数列教案模板

数列

1.观察下列例子中的6列数有什么特点：

（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263

（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…

（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…

（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…

（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38 （6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32 （7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，1111，，，，．．． 24816这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．

（组织学生观察这六组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）

注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

二、研探新知

1．数列的概念

（1）数列的定义

按照一定次序排列的一列数称为数列．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，．．．，an，．．．，简记为an．

（2）数列的项

数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，….说明：数列的概念和记号an与集合概念和记号的区别：

①数列中的项是有序的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
而集合中的项是无序的；

②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现；
而集合中的元素不能重复

（3）数列的一般形式：a1,a2,a3,,an,，或简记为an，其中an是数列的第n项 （4）数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。

递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。

常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 （5）数列是特殊的函数

说明：数列的图象是一些离散的点 （6）通项公式

一般地，如果数列an的第n项与序号n之间的

关系可以用一个公式来表示．那么这个公式叫做这个 数列的通项公式．

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式， 如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式1(1)n1n1可以是an，也可以是an|cos|.22⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．

2.数列的表示方法

（1）通项公式法

如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

如数列0，1，2，3，的通项公式为 ann1(nN)；

1,1,1的通项公式为an1(nN)；

111

1 1,,,,的通项公式为an(nN)；

234n

（2）图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n为横坐标，相应的项

an为纵坐标，即以 (n,an)为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列111，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐1,,,,为例，做出一个数列的图象）234标为正整数，所以这些点都在 y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． （3）列表法

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维 例1 （教材P30例1）已知数列的第n项an为2n1，写出这个数列的首项、第2项和第3项．

解：首项为a12111；
第2项为a22213；
第3项为a32315．

例3 （教材P31例3）写出数列的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数：
（1）1，3，7，15，31；

（2）1，1，1，1，1；

111149161，，，；

（4），，，，．．．，；

233445357912（5）0，2，0，2．

(1)n1n2nn解：（１）an21．（２）an(1)．（３）an．（４）an．（５）

n(n1)2n1an1(1)n． （3）四、巩固深化，反馈矫正

1.写出下列数列的通项公式：
（1）1111，，，，．．．，；
（2）9，99，999，9999，．．．，；
（3）0.7．0.77，382415．．．， 0.777，0.7777，(1)n71n答案：（１）an（２）an101（３）an(1n)

n(n2)9102.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：

1(1)n1,nN* （1） 1，0，1，0…；

an2（2）n156234n，，，， an(1) 2(n1)135381524a11例1设数列an满足写出这个数列的前五项。

1a1(n1).nan1解：分析：题中已给出an的第1项即a11，递推公式：an11an1

解：据题意可知：a11,a211121582,a31，a41,a5 a1a23a33511(n1)，求出这个数列的第5项.（学生an1变题：已知数列an的首项a12,an口答）

例2已知数列an中，a11,a22,an3an1an2(n≥3），试写出数列的前4项 解：由已知得a11,a22,a33a2a17,a43a3a223

变题：若数列an中，a11，a24，且各项满足an2an12an，则26是该数列的第几项？

例3已知a12，an12an 写出前5项，并猜想an．

23n2法一：a12 a2222 a3222，观察可得 an2

法二：由an12an

∴

an2an

1即

an2 ∴ an1anaaan1n222n1 an1an2an3a1n1n ∴ ana122

变题：若数列an中，a12，且各项满足an12an1，写出该数列的前四项．

22例4已知数列an的前n项和为① Sn2nn；
② Snnn1。求数列an的通项公式。

解：①当

n1时，

a1S11 当

n2时，an2n2n2(n1)2(n1)4n3,经检验 n1时 a11 也适合

an4n3

②当n1时，

a1S1

3当

n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n

(n1)3∴ an

(n2)2n思考题：已知数列an为3,7,11,15L，试写出这个数列的一个递推公式，再根据递推公式写出它的通项公式.

n1例5 已知数列an的前n项和Sn22．

（1）求数列an的通项公式；

（2）设bnanan1，求数列bn的通项公式． 解：（1）当n1时，a1S1222；

2n1nn1nnn当n2时，anSnSn122(22)222；
所以an2．

nn1nn1n（2）因为bnanan1，且an2，an12，所以bn223g2

说明：由数列an的前n项和Sn求an时，要注意分n1和n2讨论，然后将n1代入n2所得的通项公式，看结果是否符合n1的情况，不是则需要写成分段形式．

四、巩固深化，反馈矫正

1.根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式：
(1) a1＝0, an1＝an＋(2n－1) (n∈N)；
(2)a1＝3, an1＝3an－2 (n∈N).(3) a1＝1, an1＝2an

(n∈N)；

an22.已知数列an满足a11，an1并验证是否满足递推公式．

2an(nN*)，写出它的前5项，归纳其通项公式，

an23.数列an的前n项和Sn满足lg(Sn1)n1，求该数列的通项公式． 4.解答下述问题：（I）数列 {an}中,a111，求数列{an}的通项公式.,an1an224n1（II）在[1000，2000]内，被4除余数1且被5除余数为2的整数有多少个？说明理由.

