）动点 P 的轨迹方程；（ 2） | NP |的最小值与最大值 .
分析：（ 1）设出直线 l 的方程，与椭圆方程联立，求出x1
x2 , y1
y2 ，进而表示出点 P 坐
标，用消参法求轨迹方程； （2）将 | NP | 表示成变量 x 的二次函数。
解：（ 1）法一：直
l 点 M (0,1) ，当 l 的斜率存在 ， 其斜率
k ， l 的方程
y
kx 1
。
A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ，由 可列方程
y
kx
1
y 2
①
x
2
1
②
将①代入②并化 得：
(4
k
2
)
x
2
2
3
0 ，
kx
x1
x2
2k
k 2
所以
4
8
y1
y
2
k 2
4
于是
1
x1
x2 y1
y2
k
4
OP
2
(OA
OB) (
2
,
2
) (
4k 2 ,
4
k 2 )
点 P 的坐 (x, y) ，
消去参数 k 得 4x 2
y2
y
0 ?③
当直 l 的斜率不存在 ，
A，B 的中点坐 原点
(0,0) ，也 足方程③，
所以点 P 的 迹方程 4x 2
y2
y 0 。
法二： 点
P 的坐 ( x, y) ，因 A( x1 , y1 ) ， B(x2 , y2 ) 在 上，所以
x1
2y1
2
1
4
④
y2 2
241⑤
④—⑤得： x1
2
x2
2
1
( y1
2
y2
2 ) 0
4
1
所以 (x1
x2 )( x1
x2 )
y2 )( y1
y2 ) 0
( y1
4
当 x1
x2 ，有 x1
x2
1
( y1
y2 ) y1
y2
0 ?⑥
4
x1
x2
x
x1
x2
2
并且
y
y1
y2
?⑦
2
y 1
y1
y2
x
x1
x2
将⑦代入⑥并整理得
4x2
y 2
y
0 ?⑧
当 x1
x2 ，点 A，B 的坐 分 (0,2) 、 (0,
2) ，
1
2
点 P 的坐
(0,0) ，也 足⑧，所以点
P 的 迹方程
x 2
( y
2)
1 。
1
1
1
1
1
16
4
（2）由点 P 的 迹方程知
x2
，即
x
1
1
16
1
4
1
4
1
7
所以 |NP|
2
( x
2
)
2
)
2
4x
2
3(x
2
，
)
( y
(x
4
)
12
2
2
2
6
故当 x
1
， | NP | 取得最小 ，最小
1；
4
4
故当 x
1
， | NP | 取得最小 ，最小
21；
6
6
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