乐清体校 黄智莉

教学目标：

知识与技能：理解数列的有关概念，了解数列和函数之间的关系；
了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的前几项甚至任意一项

过程与方法：通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力，观察能力和抽象概括能力。

情感、态度、价值观：在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；
并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

教学重点：数列及其有关概念，通项公式。

教学难点：通项公式的理解。

教学方法：启发引导式 教学手段：多媒体教学

数列

教学过程：

一、创设情景，在生活中认识数列

1.温州某皮鞋公司打算去非洲拓展皮鞋市场，派两个人去调查市场，发现那里的人都不穿鞋子，问去投资还是放弃呢? 适当的数填空

1，2，（），（），（）？

1，2，（），（），（）？ 1，2，（），（），（）？

2.台球桌中的数列 1，2，3，4，5 3.我国有十二生肖的习俗， 今年是2008年鼠年，请说出2008年之前最后一个鼠年，2008年之后最后一个鼠年？

1996，2008，2020，2032 4.象棋的传说

国际象棋有八行八列，64个格子。国王要奖励国际象棋的发明者问他有什么要求， 发明者说：在第1个格子里放1颗麦粒，在第2个格子里放2颗麦粒，在第3个格子里放4颗麦粒，在第4个格子里放8颗麦粒，在第5个格子里放16颗麦粒，依次类推。国王答应了。

问国王能满足满足上述要求吗？

1,21,22,23,...263

5.奥运金牌

北京奥运会上，中国拿了多少枚金牌？

我国从1984年倒2008年共开始参加了7届奥运会，金牌数依次为 15，6，16，16，28，32，51 6.小女孩荡秋千，从一边到另一边，唐老鸭从上到下，跳来跳去。

n (1) n=1,n=2,n=3,n=4,..时

-1，1，-1，1，-1，1，…

7.庄子曰：一尺之捶，日取其半，万世不竭。你能用一列数来表达这句话的含义吗？

1111 1 ， ， ， ， ， … 24816

二、讲授新课

(1)1,2,3,4,5

(2)1,21,22,23,...263

(3)15,5,16,16,28,32,51

(4)1996,2008,2020,2032,...

(5)1,1,1,1,1,1,...

1111 (6)1,,,,,...24816

1.函数的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 2.数列的项：数列中的每个数叫做数列的项

各项分别叫数列的第一项，第二项，。。。第n项 3.数列的记法：

（1） a1,a2,a3,,an,（2） an思考一：是同一数列吗？

（3）15，5，16，16，28，32，51 (a ) 51，32，28，16，16，5，15

（5）-1，1，-1，1，-1，… （b）1，-1，1，-1，1，… 4.数列的分类

按项数的分为：有穷数列。无穷数列

5.探索与研究

（1）在生活中，找找数列的例子

（2）电子表格中的数列

6.数列的通项公式

思考2：

项a1

a3a4a5...an...a22序号1345...n......?...19962008202020321984121198412219841231984124198412nan198412n

通项公式的定义：如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做数列的通项公式。

项与序号的关系，n的范围 三．例题讲解 例

1、

根据下面数列{an}的通项公式，写出它的前5项：

nn(1)an(2)a1nn n1算法：依次用正整数1,2,3,..，去代替公式中n，就可求出数列中的第一项、第二项、第三项……

2.智力大冲浪 用适当的数填空

(1)1,3,(),7 222213151 (2),,(),235

111 (3),,(),122345

四、学生练习 观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出

每个数列的一个通项公式：12，4， ，16，32， ，128，2 ，4，9，16，25， ，49，3-1，41，1111， ，，，， ，24562， ，2，5， ，7，

五、小结

 数列的定义；

 数列的通项公式。

 本节课的能力要求是：
 会由通项公式 求数列的特定项

六、作业

 书P110 第1题 第3题



做完第3题，如没有疑问，请思考第6题

数列教案

教材分析

1.地位作用

数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列的极限作了铺垫。最后，由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。

2.教材编写特点

数列从知识上看较为简单易学，这样可借助于其知识联系面广的特点对初中所学内容起到复习和深化的作用；
（如：解方程、一次函数、二次函数、等比性质等）

数列本身是一种特殊函数，让它紧接在第二章“函数”之后，有助于加深对函数概念的理解。

学情分析

数列这一章是学生初次进行全方面的学习，但学生们在之前的生活学习中对数列已经有了一定的认识与了解，所以如果从具体的事例入手，相信学生不会感到太过陌生或困惑，数列与函数也有着密切的联系，而学生对函数已经可以说非常熟练了，所以前期教学主要从这两方面进行，使学生更加容易理解与记忆。另外数列与我们的生活有着密切的联系，尤其是与自然界中的许多植物，从这些可以引发学生的兴趣与激情。

教学目标

1) 专业知识：引入数列这一概念，使学生初步认识数列的项、通项公式、递推公式及等差数列。

2) 情感思想：通过引入自然界的有趣的数字排列，增加学生对奇妙自然界的认识，从而激发学生对数字的兴趣。

教学重点及难点：

1) 重点：数列的项、通项公式、递推公式 2) 难点：通项公式、递推公式

3) 解决方法：首先通过引入生活中的数字排列激发学生对数列的兴趣和敏感，使学生认为数列很简单，就是找数字间的规律，从而很好的掌握通项公式、递推公式。

教学过程

1) 通过鲁滨逊漂流记的一段电影视频引入课题；
（ppt） 问：从视频中有何发现与收获？ 2) 引入数列的定义（ppt）

3) 从斐波那契数列引入生活中的数列（ppt）

播放相关图片，通过自然界中的花卉、动植物来了解斐波那契数列 4) 具体事例（ppt）

问：发现何种规律或结论？ 答：„„„„„„„„ 总结：

5) 通过快寄编号引入数列项的概念（ppt） 6) 递推公式和通项公式（ppt） 7) 数列的简单分类（ppt）

板书设计

1) 数列定义 2) 数列的项的概念

3) 递推公式与通项公式的形式及推理过程

数列求和

数列求和常见的几种方法：
（1） 公式法：①等差（比）数列的前n项和公式；

1n(n1) 21222n2nn(

123......6② 自然数的乘方和公式：123......n（2） 拆项重组：适用于数列

1n)(2 1)an的通项公式anbncn，其中bn、cn为等差数列或者等比数列或者自然数的乘方；

（3） 错位相减：适用于数列an的通项公式anbncn，其中bn为等差数列，cn为等比数列；

（4） 裂项相消：适用于数列a的通项公式：aknnn(n1),a1nn(nk)（其中k为常数）型；

（5） 倒序相加：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的.（6）

分段求和：数列an的通项公式为分段形式

二、例题讲解

例

1、（拆项重组）求和：311254718......[(2n1)12n]

练习1：求和Sn122334......n(n1)

例

2、（裂项相消）求数列11113,35,57,179,...,1(2n1)(2n1)的前n项和

练习2：求S11n11212311234...1123...n

1

例

3、（错位相减）求和：1473n222223...2n

练习3：求Sn12x3x24x3...nxn1(x0)

例

4、（倒序相加）设f(x)4x4x2，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求：f(11001)f(21001)f(31001)...f(10001001)的值

a3n2(n4)例

5、已知数列n的通项公式为an2n3(n5)(nN*) 求数列an的前n项和Sn

检测题

1.设f(n)22427210...23n10(nN)，则f(n)等于（

）

2n222n4(81)

B.(8n11)

C.(8n31)

D.(81) 777712.数列{an}的前n项和为Sn，若an，则S5等于（

）

n(n1)511A．1

B．

C．

D．

66303.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13， 3a2，a34构成等差数列． A.（1）求数列{an}的通项公式． （2）令banln3n1，n1，2...，，求数列{bn}的前n项和Tn。

4.设数列a2nn满足a13a23a3…3n1a

3，aN*n． （Ⅰ）求数列an的通项；

（Ⅱ）设bnna，求数列bn的前n项和Sn n

5.求数列22,462n22,23,,2n,前n项的和.6：求数列112,123,,1nn1,的前n项和.

7：数列{an}的前n项和Sn2an1，数列{bn}满b13,bn1anbn(nN) .（Ⅰ）证明数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和Tn。

8：

求数列21，41，6114816，，2n2n1，...的前n项和Sn．

．

3

9、已知数列an的前n项和Sn123456...1n1n，求S100.

10：在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

11：求数列的前n项和：11,1a4,11a27,,an13n2，…

12：求S12223242...(1)n1n2（nN）

13：已知函数fx2x2x2 （1）证明：fxf1x1；

（2）求f1f10210f810f910的值。

.

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